1、课时作业A 组基础对点练1(2018合肥市质检)已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内切球的表面积为( )A B.32C2 D3解析：依题意，作出圆锥与球的 轴截面，如 图所示，设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB 上的高为 2 ，因此 ，解得 r ，所以圆锥内切222 r3 r1 22球的表面积为 4( )22，故选 C.22答案：C2平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积2为( )A. B4 6 3C4 D6 6 3解析：设球的半径为 R，由球的截面性质得 R ，所以球的体积 V R34 22 12 343.3答案：B3已知
2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.323 163C. D.83 43解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV 柱 V 锥 (11)12 (11)12 ，故选 C.12 13 12 83答案：C4如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线(实线和虚线) 表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为( )A24 B29C48 D58解析：如图，在 324 的长 方体中构造符合题意的几何体 (三棱锥 ABCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为 4R2(3 22 24 2)29.答案：B5(2018合肥市质检)如图，网格纸上小正方形的边
3、长为 1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A3 B3 2C9 D9 2解析：由题中的三视图，可得 该几何体是一个以俯视图中的梯形 为底面的四棱锥，其底面面积 S (24)13，高 h3，故其体积 V Sh3，故选 A.12 13答案：A6若三棱锥 PABC 的最长的棱 PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是_解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径 R PA1，所以 该三棱锥的外接球的体积 V 13 .12 43 43答案： 437已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上，且
4、 AB3，BC ，过点 D3作 DE 垂直于平面 ABCD，交球 O 于 E，则棱锥 EABCD 的体积为_解析：如图所示，BE 过球心 O，DE 2，42 32 32VEABCD 3 22 .13 3 3答案：2 38已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AHHB 12，AB平面 ，H 为垂足， 截球 O所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_解析：如图，设截面小圆的半径 为 r，球的半径 为 R，因为 AHHB12，所以 OH R.由勾股定理，有 R2r 2OH 2，又由 题意得 r2，则 r1，故13R21( R)2，即 R2 .由球的表面积公式，得 S4R 2 .13 98 92
5、答案：929如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置(1)证明：ACHD ；(2)若 AB5，AC6，AE ，OD2 ，求五棱锥 D ABCFE 的体积54 2解析：(1)证明：由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得 ，故 ACEF.AEAD CFCD由此得 EFHD，EFHD，所以 ACHD.(2)由 EFAC 得 .OHDO AEAD 14由 AB5，AC6 得 DOBO 4.AB2 AO2所以 OH1，DHDH3.于是 OD 2OH 2(2 )21
6、29DH 2，2故 ODOH.由(1)知，ACHD，又 ACBD，BDHDH ，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD.又由 ODOH，ACOHO，所以 OD 平面 ABC.又由 得 EF .EFAC DHDO 92五边形 ABCFE 的面积 S 68 3 .12 12 92 694所以五棱锥 DABCFE 的体积 V 2 .13 694 2 232210.(2018莆田质检)如图，在四棱锥 SABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，E 为 SA 的中点，SA SB2，AB 2 ，BC3.3(1)证明：SC 平面 BDE；(2)若 BCSB ，求三棱锥 CBDE 的体积解析：(1)证明：连接
7、AC，设 ACBDO，四 边形 ABCD 为矩形，则 O 为 AC 的中点在ASC 中，E 为 AS 的中点，SCOE，又 OE平面 BDE，SC平面 BDE，SC平面 BDE.(2)BCAB，BCSB，ABSBB，BC平面 SAB，又 BCAD，AD平面 SAB.SC平面 BDE，点 C 与点 S 到平面 BDE 的距离相等，VCBDEV SBDEV DSBE，在ABS 中，SA SB 2，AB2 ，3SABS 2 1 .12 3 3又 E 为 AS 的中点，S BES SABS .12 32又点 D 到平面 BES 的距离为 AD，VDBES SBESAD 3 ，13 13 32 32VC
8、BDE ，即三棱锥 CBDE 的体积为 .32 32B 组能力提升练1(2018湖北七市联考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为( )A36 B. 1123C32 D28解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱 锥，其底面是一个边长为 4 的正方形，高是 2.将 该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示， 则其底面是 边长为 4 的正三角形，高是 4，该3三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为 2 ，外接球的半径 R 23 3 433 (433)2 22，外接球的表面积 S4R 24 ，故选 B.283
9、283 1123答案：B2(2018广州模拟)九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面 ABC，PAAB2，AC 4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( )A8 B12C20 D24解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以 PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心 O，易得 2RPC ，所以 R ，球 O 的表面积为 4R220 ，选 C.20202答案：C3在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球若ABBC，AB
10、 6，BC8，AA 13，则 V 的最大值是( )A4 B.92C6 D.323解析：由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径 R ，该球的体积最大， Vmax R3 .32 43 43 278 92答案：B4四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 88 ，则球 O 的体积等于( )3A. B.323 3223C16 D.1623解析：依题意，设球 O
11、的半径为 R，四棱锥 SABCD 的底面边长为 a、高 为 h，则有 hR，即 h 的最大值是 R，又 AC2R， 则四棱锥 SABCD 的体积 VSABCD 2R2h .因此，13 2R33当四棱锥 SABCD 的体积最大，即 hR 时，其表面 积等于 ( R)24 R 212 288 ，解得 R2，因此球 O 的体积等于 ，选 A. 2R22 R2 3 4R33 323答案：A5(2017河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为_cm 3.解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如 图所示，在三棱锥DABC 中，底面 ABC 是等腰三角形，设底边 AB 的中点为 E，则底边
12、 AB 及底边上的高 CE 均为 4，侧棱 AD平面 ABC，且 AD4，所以三棱锥 DABC 的体积 V SABCAD 444 (cm3)13 13 12 323答案：3236已知正四棱锥 OABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，OA 为半径的球322 3的表面积为_解析：过 O 作底面 ABCD 的垂 线段 OE(图略) ，则 E 为正方形 ABCD 的中心由题意可知( )2OE ，所以 OE ，故球的半径 ROA ，则球的表面积13 3 322 322 OE2 EA2 6S4 R224.答案：247如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA6.顶点 P 在平面
13、 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.(1)证明：G 是 AB 的中点；(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的体积解析：(1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 ABPD.因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 ABDE.因为 PDDE D，所以 AB平面 PED，故 ABPG.又由已知，可得 PAPB ，所以 G 是 AB 的中点(2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内
14、的正投影理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC，又 EFPB，所以 EFPA，EFPC.因此 EF平面PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD CG.23由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC，因此 PE PG，DE PC.23 13由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2，PE2 .2在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EFPF 2，所以四面体 PDEF 的体积 V 222 .13 12 43
