1、20172018 学年高三年级调研考试(二)数学(理)卷注意事项：1考试范围：集合与简单逻辑用语，函数与初等函数，导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，数列，不等式，立体几何，解析几何(直线、直线与圆的位置关系为主，可少量涉及圆锥曲线)。2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 则A. 1，4) B. 0，5) C. 1，4 D. 4，1) 4，5)【答案】B【解析】由题意得 ，故 .选 B。2. 若直线 与直线 垂直，则实数A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D【解析】直线 与直线 垂直， ，整理得 ，解得 或 。选 D。3. 在各项均为正数的等比数列 中，若 则A. 12 B. C. D. 32【答案】B【解析】由等比数列的性质得 ， ， 。选 B。4. 若 ，则“ ”的一个充分不必要条件是A. B. C. 且 D. 或【答案】C【解析】 ， ，当且仅当 时取等号.故“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.选 C。5. 设实
3、数 满足： ，则 的大小关系为A. cab B. cb a C. a cb D. bc a【答案】A【解析】由题意得 ，所以 。选 A。6. 已知锐角 满足A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ，又 为锐角， ， 。 .选 C。7. 已知实数 满足不等式组 ，则函数 的最大值为A. 2 B. 4 C. 5 D. 6【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，由 得 。平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点 C 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 取得最大值。由 ，解得 ，故点 C 的坐标为（1,2） 。 。选 D。8. 已知一个几何体的三视图如图
4、所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成。由三视图中的数据可得其体积为 。选 A。9. 函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则A. 7 B. 4 C. 0 D. 4【答案】A【解析】 , .由题意得 。 。选 A。10. 设点 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 且与 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点若 的面积为 ，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则 ， 。又 ， ， ， ，该双曲线的渐近线方程为 。选 D。点睛：双曲线的渐进线是双曲线的中药性质
5、之一，也是高考的常考点，题型一般以选择题或填空题的形式出现。求双曲线的渐近线方程时，可利用 转化为关于 的方程或不等式，其中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，即。11. 已知 ，函数 的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 .由图象得 ， 。 ，又 ，解得 。 。 。令 ，解得 。当 时， 。故 是函数图象的一个对称中心。选 C。点睛：由图象确定函数 解析式的方法（1） 由图象上的最高（低）点的纵坐标确定。（2） 由周期 T 确定，根据图象得到函数的周期 T， 由 求出 。（3） 的求法通常有以下两种：代入法：把图象上的一个已知点
6、代入(此时 已知)，或代入图象与直线 y b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的零点 作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近的交点)为 ；“第二点”(即图象的“峰点”)为 ；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ；“第四点”(即图象的“谷点”)为 ；“第五点”为 。12. 已知定义在 R 上的函数 满足 ，若关于的方程 恰有 5 个不同的实数根 ，则 的取值范围是A. B. C. (1，2) D. (2，3)【答案】B【解析】作出函数 的图象，由图象可知，若方程 恰有 5 个不同的实数根，则
7、 。设 ，则 ，由图象可知 。所以 .选 B。点睛：函数图象在函数与方程中的应用（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)图象与 x 轴的交点的横坐标，方程 f(x) g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填写在题中的横线上13. 已知 若 与 垂直，则 的值为_【答案】-5【解析】 ， 。由题知 ，即 ，解得 。答案：14. 已知椭圆 的半焦距为 c
8、，且满足 ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是_【答案】【解析】 ， ，即 ， ，即 ，解得 。又 ， 。椭圆的离心率 e 的取值范围是 。答案：15. “斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列” 斐波那契数列 满足：，记其前 n 项和为 (t 为常数)，则_ (用 t 表示)【答案】【解析】由题意可得。答案：【答案】【解析】如图，将正四面体 ABCD 补全为正方体，则正方体的棱长为 ，所以球 是正方体的外接球，其半径 。设正四面体的高为 ，则 ，故 。又 ，所以 到直线 的距离为 ，因此球 截直线 所得的弦长为
9、。答案：点睛：（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用（2）对于一些不规则的图形，要注意补形法在解题中的应用，通过把图形补成长方体或正方体可使得问题的解决变得简单易行。三、解否题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知函数 (1)当 时，求函数 的值域；(2)若定义在 R 上的奇函数 对任意实数 ，恒有 且当 求 的值【答案】 （1） ；（2）-1.【解析】试题分析：本题考查二次函数的值域和函数周期性、奇偶性的应用。 （1）通过配方确定函数图象的对称轴，根据对称轴和区间的关系求出最值即可。 （2）根据周期性
10、和奇偶性求出函数值。试题解析：(1)由题意得 ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增。当 时， 取得最小值，且 。又 ， .函数 的值域是 .(2)由 可得函数 的周期 ， ，.18. 如图所示，在 中，M 是 AC 的中点， (1)若 ，求 AB；(2)若 的面积 S【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：本题考查正余弦定理的应用及三角形面积的计算。 （1）由题意求得 ，在 中由正弦定理可得 AB。 （2）在 中由余弦定理可得 ，故可得 的面积，从而可得的面积。试题解析：（1）由题意得 ,在 中，由正弦定理得.（2）在 中，由余弦定理得,解得 或 （舍去） 。，是 的中点，.19.
11、设等差数列 的公差为 d，前 n 项和为 成等比数列(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 n 项和 【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：本题考查等差数列通项公式的求法和用裂项相消求数列的和。 （1）根据条件和等差数列前 n 项和公式 ，比较可得公差 d=2。再根据成等比数列可求得 ，从而可得通项公式。 （2）根据数列 通项公式的特点，利用裂项相消法求和。试题解析：（1） ，又又 成等比数列 ，即 ，解得 ， 。(2)由（1）可得 ，.20. 已知圆 C 的圆心在 轴的正半轴上，且 轴和直线 均与圆 C 相切(1)求圆 C 的标准方程；(2)设点 ，若直线 与圆 C 相
12、交于 M，N 两点，且 为锐角，求实数 m 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：本题考查圆的标准方程的求法以及用向量解决直线和圆位置关系中的角度的问题。 （1）设出圆的标准方程，根据题意得关于参数的方程组，求得参数可得圆的方程。 （2）利用代数法求解，将 为锐角转化为 求解。试题解析：（1）设圆 C 的标准方程为：故由题意得 ，解得 ，圆 C 的标准方程为： .（2）由 消去 y 整理得 .直线 与圆 C 相交于 M，N 两点， ，解得 ， 设 ，则 .依题意得， ，整理得 ，解得 或 .又 ， 或 。故实数 m 的取值范围是 .点睛：（1）对于 为锐角的问题（或点 A
13、在以 BC 为直径的圆外，或 ） ，都可转化为 ，然后坐标化，转化为代数运算处理。（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理。解题时注意“设而不求” 、 “整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度。21. 如图，在直三棱柱 ABC 分别是的中点(1)求证： 平面 ；(2)求平面 MNC 与平面 所成的锐二面角的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） .试题解析;(1)证明：连 ,由三棱柱是直三棱柱可得 , 四边形 为矩形，由矩形性质得 过 的中点 M,又 是 的中点 ，又 ， ,；(2) 解： ， ,
14、 ., 两两垂直。建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 , ,设平面 的法向量为 ，则 ，令 则 ， 又易知平面 的一个法向量为 ，平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .点睛：用向量法求二面角大小的两种方法（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，解题中要注意结合图形图形判断出所求二面角是锐角还是钝角22. 已知函数 (其中 e 是自然对数的底数，kR)(1)讨论函数 的单调性；(2)当函数 有两个零点 时，证明： 【答案】 （
15、1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。 （1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。 （2）根据题意将证明 的问题转化为证明，即证 ，构造函数 ，利用函数 的单调性证明即可。试题解析：（1）解： 。当 时，令 ，解得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增。当 时， 恒成立，函数 在 R 上单调递增. 综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。当 时， 在 R 上单调递增.（2）证明：当 时，由（1）知函数 单调递增，不存在两个零点。所以 。设函数 的两个零点为 ，则 ，设 ，解得 ，所以 ，要证 ，只需证 ，设设 单调递增，所以 ，所以 在区间 上单调递增，所以 ，故
