带电粒子在环形磁场中的运动.pdf

1、 49II.5 带电粒子在环形磁场中的运动 许多核聚变磁约束实验装置都是环形磁场，因此，研究带电粒子在环形磁场中的运动是非常必要的。 II. 5. 1. 带电粒子在简单环形磁场中的漂移 现在以简单的圆环磁场为例，来说明漂移给等离子体的磁约束带来的困难。如图 2.5.1，在环形管上绕有电流线圈以产生环向磁场B，磁力线是半径不同的圆。因为安匝数相同，根据安培环路定理，磁场梯度都指向中心轴 z。根据前面结果，磁力线弯曲和磁场梯度引起正电荷粒子向上漂移、负电荷粒子向下漂移。这样就形成电荷分离并产生一个向下的电场 E，从而又发生了电漂移2/DB=vEB，使正、负电荷粒子都沿环的半径向外漂移，这样就使等离

2、子体很快碰到器壁上，因此简单的圆环形磁场是不能很好地约束热核等离子体。 II. 5. 2. 磁场的旋转变换 如果在图 2.5.1 中，在圆环横截面的极向角方向再施加一个磁场B（称角向磁场） ，这时环向磁场 B与角向磁场 B合成为一个螺旋磁场 B，如图 2.5.2 所示，原来环形磁力线发生旋转。因而磁力线不是一个简单的闭合圆环， 而是绕环形轴 OO旋转的螺旋线。例如从 P1点出发的磁力线，绕环半周后通过 P2点，绕环一周后回到 P3。一般讲，磁力线绕环一周后并不闭合， 而是在极向角方向旋转了一定角度，磁力线的这种性质，称旋转变换。可以证明，在一定条件下，经过磁力线的旋转变换后，可以克服简单圆环形

3、磁场引起的等离子体的向外漂移，从而实现对等离子体的良好约束。例如，在 P1点离子是向上磁漂移，即离开等离子体中心 O，但沿着磁力线到达 P2点时，离子虽然还是向上磁漂移，但这时因有磁力线旋转， P2点位置处在环轴 OO的下方，离子的向上磁漂移变成向等离子体中心 O靠近。这样，磁漂移就可能在磁力线不断旋转的过程中相互抵消掉。在核聚变研究中的托卡马克装置，就是根据这种原理而设计的。 图 2.5.2 图 2.5.1 50II. 5. 3. 托卡马克（ Tokamak）装置磁场位形和约束原理*托卡马克装置由螺旋管线圈电流产生环向磁场 B，再叠加上一个沿圆环截面绕小圆形方向的角向磁场 B，形成的总磁场

4、B 图 2-5-3 的磁力线是旋转的螺旋线。如图 2.5.3，取环坐标系，大环主轴为 z 轴，绕大环主轴旋转的环向角为 ，绕圆环横截面中心 O 旋转的极向角为 ，则总的磁场（旋转变换磁场） B B =+Be e。 （ 2.5.1） 如果满足条件 B B null， 则磁场 B 的磁力线是沿大环绕行时，同时又绕小圆环旋转，即形成螺旋线状。如图 3.5.3，从 P 点出发的磁力线，绕大环一周（角变化 2 ）而到达 P点，极向角改变了角度 ，称 为旋转变换角。假定磁力线沿大环绕 m 圈，同时在小圆环沿 角绕 n 圈后磁力线回到原出发点（即闭合） ，则旋转变换角 2/nm =（ 2.5.2） 若 m、

5、 n 为正整数，即 n/m 为有理数，表明磁力线绕大环 m 圈后可以闭合，这样磁力线构成的磁面称有理磁面。如果 m/n 为无理数，这表明从一点出发的磁力线绕大环旋转任意多圈也不能回到原出发点，即不会闭合，也可理解为沿大环绕无限多圈才能逼近原出发点。 这样一根磁力线经过无限多圈旋转构成的磁面称无理磁面。从小圆截面中心 O 点出发的磁力线，绕大环时不产生旋转，这根线 M 称为磁轴。与磁轴相距不同半径上的磁力线都构成旋转磁面，因此形成以磁轴为中心，不同半径嵌套的一组磁面，如图 2.5.4。 由旋转变换角可以引入一个重要参量 () 2 /qr =， （ 2.5.3） q 是表示一根磁力线绕极向角一周（

6、即变化2）而需要在大环方向绕的圈数。 q 值是用来划分磁约束装置图 2.5.4 51类型的一个重要参数。对于托卡马克装置，要求1q ，这是抑制磁流体螺旋不稳定性条件，故 q 称为安全因子。 设旋转磁力线的螺距为 d 21rd B B = null， 2drBB =。 旋转变换角 00222RRBdr=， 式中0R为托卡马克大环半径（即环轴线半径） ， r 是磁力线与轴心 O 的距离，则安全因子 0()rBqrRB=（ 2.5.4） 设等离子体半径为a，则 0()aBqaR B=。 （ 2.5.5） 托克马克装置要求() 1qa ，只要B B null，这个条件是可以满足的。 在托卡马克磁场位形

7、中，导向中心沿一根磁力线运动的粒子，由于磁场的旋转变换，粒子导向中心有时在环的外侧（此处磁场较弱） ，有时又绕到环的内侧（此处磁场较强） ，对于运行的粒子而言，这种磁场强弱变化在某种程度上类似于磁镜场的结构，于是在其中运行的粒子可以分为两类：一类粒子运动速度 v 与B 的夹角较小，即速度的平行分量nullv 较大，这种粒子在绕磁力线运动时，能通过较强磁场区域，这类粒子称通行粒子；另一类粒子，nullv 较小，它绕磁力线运动时，不能通过较强磁场区域，即只能在两个相邻的强磁场区域间来回反射，这类粒子称捕获粒子。下面分别讨论这两类粒子在旋转变换磁场中的运动。 （ 1）通行粒子运动 (Untrappe

8、d particle) 如图 2.5.5，取大环的一个横截面，其中心 O， O 点与大环的对称轴 z 的距离为0R（即大环半径） ，在截面上以 O 为原点，建立直角坐标 x-y， xy 平面跟随着粒子以nullv绕磁力线一起运动。若粒子无漂移，则导向中心在以 O 为心、虚线52圆的磁面上，若考虑粒子漂移，导向中心会离开这个磁面。设 t 时刻粒子导向中心为 P 点，与 z 轴的距离为 R，与 O 点的距离为 r， OP 与 x 轴的夹角为 ，由放电电流的角向磁场 ()BBr=， 22rxy=+， 由螺线管电流线圈产生的环向场B，因安匝数相同、由安路环路定理得 1BR， 图 2-5-5 则 00/

9、B BR R=， 0B为轴心上的环向磁场，因为等离子体半径0aRnull，所以等离子体中 P 点的坐标0x Rnull，0/1xRnull，则环向场 000(1 )R xBB BR xR=+。 （ 2.5.6） 总的磁场 00(1 ) ( )xB BrR = +Bee。 （ 2.5.7） 现在把粒子导向中心运动分解为以nullv沿磁力线运动和磁场不均匀引起的漂移Dv。因为 BB null ， B不均匀性产生的漂移可以忽略，现只考虑 B不均匀性引起的漂移，由（ 2.2.12）式，因为yRB=RB e，得 2211()2DymmqB R=+nullvvve。 （ 2.5.8） 导向中心沿磁力线 B

10、 方向运动速度nullv 在 xy 平面上的投影为 /B Bnullv （见图 2.5.6） ，假定粒子回旋运动是顺时针旋转的，则nullv在 xy 平面上投影的两上分量为 sincosyBByrBBxr= =nullnull nullnullnull nullxvv vvv v（ 3.5.9） 图 2.5.6 53如果是逆时针方向旋转，上面两式都变个符号。导向中心运动 D=+nullvvv， （ 2.5.10） 于是，将（ 2.5.9）式代入（ 2.5.10）式，得导向中心的 xy 平面上投影的运运方程为 DBdx ydt B rBdy xdt B r= +nullnullvvv， （ 2.

11、5.11） （ 2.5.11）式的第 1 式乘以 dy 、第 2 式乘以 dx ，并相减得 ()10DBxdx ydy dxBr+ =nullvv， 因 ()1dr xdx ydyr=+，所以上式化为 Dodr Bdx B=nullvv（ 2.5.12） 式中/1oDBB =nullnullvv，而且o近似为常量，这是因为磁场 B的不均匀性忽略，通行粒子nullv也近似不变。于是（ 2.5.12）方程的解为 00rr x=+， （ 2.5.13） 式中0r为0x =处导向中心与轴心 O 点的距离，即初始磁面的半径。 （ 3.5.13）式还可改写为 2222 222ooo orxy rrxx=+

12、=+ +， 略去高级量220x ，则得导向中心运动轨道在 xy 平面上投影 () ()222 2 200 0 0 01x ryr r+=+。 （ 2.5.14） 上式结果，近似为一个半径为0r 的圆，只是其中心向右移动了00r距离。因此粒子导向中心轨道的整个漂移曲面相对于磁面向右移动了00r 。类似地，也可推导粒子逆时针旋转的情 况，其结果只是在（ 2.5.13）和（ 2.5.14）式中0 前面加54一负号。这样粒子轨道的整个漂移曲面中心相对于磁面是向左移动了00r距离。因为01 null ，漂移曲面的移动00 0rr null，这说明，有了磁场的旋转变换，通行粒子可被很好地约束。 现在估算漂

13、移曲面的移动距离 00 0DBrr rB=nullnullvv利用DmqBRnullvvv，B B， 则 ()00cBrmrrqrqB B Rnullv（ 2.5.15） 式中cr为回旋半径，安全因子 ( )0qr 可取为 23，所以 ( )23crrnullnull， 即漂移曲面中心只向左右移动了 ( )23crnull 。由此可见，安全因子 ()qr也不能太大，否则会影响约束。 （ 2）捕获粒子运动 (trapped particle) 如果不考虑漂移， 则捕获粒子只是在旋转变换磁场位形中两个局部的磁镜场中来回运动，其导向中心在 xy 平面上的投影只是 图 2.5.7 磁面上两个反射点 M

14、1、 M2间的一段圆弧，如图3.5.7。但考虑了漂移之后，引导中心的运动轨道投影要发生变化。对于捕获粒子，导向中心运动在 xy 平面投影，仍然是（ 2.5.12）方程，即 Ddr Bdx B=nullvv。 （ 2.5.16） 但是，现在（ 2.5.16）式中的 nullv是随 x 变化的，即( )xnullv 。因为捕获粒子的 nullv比通行粒子的nullv小很多，而且在两个反射点 M1、M2处0=nullv，另外（ 2.5.16）式中“ +”号对应于顺时针旋转， “”号对应于逆55时针旋转。 为计算 ( )xnullv ，设在反射点MBB= ，并已知0=nullv，0=vv，由磁矩不变量

15、 220M11/22mB mB=vv， () ()2220001/ 1/oMBB= =nullvvvv vv v。 注意，现在应考虑磁场 B 的变化，由（ 2.5.6）式 ( )001/B BB xR ， 则 000001/11/MMxR x xxR R = nullvv v（ 2.5.17） 这里Mx为反射点 M1， M2的横坐标，上式应用了0/1xRnull ，01MxRnull 条件。将（ 2.5.17）式代入（ 2.5.16）方程，得000/( )DMBdrRxxdx B= vv， （ 2.5.18） 上式取 ()B rB 为常量，0BB，因为nullnullvv，所以Dv可近似看成常

16、量，于是（ 2.5.18）式对 x 积分，得 00002()DMBrRxrB= +vv， （ 2.5.19） 即 ()00002()DMBrr RxxB= vv。 （ 2.5.20） 当Mx x=时，0rr=。取平面极坐标，0cos cosxr r = ，0cosM Mxr=，则（ 2.5.20）式可表示为 ()000002cos cosDMBrr RrB vv（ 2.5.21） （ 2.5.20）或（ 2.5.21）式是表示粒子漂移曲面与磁面的偏离。 当M = ，0rr= ，这是两个反射点情况； 当0 =时，偏离最大， 56()00000021cosDTMBrrr RrB= = nullvv

17、（ 2.5.22） 当粒子导向中心沿磁力线顺时针旋转时，0rr，即漂移曲面向外偏离；当粒子导向中心沿磁力线逆时针旋转时，0rr，即漂移曲面向内偏离。由于原来是顺时针旋转的，到达反射点经过反射后，nullv方向就相反了，于是顺时针旋转就变成逆时针旋转，反之亦然，因而漂移曲面形成一个闭合曲面，它在 xy 平面上的投影就如图 2.5.7 所示的“香蕉形”闭合曲线， （ 2.5.22）式的Trnull就是香蕉半宽度。因此捕获粒子也称为“香蕉”粒子。 利用200/DmqBRvv，0R R ，00 0/rR aR = ，0/qBrBR= ，0BB，则可用（ 2.5.22）式估算“香蕉形”半宽度 ()21c

18、os/2/Tc M crrq qr = （ 2.5.23） 23q = null ， 1/10 ，则( )10 20Tcrr null 。 Tr 就是粒子漂移偏离磁面的最大距离，大约为十几个回旋半径。只要/1Tra null时（a为等离子体小半径） ，就可以认为捕获粒子的环形漂移被抑制了。 图 2.5.8 就是托卡马克装置中捕获粒子的运动轨道。 图 2.5.8 【第二章习 题】 1 设磁场 Z 轴方向， 粒子的回旋运动 速度为v ，回旋角为 ， 将这一坐57标系看成是速度空间中的圆柱坐标系 , )sin(21rrrrrrr+=+=convbvevevvzzz因此，速度空间中的梯度运算为 +=v

19、evevbvz1rrrr现在，采用坐标系： )(2122+= vvEzBv22= 求证：速度空间的梯度运算化为： +=2vvbBvEvvrrrrr而且，这一变换形式在能量项中包含静电势时： )()(2122xevvEzr+=时不变。 2. 对不均匀磁场（即坐标基21, rrrb 是空间函数） ，在同样的速度变数变换下，当含静电势时，空间梯度变换为 +=)()()()(212bvbvvBvbvBEmezzrrrrrrr3. 空间坐标变换为回转中心坐标的关系式 +=+=vbRRrrrrrrr 意味着空间变数（例如 )(rr ）对空间的梯度运算，在新坐标系中需同时考虑空间变量对新速度变量 ,zv 的

20、偏导数，即 +=zzRrvvrr证明近似到 L/ = 一级，有 =RRzvvBvrrrr, ,02584. 设在恒定均匀磁场 ),0,00BB =r，恒定均匀电场 0,00EE =r（采用迪卡尔坐标）有一个质量为 m,电荷为 e 的带电粒子，初始时刻静止，求其运动轨迹。 【求解】由运动方程 000m , BeveEdtdvBevdtdvmxyyx= 分别对这两个方程对时间再求一次导数，得到； yyxxvdtvdBEvdtvd22002222, =+= ， 这里 meB /0= 其满足初始条件： 0 v0x=yvt ， 的解为： tBEvtBEvyx= sin ),cos(1(0000取初始时粒

21、子位置为坐标原点，则粒子运动轨道为： )cos1( ),sin(0000tBEyttBEx = 这是一条摆线。 这个问题具有实际意义：在太阳风中一个刚被电离的原子，其离子和电子都会被太阳风的电场 BVErrr= （ Vr为太阳风相对于静止坐标系的速度）加速，最后以漂移速度 BE / 随太阳风一起运动，即被太阳风捕获。 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20246810yx5. 同上题，但粒子具有初始速度 V0，求解粒子速度和轨迹。 【求解】粒子速度的二阶方程与上 题相同，但满足初始条件：0000,0 VvVBEvtyx= 的解为： 59tVvtVBEvyx=+= sin ),c

22、os(0000再求一次积分，得到轨道方程： tVytVtBEx =+= cos ,sin0000这是一般的回旋运动加电漂移。但对应于不同的比值：000VBE = ，轨迹形状会有很大的不同。 -10 0 10 20 30 40-20-1001020E0/B0=1, =1, =0.1YAxis TitleX Axis Title0 5 10 15 20 25 30-10-50510=0.5YAxisTitleX Axis Title0 5 10 15 20 25 30-4-2024=1YAxisTitleX Axis Title606. 试说明当带电粒子的质量趋于零时，不存 在电场的情况下，粒子的轨道与磁力线基本一致。写出描述磁力线的微分方程。 7.证明在直线轴对称位形中，若其磁力线方程为 ,) ,)Rz RA Rz = =（常数， =常数 则带电粒子的漂移中心总处在 ,) ,)Rz RA Rz = =（ （ 常数面上。 8.利用磁矩 和纵向作用量 J 的寝渐不变性，可以通过改变磁场大小来加热等离子体。试设想加热方案。