1、齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学 2018 年高考冲刺模拟试卷（三）文科数学试题本试卷共 4 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。一.选择题1. 若集合 M=（ x， y）| x+y=0， N=（ x， y）| x2+y2=0， xR， yR，则有（ ）A. M N=M B. M N=N C. M N=M D. M N=【答案】A【解析】分析：根据集合的表示法知集合 M 表示直线，集合 N 表示一个点且点在直线上，得到两集合的并集详解： N=（ x， y）| x2+y2=0， xR， yR ，且点(0,0)满足直线 x+y=0.所以 M N=M
2、，故选 A.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数 （ i 为虚数单位） ，则复数 Z 的共轭复数 的虚部为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】C【解析】分析：先化简 ，再根据负数的除法运算法则求解即可.详解： ， ， 的虚部为 ，故选 C点睛：3. 下列命题中，真命题是A. ，使得 B. C. D. 是 的充分不必要条件【答案】D【解析】试题分析：根据指数函数的值域可知， ，使得 ，所以 A 错误；因为，所以当 时， ，所以 B
3、 错误；当 时，所以 C 错误；当 时，由不等式的性质可知 ，反之则不一定成立，比如时 但 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 D.考点：指数函数的性质、基本不等式与充要条件的判断.4. 某程序框图如图，该程序运行后输出的 的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A【解析】试题分析：第一次进入循环后：第二次进入循环后：第三次进入循环后：第四次进入循环后：所以输出 4，故选 A.考点：程序框图的应用5. 已知 ， , ,则 的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：借助于中间值 1 和 0，利用各实数的范围可比较大小.详解： ， , ， ，故选 D.
4、点睛：比较大小常用的方法有：（1）作差法（作商法） ；（2）利用函数单调性比较大小；（3）借助中间变量比较大小. 6. 在满足条件 的区域内任取一点 ，则点 满足不等式的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：将不等式组所表示的可行域在坐标系中画出， 表示圆内的点，借助于圆落在可行域部分的面积比可得概率.详解：作平面区域，如图所示，可行域的面积为 .A(1,0),B(5,2),C(10,-3).所以 ，所以 .所以落在圆内的阴影部分面积为：易知 ，故选 B.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验
5、的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率7. 中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸） ，若 取 3，其体积为 12.6（立方寸） ，则图中的为（ ）A. 1.6 B. 1.8 C. 2.0 D. 2.4【答案】A【解析】分析：由三视图可知该几何体由一圆柱和一长方体组合而成，利用圆柱和长方体体积公式列方程即可得解.详解：
6、由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得： 则 ，故选 A.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图8. 已知函数 ， ，若 的最小值为 ，且，则 的单
7、调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：易知 的最小值为 ，从而得 ，再将 代入求解的 ，令，即可得解.详解：由 ，且 的最小值为 ，可知： ， ，又 ，则 ， ， ，所以 .令 ，解得 .故可求得 的单调递增区间为 ，故选 B.点睛：研究三角函数 的性质，最小正周期为 ，最大值为 .求对称轴只需令 ，求解即可，求对称中心只需令 ，单调性均为利用整体换元思想求解.9. 定义在上的连续函数 满足 ，且 时， 恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：构造新函数 ，易知该函数为奇函数且单调递减，从而由知 即： ，进而得解.详解：令 ，则
8、 为奇函数，又 时 在 上递减，由 知即： ，从而 ，故选 A.点睛：本题主要考查抽象函数的对称性性与单调性的应用，属于难题.将对称性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据对称性判断出函数在对称区间上的单调性(轴对称函数在对称区间上单调性相反，中心函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解.10. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】分析：由 ， 和 可得 ，进而得公差，由 可得 ，从而的通项公式，进而利用 可得解.详解：由 可知 ，设等差数列 的公差为 ，则 ， ， ，则
9、 ， ，故选 D.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.11. 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，该棱柱的体积为 ， ， ，若在该三棱柱内部有一个球，则此球表面积的最大值为( )A. 8 B. C. 2 D. 【答案】C【解析】分析：
10、先通过计算得底面为直角三角形，得内切圆半径为 ，再根据体积得高，比较 ，从而得解.详解：已知三棱柱 的侧棱垂直于底面， ， ， ，由余弦定理可得： ，有 , ，此直角三角形内切圆半径 ，又该棱柱的体积为 ，可得 ，而 ，若在该三棱柱内部有一个球，则此球半径的最大值为 ，此球表面积的最大值为 2.故选 C.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12. 若
11、、 是抛物线 上关于直线 对称的相异两点，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设点 ， ，由对称性可得斜率，再由点差法可得 ，进而的 中点坐标，可得直线 的方程，与抛物线联立结合弦长公式可得解.详解：设点 ， ，依对称性可知 ，由 ，两式相减得 ，设 中点为 ，则 ，代入对称轴方程可得 ，直线 的方程为 ，与抛物线方程联立知： ， ，故选 C.点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系,考查两点关于一条直线的对称点,考查两点间的距离公式和直线方程的形式.由于涉及两点关于一条直线对称,故可考虑点差法来解决,即设出两点的坐标,代入抛物线方程,作差后化为斜率和中点,结合题目所给已知条件可求得
12、中点的坐标.二.填空题13. 若向量 满足 ,且 ,则向量 与 的夹角为_.【答案】【解析】分析：运用数量积的运算量和数量积的定义，讲条件展开即可得解.详解：设 与 的夹角为 ， ， ， ，点睛：本题主要考查向量平面向量数量积公式，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.14. 某工厂有 120 名工人，其年龄都在 20 60 岁之间，各年龄段人数按20，30） ，30，40） ，40，50)，50，60分成四组，其频率分布
13、直方图如下图所示工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备。现采用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为 20 的样本参加新设备培训，培训结束后进行结业考试。已知各年龄段培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示：若随机从年龄段20，30）和40，50）的参加培训工人中各抽取 1 人，则这两人培训结业考试成绩恰有一人优秀的概率为_.【答案】【解析】分析：由频率分布直方图计算出年龄段20，30）和40，50）的人数，各选一人得基本事件总数，再分两种情况计算恰有一个优秀的事件个数，作比即为概率.详解：由频率分布直方图可知，年龄段20，30） ，30，40） ，40，50)，50,60的人数的频率分别为 0.3
14、，0.35，0.2，0.15，所以年龄段20，30） ，30，40） ，40，50） ，50，60应抽取人数分别为 6，7，4，3.若随机从年龄段20，30）和40，50）的参加培训工人中各抽取 1 人，则这两人培训结业考试成绩恰有一人优秀的概率为 .故答案为： .点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15. 共焦点的椭
15、圆与双曲线的离心率分别为 ，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的 倍，则的最大值为_.【答案】【解析】分析：设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为 、 ，椭圆的长半轴长和双曲线实半轴长分别为 、 ，根据条件得 ，令 ， ，利用三角函数求最值即可.详解：设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为 、 ，椭圆的长半轴长和双曲线实半轴长分别为 、 ，则 ，令 ， ，.故答案为： .点睛：对于椭圆 ，有离心率 ，其中对于双曲线 ，有离心率 ，其中 .当两个变量的平方和为定值时可以用三角换元求最值.16. 若关于 的方程 在 上有两个不同的解，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】分析：
16、方程可通过变量分离得到 ， ，设 ，求导得到函数的单调性及最值，从而可得参数范围.若方程存在两个不同解，则 ， ， ，设 ，则 在 上单调递增，且 ， 在 上单调递减， 上单调递增， ， ， 在 上恒成立，若方程存在两个不同解，则 ，即 .故答案为： .点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.三.解答题17. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .(1)求角 ；(
17、2)若 ，点 在线段 上， ， ,求 的面积.【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角可得 ，利用和角公式可得 ，进而得角 ；（2）将 平方可得 ，进而利用面积公式求面积即可 .详解：（1）因为 ，由正弦定理得： 即 , 在 中， ，所以 , . （2） ， .平方可得：解得： 所以 的面积 .点睛：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系” ，再利用三角函数的相关知识进行求解18. 为了解中学生课余观看
18、热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了 人进行问卷调查调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的 ，男生喜欢看该节目的占男生总人数的 随后，该小组采用分层抽样的方法从这 份问卷中继续抽取了 份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有 人(1) 现从重点分析的 人中随机抽取了 人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；(2) 若有 的把握认为“爱看该节目与性别有关” ，则参与调查的总人数 至少为多少？参考数据：0050 0025 0010 0005 00013841 5024 6635 7879 10828，其中 【答案】 （1） ；（2
19、） .【解析】分析：（1）记重点分析的 5 人中喜爱看该节目的为 ，不爱看的为 ，通过穷举法得到所有基本事件，利用古典概型公式求解即可；（2）由题意可得 列联表，进而计算 ，由题意得 ，从而得解.详解：(1) 记重点分析的 5 人中喜爱看该节目的为 ，不爱看的为 ，从 5 人中随机抽取 2 人，所有可能的结果有 ，共 10 种，则这两人都喜欢看该节目的有 3 种， ，即这两人都喜欢看该节目的概率为 ； (2)进行重点分析的 5 份中，喜欢看该节目的有 人，故喜爱看该节目的总人数为 ，不喜爱看该节目的总人数为 ；设这次调查问卷中女生总人数为 ，男生总人数为 ， ，则由题意可得 列联表如下：喜欢看
20、该节目的人数 不喜欢看该节目的人数 合计女生男生合计解得： ， 正整数 是 25 的倍数，设 ， ，则 ， ，则 ； 由题意得 ， ， ，故 .点睛：独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成 列联表；（II）根据公式 计算 的值；（III）查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断 （注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误 ）19. 如图，在三棱柱 ABC 中，侧面 是矩形， BAC=90， BC， =AC=2AB=4，且 (1)求证：平面 平面 ；(2)设 D 是 的中点，判断并证明在线段 上是否存在点 E，使得 DE平 面 若存在，求点 到平面
21、的距离【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设运用线面平行的判定定理及等积法探求.试题解析：（1）在三棱柱 中，侧面 是矩形，又 ， ，平面 ，又 ， ，又 ， ，平面 ，又 平面 ，平面 平面 6 分（2）解法一：当 为 的中点时，连接 ，如图 1，取 的中点 ，连接 ， ，又 ， ，所以平面 平面 ，又 平面 ，平面 ，又因为 ， 平面 ，设点 到平面 的距离为 ， ，所以点 到平面 的距离为 .12 分解法 2.当 为 的中点时，连接 ，如图 2，设 交 于点 ，连接 ，且 ，四边形 为平行四边形，则 ，又 平面 ，
22、 平面 ，平面 ，求距离同解法一.考点：线面平行的判定定理面面垂直的判定定理及体积转换法等有关知识的综合运用.20. 已知长轴长为 4 的椭圆 过点 ，点 是椭圆的右焦点.(1)求椭圆方程；(2)是否在 轴上的定点 ，使得过 的直线 交椭圆于 两点.设点 为点 关于 轴的对称点，且 三点共线？若存在，求 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2）存在定点 满足条件.【解析】分析：（1）根据题意得到 和 ，从而得椭圆方程；（2）设 ，直线 方程为 ，与椭圆联立得 ，设， ，则 ，由 三点共线有： ，即，结合韦达定理即可得解.详解：（1） ， ，点 代入 有：椭圆方程为： （2）存在定
23、点 满足条件：设 ，直线 方程为 ，联立消 有 ，设 ， ，则，且 由 三点共线有：， 存在定点 满足条件.点睛：本题考查了直线与椭圆、圆与椭圆的位置关系，在求解此类问题时设出直线方程，联立直线方程与曲线方程，结合根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积，然后按照题目要求给出各量之间的关系，从而计算出结果，本题需要一定的计算能力.21. 已知函数 在点 处的切线过点 (1)求实数 的值，并求出函数 单调区间；(2)若整数 使得 在 上恒成立，求 的最大值【答案】 （1） ， 在 单调递减，在 单调递增；（2）7.【解析】分析：（1）函数求导，由 处的切线斜率为 ，利用点斜式得到切线方程，将 代
24、入求解 的值，并根据导数的正负可得单调区间；（2）由 等价于 ，记 ，求导得 ，记 ，继续求导可知 在单调递增，易知存在 ，使得 ，从而得到 ，进而求范围即可.详解：(1) 的定义域为 ， ， 处的切线斜率为因此切线方程为 ，即 又切线过 ，代入上式解得 ，可得 在 单调递减，在 单调递增 （2） 时， ， 等价于记 ， 记 ，有 ， 在 单调递增 ，由于 ， ，可得因此 ，故又 由零点存在定理可知，存在 ，使得 ，即 且 时， ， 时，故 时， 单调递减， 时， 单调递增 由可得 故 的最大值为 7点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2
25、）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）.22. 已知曲线 ，直线 (1)写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；(2)过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.【答案】 （1）曲线 的参数方程 ，直线 的普通方程 ；（2）最大值为 ；最小值为 .【解析】分析：（1）由椭圆的参数方程易知曲线 的参数方程 ，直线 消去参数 可得普通方程；（2）由椭圆上点的参数形式求点到直线距离 ，则 ，进而可得最值.详解：（1）曲线 的参数方程 ，直线 的普通方程 . （2）曲线 上
26、任意一点 到直线 的距离为则 ，其中 为锐角，且 当 时，最大值为 ；当 时，最小值为 .点睛：本题主要考查把参数方程化为普通方程、为普通方程化为参数方程的方法， （在引进参数和消去参数的过程中药注意保持范围的一致性） ；椭圆参数方程应用求点到直线的距离，利用正弦函数求最值，属于基础题.23. 已知函数 (1)若 ，解不等式 ；(2)若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（1）平方去绝对值可解不等式；（2）存在 ，使得 成立，根据绝对值三角不等式知 ，从而得解.详解：（1）当 ，由 得 ，两边平方得 ，所以所求不等式的解集为 （2）由 ，得 ；即存在 ，使得 成立.因为 ，所以 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
