1、基于联邦扩展卡尔曼滤波的结构损伤识别方法 张纯 王路丹 宋固全 徐昌宏 廖群 南昌大学建筑工程学院 摘 要： 当结构损伤与传感器故障同时存在时, 两者的相互影响会导致损伤识别结果的劣化;为此, 提出了一种基于联邦扩展卡尔曼滤波的结构损伤识别算法。利用分散化滤波计算量小、滤波精度高的优点, 联邦扩展卡尔曼滤波方法能根据正常的传感器信号准确识别结构的损伤位置与程度, 具有良好的鲁棒性;同时利用联邦滤波容错性好的特点, 能实现对故障信号的自动检测和剔除, 并将剩余的正常子系统进行组合, 以继续提供准确的损伤识别结果。梁式结构的数值算例及实验分析验证了该算法的有效性及对故障传感器信号的检测隔离能力。关
2、键词： 联邦扩展卡尔曼滤波; 损伤识别; 传感器故障; 残差检验法; 分散化滤波; 作者简介：张纯 男, 博士, 教授, 1976 年 10 月作者简介：宋固全 男, 博士, 教授, 1964 年 2 月收稿日期：2015-12-23基金：国家自然科学基金 (51268045;51469016) Structural damage identification based on the federal extended kalman filterZHANG Chun WANG Ludan SONG Guquan XU Changhong LIAO Qun School of Civil Eng
3、ineering and Architecture, Nanchang University; Abstract： The coexistence of structure damages and sensor faults will deteriorate identified results evidently, so an algorithm for the identification of structure damages based on the Federated Extended Kalman Filter method ( FEKF) was proposed by usi
4、ng free vibration signals. The presented method can identify the location and extent of damages accurately, and shows good robustness when the sensors work normally. Combined with the residual chi-square test, the FEKF also can eliminate the effects of fault sensors by the automatic detection and re
5、moval of the fault sensor signals. Numerical simulations and experiments show that the FEKF can ensure the accuracy and stability of the damage identification results and detect fault signals effectively.Keyword： federal extended Kalman filter; damage identification; sensor fault; residual chi-squar
6、e test; decentralized filtering; Received： 2015-12-23在结构健康监测领域中, 基于结构振动信号的系统辨识和损伤识别技术是当前国内外研究的热点。目前, 时域内基于模型的损伤识别方法1-3主要包括最小二乘估计、扩展卡尔曼滤波、序贯非线性最小二乘方法等。其中, 扩展卡尔曼滤波作为一种可用于非线性系统结构参数识别的实时递推算法, 近年来被逐步应用于工程结构的参数反演与损伤识别4-5, 可实现测量信息不完备6、系统参数时变7等情况下的结构损伤状态反演。然而, 这些研究工作均是基于传感器不存在故障、测量数据完全正确 (或含白噪声干扰) 的前提下进行, 相
7、应的结构损伤识别算法不具有传感器故障信号诊断排除能力。在实际结构健康监测系统的长期使用过程中, 传感器常出现信号漂移、性能蜕化、故障或失效的问题。为保证传感器能准确获取测量信息, 研究者提出了众多传感器故障检测方法8, 但绝大部分基于数学模型的诊断方法是以健康的结构模型为基础的。当结构损伤和传感器故障同时出现时, 两者之间的相互作用会严重影响各自的诊断效果。特别是在反问题计算不适定性的影响下, 基于故障或不够准确测量信号的损伤识别结果会迅速劣化, 失去诊断能力。因此, 为保证结构健康监测系统的工作性能, 迫切需要发展具有自主故障信号诊断和排除能力的损伤识别算法。随着多传感器数据融合算法的发展,
8、 由 Carlson9提出的联邦卡尔曼滤波器因设计方案灵活, 计算量小、容错性好的优点在组合导航领域得到了广泛应用。作为一种分散式滤波方法, 联邦滤波算法不仅具有非常高的识别精度, 而且能够对各测量子系统进行故障检测, 通过分离故障子系统或调整信息分配因子来抑制故障信号, 从而保证系统状态的正确跟踪10。本文结合联邦滤波方法的优点, 提出了一种适用于结构损伤识别的联邦扩展卡尔曼滤波方法 (Federal Extended Kalman Filter method, FEKF) , 不仅具有良好的计算效率、识别精度和鲁棒性, 还能及时判别和隔离传感器故障信号, 保证结构损伤识别结果的精度和稳定性
9、。梁式结构的损伤识别数值算例及实验分析验证了本文方法的有效性以及对故障信号隔离检测能力。1 基本理论1.1 结构动力学方程经过有限元离散后, 线性动力系统的运动方程可以写为:式中:M、C、K 分别为结构的质量、阻尼、刚度矩阵;q 为各结点位移向量;F 为外荷载。在式 (1) 中引入模态坐标变换 q=p, 其中 p 为模态坐标, 为质量规一化模态矩阵, 满足 M=I、K=diag ( 1, , N) , n第 n 阶固有频率, C=diag (2 1 1, , 2 N N) (假定阻尼为瑞利阻尼, n为第 n 模态阻尼比) 。因此, 式 (1) 可转化为由模态坐标表示的运动方程由于实际结构的自由
10、振动响应可较为方便地通过脉冲激励或自然激励信号得到, 因此, 文中主要考虑结构的自由振动情况。于是, 由式 (2) 可解得模态坐标的理论解:式中:p n0和 分别为第 n 阶模态坐标及其速度的初始值;1.2 联邦扩展卡尔曼滤波算法联邦卡尔曼滤波是一种以最小方差为准则的递推估计算法, 在对结构参数进行辨识时, 可视为一种递推型的模型修正方法。将联邦卡尔曼滤波应用于结构损伤识别时, 需要把系统的状态向量进行扩展, 通过引入损伤参数来跟踪单元弹性模量的变化规律, 从而识别结构损伤。因此, 将联邦扩展卡尔曼滤波的系统状态向量定义为:式中:N 为算法中采用的结构模态坐标阶数;m 为损伤参数个数。在本文中
11、, 结构损伤程度通过单元的弹性模量折减来表征, 故定义第 i 个单元损伤参数为 i= (Ei-Ei) /Ei, 其中 Ei、E i分别为单元损伤前后的弹性模量。 i= i/ i为第 i阶模态阻尼比系数, 其中 i和 i分别为结构损伤前后的第 i 阶模态阻尼比。由于结构振动响应通常由低阶频率成分组成, 因此可以采用模态截断方法来降低状态向量的维度, 减少计算量。根据联邦滤波器理论框架10, 它是一种两层结构的分散化滤波器, 由若干个子滤波器和一个主滤波器组成。使用时, 采用信息分配原理把整个系统中的信息分配到每个局部子滤波器中, 利用“方差上界”技术使得每个子滤波器独立工作, 然后根据协方差阵把
12、子滤波器的信息进行最优融合估计, 得到系统的全局估计值。其结构图如图 1 所示。图 1 联邦卡尔曼滤波结构图 Fig.1 Structure diagram of FKF 下载原图为解决结构损伤识别问题, 本文方法将所有测量传感器进行分组, 构成不同的子系统, 并采用独立的子滤波器进行参数识别。每个子系统均可形成如下形式的损伤参数估计问题:式中:i 代表第 i 个子系统;相应的观测噪声 vi为零均值、协方差矩阵为 Ri的高斯白噪声;z i是子系统的观测向量。函数 h (, x i, t) 为子系统测点处的结构振动响应的估计值, 根据式 (3) , 其理论解可表示为式中: n (x) 为第 n
13、阶的模态向量, x 对应观测点的空间坐标。在各子滤波器中, 由式 (5) 、 (6) 组成的非线性参数识别问题按照传统扩展卡尔曼方法进行递推;再将其识别结果送入主滤波器中进行融合计算, 以得到状态向量的最优估计, 同时为各子滤波器提供更新后的状态估计值。根据以上分析, 本文建立了基于联邦扩展卡尔曼滤波的结构损伤识别递推算法, 其具体流程如下:(1) 信息分配过程:将主滤波器第 k 时刻的全局状态估计 g (k) 及估计误差协方差矩阵 Pg (k) 反馈到子滤波器中, 以重置子滤波器估计值。具体的信息分配原则为式中, i=1, 2, , , N s, , Ns为子滤波器个数, i (k) 和 P
14、i (k) 分别为 k 时刻第 i 个局部滤波器的状态估计及估计误差的协方差矩阵。本文中, 信息分配方式采用均匀分配方式, 即取 i=1/Ns。(2) 信息的时间更新:时间更新过程在各子滤波器中独立进行, 其中第 i 个子滤波器的时间更新算法为:式中:A F=I, 分别为子滤波器第 k+1 时刻的一步状态预测向量及误差方差阵。(3) 信息的测量更新:测量更新过程也只在各子滤波器中独立进行其中因反问题计算的不适定性, 式 (14) 中的矩阵求逆采用了正则化方法11。Ki (k+1) 为增益矩阵, I 为单位矩阵, H i (k+1) 为非线性函数 h (, x i, t) 的雅克比矩阵:当结构质
15、量不发生变化时, (15) 式计算中所需的固有频率和模态关于损伤参数的灵敏度 n/ i、 n/ i可用基准有限元模型计算12。(4) 信息融合:将各个子滤波器 k+1 时刻通过时间更新以及测量更新得到的状态向量送入主滤波器中进行融合处理, 得到 k+1 时刻的最优全局状态估计及估计误差协方差矩阵:方程组式 (8) (17) 构成了联邦扩展卡尔曼滤波递推过程中的一步, 重复以上 4 个步骤即可完成系统状态向量的最优估计, 识别出结构损伤。1.3 基于联邦卡尔曼滤波的传感器故障诊断随着传感器工作性能的蜕化, 测量信号逐步偏离结构的真实动力响应。此时的信号误差与卡尔曼滤波模型中设定的高斯白噪声有明显
16、差异, 将导致显著的损伤识别误差。由于联邦扩展卡尔曼滤波是一种分散式滤波, 有良好的容错性, 故障传感器的影响首先会集中体现在相应的子滤波器中。因此, 结合经典的残差 检验法10, 本文方法可以在识别结构损伤的同时, 判断测量信号质量, 有效诊断、排除故障传感器, 保证识别结果的稳定性。由各子滤波器第 k 时刻的一步状态预测值和观测值构造出每个子滤波器的新息:如果 k 时刻以前整个系统没有出现故障, 各子滤波器新息均为零均值高斯白噪声;当某个传感器发生故障时, 相应子滤波器新息将不再满足零均值白噪声条件。因此, 根据新息的均值变化即可进行故障检测。对第 i 个子滤波器的新息作二元假定:(1)
17、H0:无故障, (2) H1:有故障, 其中 Si (k) 为 ri (k) 的方差, 根据极大似然比检验原理, 可以构建如下故障检测函数:其中 。由于新息是高斯随机变量, 故 z服从 分布。于是, 故障判定准则为:(1) 若 z (k) TD, 判定有故障(2) 若 z (k) T D, 判定无故障其中 TD为预先设定的门限, 可根据子系统测点数和预先设定的误警率, 通过查询 分布表得到。于是, 利用残差 检验法可以检测出各个子系统是否存在故障, 然后将各传感器进行不同的子系统组合以确定故障传感器;进而隔离故障信号, 避免故障信号对识别结果的干扰。其具体流程如图 2 所示。2 数值算例分析数
18、值算例采用矩形截面的简支梁结构, 梁长 10 m, 截面尺寸为 0.25 m0.5 m, 材料弹性模量和密度分别为 210 GPa、8 200 kg/m。简支梁结构被等分为 10 个梁单元, 在第 210 节点上设置传感器, 以测量节点竖向位移。同时, 根据传感器数量与布置, 本文采用了 3 个子系统, 每个子系统包含 3 个测点, 具体的单元划分及测点分配情况如图 3 所示。施加任意的初始条件后, 将各测点的自由振动信号作为观测值 (采样频率设为1 000 Hz) , 同时按如下公式加入高斯白噪声模拟观测误差:式中:高斯白噪声 v (t) 维数与 z (t) 一致, 其信噪比定义为 , 其中
19、 SP 和 NP 分别代表信号和噪声的强度值。图 2 故障传感器诊断与隔离 Fig.2 The diagnosis and isolation of the fault sensors 下载原图图 3 简支梁模型与各子系统测点信号分配 Fig.3 Simple supported beam and the distribution of measurement points in each subsystem 下载原图在本文算例中, 结构自由振动响应以低阶模态成分为主;理论上在状态变量 (4) 中保留更多的模态坐标有利于提高计算精度, 但也会增加计算负担。因此, 本文算法采用前 3 阶模态坐标
20、来构建状态变量。2.1 单一损伤识别结果考虑单元 5 损伤参数为 0.3, 其它单元无损伤的工况。对于结构响应数据中无噪声、信噪比分别为 30d B、25 d B、20 d B 和 15 d B 的工况, 简支梁结构的损伤识别结果如图 4 所示。尽管输入信号的噪声不断增大, 本文方法始终保持很高的损伤识别精度。即使信噪比达到 15 d B 时, 损伤单元弹性模量识别结果的最大相对误差为 1.35%。图 5 给出了信噪比 15 d B 时单元损伤参数的识别曲线, 初始阶段识别结果波动较大, 随后损伤参数快速收敛到实际损伤值, 体现出良好的收敛性。图 6 给出了测点 2 的真实信号、加噪信号、滤波
21、信号的结果对比图 (为清晰起见, 0.250.40 s 局部时间段的信号如图 6 (b) 所示) 。图中, 本文算法估计出的测点位移响应信号与真实信号几乎完全重合, 滤波效果良好。表 1 列出了单损工况下状态变量 (4) 中模态坐标初始值、模态坐标对时间导数的初始值、模态阻尼比系数的识别结果。图 4 不同噪声水平下结构单一损伤的识别结果 Fig.4 Single damage identification results under different noise levels 下载原图图 5 信噪比 15 d B 时损伤单元参数收敛曲线 Fig.5 Convergence curve of
22、the damage parameter when signal-noise ratio is 15 d B 下载原图表 1 单损工况状态变量识别结果 Tab.1 Single damage state variable identification results 下载原表 2.2 多处损伤结果识别设第 2、5、8 号单元的损伤参数分别为 0.4、0.3、0.2, 其它单元无损伤。从图 7 结果可以看出, 对于结构多处损伤工况, FEKF 方法依然能准确识别损伤的位置与程度。所设置的 3 处损伤单元弹性模量识别结果的最大相对误差为 4.43%,并且随着噪声级别增大, 损伤识别结果始终保持很好
23、的精度, 体现出算法良好的鲁棒性。从图 8 及表 2 给出的结果, 可以看出与单一损伤工况的结果类似, 即多损工况下测点信号也能跟踪准确, 损伤参数也能较快收敛到真值, 状态变量的所有元素均能正确识别。图 6 信噪比 15 d B 时测点 2 位移信号跟踪结果 Fig.6 The tracking displacement signal of measuring point 2 when signal-noise ratio is 15 d B 下载原图图 7 不同噪声水平下结构多处损伤的识别结果 Fig.7 Multi-damage identification results under
24、different noise levels 下载原图利用表 1、表 2 结果, 进一步分析不同噪声级别的影响, 可以发现状态向量 (4) 中各元素识别结果的精度与其对结构响应的贡献密切相关。与损伤参数、模态坐标初始值相比, 模态坐标时间导数的初始值对动力响应的贡献会由于阻尼的作用迅速衰减;因此, 随着噪声级别的提高, 模态坐标时间导数的识别结果会首先劣化;如果噪声级别继续增大, 损伤参数、模态坐标初始值的识别误差也会不断增加。总体上, 算法在抑制噪声干扰方面具有良好的性能。图 8 信噪比 15 d B 时损伤单元参数收敛曲线 Fig.8 Convergence curve of damage
25、 parameters when signal-noise ratio is 15 d B 下载原图表 2 多损工况状态变量识别结果 Tab.2 Multi-damage state parameter identification results 下载原表 2.3 传感器发生故障的结构损伤识别结果上述计算结果表明, 联邦扩展卡尔曼滤波算法能够准确识别结构的损伤位置与程度, 且具有良好的鲁棒性和收敛性。为进一步验证本文方法的故障检测与隔离能力, 采用 2.2 节简支梁结构多损伤工况 (信噪比为 20 d B) 进行分析。受篇幅限制, 本文仅考虑突变故障。假设测点 5 处的传感器发生突变故障 (
26、即故障信号与真实信号有一个突变的差值) , 导致测点 5 位移信号从 0.05 s 开始出现一个大小为 0.01 m 的突变故障, 如图 9 所示。此时, 如果不对故障信号进行检测和排除, 图 10 所示结果表明, 损伤识别结果会因测点 5 的突变故障信号干扰而出现明显的劣化, 从而导致损伤误判。利用联邦扩展卡尔曼滤波方法检测故障信号时, 由于每个子系统使用 3 个测点信息, 维数为 3, 误警率设为 0.5%, 查 分布表可得门限值 TD=12.838。根据图 2 所示的流程, 采用残差 检验法进行检验:(1) 由图 11 (a) 所示结果可知, 第一个子滤波器的故障检测函数值远大于门限值,
27、 表明第一个子系统中存在故障信号;而在图 11 (b) 中第二个子滤波器的故障检测函数值均小于门限值, 表明信号正常;第三个子滤波器的现象与第二个子滤波器类似, 未单独列出。由此, 可判定故障信号来自于第一个子系统, 且第二、三子系统中的传感器工作正常, 这与算例中的设定是一致的。(2) 在对各子系统是否存在故障传感器进行判断后, 可交换各子系统中的传感器, 并根据子系统故障检测函数图的变化, 进一步确认故障传感器编号。即将第一个子系统 (含故障传感器) 的测点 2、5、8 依次与第二个子系统的测点 3进行交换。再利用分别重组的信号重新检验, 计算结果显示, 当交换测点 5 与测点 3 时,
28、第二个子系统出现故障信号, 而第一个子系统信号正常, 故认为测点 5 处的传感器为故障传感器。图 9 测点 5 的故障信号 (20 d B) Fig.9 Fault signal of measuring point 5 (20 d B) 下载原图图 1 0 含故障信号的联邦扩展卡尔曼滤波识别结果 Fig.10 FEKF result in the case with a fault sensor 下载原图在完成故障信号诊断后, 即可通过对故障信号的隔离, 有效保证损伤识别结果的正确性。图 12 为剔除故障信号后的联邦扩展卡尔曼滤波损伤识别结果。对比图 10 和图 12 可知, 联邦扩展卡尔曼滤波方法能结合残差检验法实现对故障传感器信号的检测, 通过故障信号隔离以及观测信号的冗余性, 保证了结构损伤的正确性与稳定性, 有效避免了故障信号导致的损伤误判。图 1 1 不同子滤波器故障检测函数值 Fig.11 Fault detection function of the different filters 下载原图
