1、第四章 整式的乘除高频考点 考查频率 所占分值1幂的有关运算 2整式的乘法 3乘法公式(平方差公式、完全平方公式) 4整式的除法 39 分5因式分解 6整式的混合运算 知能图谱同底数幂的乘法 字母表示： ( ， 都是正整数)mnan幂的乘方 字母表示： ( ， 都是正整数)积的乘方 字母表示： ( 是正整数)nb同底数幂的除法 字母表示： ( ， ， 都是mna0amn正整数，并且 )零指数幂 字母表示： 01负整数指数幂 字母表示： ( ， 为正整数)pa0p单项式乘单项式：单项式与单项式相系，把它们的系数、同底数幂别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为的一个因式单项式乘
2、多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每项，再把所得的积相加平方差公式： 2abab22联系 4abab单项式除以单项式转化多项式除以单项式幂的运算乘法公式多项式乘多项式整式的乘法完全平方公式整式的除法 整式的混合运算整式的乘除因式分解的意义因式分解的方法 (提 公 因 式 法公 式 法( 逆 用 平 方 差 公 式逆 用 完 全 平 方 公 式 )分 组 分 解 法 (拓 展 ) )因式分解的步骤 一般步骤：一提、二套、三分组、四彻底利用因式分解解决相关问题第 7 讲 幂的运算性质知识能力解读知能
3、解读 (一)同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ( ，mna都是正整数)n注意：(1)在学习同底数幂的乘法过程中，不仅要记住结论?更重要的是掌握结论的推导过程(2)这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如 ( ，mnpmnp， 都是正整数)p(3)运算性质可以逆用，如 ( ， 都是正整数 )mnna(4)幂的底数 可以是单项式，也可以是多项式，如 ，213aa325xyxy(5)当幂指数为 l 时，不要误以为指数为 0，如 ，而不是 34 3(二)幂的乘方幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 ( ， 都是正整数)nma注意：(1)不要把幂
4、的乘方与同底数幂的乘法混淆幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算( 底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算 (底数不变)(2)根据同底数幂的运算性质可推出结论：nmmnmnaaaL个个(3)此性质可以逆用： ，如 n3515(三)积的乘方积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即( 是正整数) nab注意：(1)同理，三个或三个以上的因数( 或因式)的积的乘方，也具备这一性质，如( 为正整数) nc(2)此性质可以逆用： ，如 nnab229481(3)积的乘方公式中， ， 可以表示数，也可以表示含有字母的代数式(四)同底数幂的除法同底数幂的除法法则：
5、同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 (mna， ， 都是正整数，并月 )0amnmn注意：(1)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如( ， ， ， 都是正整数，且 )ppa0pp(2)底数 不能为 0，若 为 0，则除数为 0，除法就没有意义了整式乘法因式分解(3)注意指数为“1”的情况，如 ，不能把 的指数当成“0” 3312aa(4)该法则可以逆用，即 ( ， ， 都是正整数，且 )mnn0mnmn(五)零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂的意义：任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即 0a(2)负整数指数幂的意义：任何不等于零的数的 ( 为正整数) 次幂，等于这个数的次幂
6、的倒数，即 ( ， 为正整数)n1na0n在 中，当 时，规定 mm01mnaa当 时，规定 ，如 1n373410(3)零指数幂与负整数指数幂的注意事项：在 中，底数 不等于零，否则无意义底数 可以是不等于 0 的数或式子01aaa学习零指数幂和负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到了整数指数幂如： ； ； ；2323122b4312等4347方法技巧归纳方法技巧 (一)同底数幂的乘法、除法运算解题技巧同底数幂的运算法则，无论是乘法法则，还是除法法则，只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化为同底，若不能化为同底，则不能用上述法则(二)幂的乘方、积的乘方运算解题技巧运用幂的乘方时
7、，一定要注意底数的符号；在进行积的乘方运算时，应把底数的各因式分别乘方，不要忽略任何一项幂的乘方和积的乘方法则均可逆用(三)零指数幂和负整数指数幂的解题技巧(四)利用幂的运算性质比较数的大小的解题技巧(拓展)当所给幂的指数、底数均不相同，且指数较大时，可利用幂的乘方性质化为同指数幂，根据底数大小关系确定原来三个幂的大小关系比较几个幂的大小时，可以将它们逆用幂的乘方法则，化成同底数或同指数的幂再比较大小易混易错辨析易混易错知识1同底数幂的乘法法则与合并同类项法则容易混淆同底数幂相乘，底数不变，指数相加，如 ；而合并同类项的法339aa则是只把系数相加，字母和字母的指数都不变，如 此处31a易犯
8、的错误故解题时，应认真审题，看清题目是什么运算，然3339aa后准确选用法则2幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则容易混淆幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变) ，同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算(底数不变)在运算时，特别注意二者的区别，如 的运算顺序为先324x乘方，再乘法，不要出现类似 的错误325xx易混易错 (一)在运用积的乘方法则时，没有把每个因式分别乘方，忽略某些因式的乘方，或符号山错(二)对同底数幂的除法法则理解不透导致出错(三)忽略零指数幂和负整数指数幂底数不为 0 的条件中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要有同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方运算以及零指数幂和
9、负整数指数幂的运算，题型以选择题、填空题为主，也有简单的解答题中考试题 (一)同底数幂的乘法(二)幂的乘方和积的乘方(三)零指数幂和负整数指数幂(四)幂的综合运算第 8 讲 整式的乘法知识能力解读知能解读 (一)单项式与单项式相乘的法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式如： 322324325515xyzxyzxyz注意：(1)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用(2)由法则可知，在用法则解题时，可按三步进行：系数相乘 确定积的系数，相乘时注意符号；相同字母的幂相乘底数不变，指数相加；只在一个单项式里含有的
10、字母连同字母的指数写在积中，不要漏掉这个因式记忆口诀：系数乘系数，字母乘字母(二)单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mabcambc注意：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式(2)单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同(3)计算时注意符号，多项式中的每一项都包括它前面的符号，根据这一特点确定乘积中每一项的符号(4)运算结果中有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果(三)多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积
11、相加即(a+b)(m+n)=am+anbm+bn(1)要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，不要漏乘项(2)注意多项式中的符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，计算时要细心(四)乘法公式1平方差公式(1)公式： 2abab(2)意义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差这个公式叫作平方差公式记忆口诀：和乘差，平方差(3)特征：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；右边是左边二项式中两项的平方差(相同项的平方减相反项的平方) ；公式中的 和 可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式ab(4)公式的几何背景：如图所示，最上层的矩形 的面积为 ，
12、它等ABCDab于大正方形 的面积 与小正方形 的面积 的差，即AGHE2MNHF2b2abG bbab a HNMFEDCBA2完全平方公式(1)公式： ； 22abb22(2)意义：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去) 它们的积的 2 倍(3)特征：左边是个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍可简记为“首平方 ，2a尾平方 ，积的 2 倍 在中央” 2bab公式中的 ， 可以是单项式，也可以是多项式(4)公式的几何背景：如图所示，用图形面积表示图的几何意义为，表示图 的几何意义为222a
13、22bababab babababa(五)特殊乘法公式( 拓展)( ， 是常数) (利用多项式乘法运算法则可从左2xabx边得到右边)公式特征：(1)相乘的两个因式都只含有一个相同的字母都是一次二项式，并且一次项的系数为1(2)乘积是二次三项式，二次项系数是 1，一次项系数是两常数项之和，常数项等于两个因式中的常数项之积方法技巧归纳方法技巧 (一)单项式与单项式相乘的解题方法单项式与单项式相乘的顺序是：(1)系数相乘；(2)同底数的幂相乘；(3)只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起写在积中故正确进行幂的运算是解题的关键；要先确定符号，再计算(二)单项式与多项式相乘的解题方法单项式与多项
14、式相乘，实质是利用乘法的分配律，计算时注意运算顺序，不要漏项(三)多项式与多项式相乘的解题方法多项式乘多项式，其主要方法是分项轮乘，依次转化为单项式乘单项式，不要漏乘项(四)整式乘法的综合创新题整式乘法的综合创新题主要考查整式乘法法则的运用能力，一般是由特殊情况推测一般规律，培养创新能力(五)利用乘法公式计算的解题技巧乘法公式是一种特殊形式的乘法法则，它通过多项式的乘法法则，把特殊多项式的运算结果写成公式形式并加以应用运用公式计算可使多项式相乘变得方便简捷，但运用时要掌握公式的结构特征，只要符合公式结构特征就可以运用公式进行计算，否则不能用公式中的字母可以是具体数，也可以是含有字母的代数式1直
15、接应用公式计算2开放探究题3乘法公式巧变形(六)整式的混合运算整式的混合运算一般应注意以下几点：(1)将多项式的运算转化为单项式的运算； (2)确定符号；(3)确定运算顺序与运算类型；(4)尽量运用乘法公式简化多项式的乘法运算1混合运算2化简求值易混易错辨析易混易错知识1在整式乘法法则的运用上易出错错误有：(1)漏乘多项式的某些项；(2)单项式与多项式相乘时，易出现符号错误(多项式中每一项都包括它前面的符号，还要注意单项式的符号) 2对平方差公式理解不透导致出错(1)分不清哪一项相当于公式中的 ，哪一项相当于公式中的 ，导致误用ab(2)对不具备平方差公式特征的运算误用了平方差公式如出现之类的
16、错误，实际上本题应该用多项式与多项式相乘的法则计24xyxy算： 223xy3混淆完全平方公式与平方差公式运用完全平方公式时常出现的错误有：(1)与平方差公式混淆，误写成 ；22ab(2)弄错中间项“积的 2 倍”的符号易混易错 (一)单项式乘多项式时易漏乘或弄错符号(二)错用乘法公式(三)运用乘法公式时易弄错符号中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要是整式的乘法，它是初中数学的重点内容，是有理数乘法和幂的运算法则的综合，是代数式变形、化简、求值、因式分解等的重要基础，题型以填空题、选择题、计算题为主，有的为化简求值题，多与其他知识(分式、根式、方程( 组)、不等式(组)等)综合命题，有时也会
17、联系几何知识综合命题，一般为容易题和中等难度题中考试题 (一)考查运算法则和完全平方公式的运用(二)考查运算法则与平方差公式的运用(三)整式乘法的综合应用(四)利用整式乘法化简求值第 9 讲 整式的除法知识能力解读知能解读 (一)单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式注意：对法则的理解应注意三点：(1)两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可(2)只在被除式里含有的字母不要漏掉如(3)在单项式除以单项式中只研究整除的情3423343212abcabc况，因此，在除式中所出现的一切字母，在被除式中不
18、仅也要出现，而且其指数要分别都不小于除式中同一字母的指数在这个前提下，单项式相除，可以按系数、相同字母、被除式单独有的字母这几部分进行(二)多项式除以单项式法则一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加如：ambcdmabcmdabcd注意：(1)这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的例如： am(2)多项式的每一项都包括它前面的符号(3)计算时不要漏项方法技巧归纳方法技巧 (一)单项式除以单项式的解题技巧单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，其运算顺序为：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的
19、字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号(二)多项式除以单项式的解题技巧多项式除以单项式，除掌握法则外，还应注意：(1)多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致，在计算时不要漏项；(2)计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，注意符号的变化易混易错辨析易混易错知识1单项式除以单项式时，容易出现的错误(1)忽略系数的符号；(2) 当某一字母指数为 1 时容易忽略该指数2多项式除以单项式时，容易出现的错误(1)漏项；(2)符号错误易混易错 (一)审题、计算不认真致错(二)除式的系数忘记变成其倒数(三)由于对法则理解不透或粗心致错中考试题研究中考命题规律本讲的考点主
20、要是整式的除法，它是数学中的重要基础知识单独考查时，以填空题、选择题为主，也常与其他知识综合考查，题型以解答题为主中考试题 整式的综合运算第 10 讲 因式分解知识能力解读知能解读 (一)因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，即多项式 几个整式的积因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程要求把每个因式都分解到不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，怎样才算不能再分解呢?这要看题目的要求，若指出在有理数范围内因式分解，则 就符合要求，若指422xx化为出在实数范围内因式分解，则 才符42222xxx合要求
21、注意：(1)因式分解时应注意以下几点：结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于或等于原多项式的次数；分解因式必须分解到不能再分解为止(2)因式分解与整式乘法是两种不同的变形过程，它们是互逆关系如 2abA乘ab(二)公因式的定义多项式的各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式如中，各项都含有因式 ，故 叫作这个多项式各项的公因式公因式可以是cd一个数或一个字母，也可以是含有字母的代数式，如 中，公因式是2axb2x公因式的构成如下：(1)系数取各项系数的最大公约数； (2)字母取各项都含有的字母；(3)次数 取相同字母的最低指数(三)因式
22、分解的方法1提公因式法(1)定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法如，这个变形就是用提公因式法分解因式这里的 可以表示mabcabc m单项式，也可以表示多项式， 称为公因式m(2)提公因式法的步骤：第一步：确定公因式；第二步：提出公因式并确定另一个因式，提出公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式，注意：提公因式法是因式分解的最基本的方法，因式分解必须首先考虑多项式各项之间是否存在公因式，因此关键是确定公因式，为了准确迅速地找出公因式，必须做到“五看” (1)
23、看系数公因式的系数是各项系数的最大公约数(2)看字母公因式中的字母应是各项中的相同字母(3)看字母的指数公因式中字母的指数是各项中相同字母的最低指数(4)看整体有时在多项式中，如果各项都含有相同的“多项式” ，就应把它作为一个“整体”提出来尤其要注意，有时多项式的符号相反时，变号后再提出(5)看首项符号如果多项式首项系数为负，应提出“” ，或用加法交换律使首项的符号为正2公式法如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法(1)逆用平方差公式： ；2abab(2)逆用完全平方公式： 22注意：(1)公式中的字母 ， 可代表一个单项式或一个多项式(2)逆用平
24、方差公式分解因式的特点左边是二项式，两项都是平方的形式且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积(3)逆用完全平方公式分解因式的特点左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或式子) 的平方，且这两项的符号都为正，中间一项是这两个数(或式子 )的积的 2 倍，符号正负均可右边是两个数(或式子)的和(或差) 的平方，当左边中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当左边中间的乘积项与首未两项的符号相反时，是差的平方(4)选用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式，应考虑逆用平方差或立方和(差)公式；若多项式是三项式，可考虑逆用完全平方公式然后观察各项系数、次数是否符合公式特征运用公
25、式的关键是将多项式改写成符合公式的形式3分组分解法(拓展)分组分解法是把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行分组时用到添括号，添括号时要注意各项符号的变化注意：当多项式的项比较多时，可将多项式进行合理分组分组方法不一定唯一4 型式子的因式分解(拓展)2xab利用 把二次三项式分解因式，也叫“十字相乘法”xaxb注意：(1)十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘的和等于一次项系数(2)不是所有的二次三项式都能用“十字相乘法”分解因式(四)因式分解的般步骤及注意问题因式分解的步骤概括为“一提” “二套” “三分组” “四彻底” 一提：若多项式各项有公因
26、式时，应先提公因式二套：多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑能否逆用平方差公式或立方和(差)公式，如果是三项式就考虑能否逆用完全平方公式或二次三项式的因式分解三分组：若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法四彻底：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止因式分解的结果，必须是几个整式的积例如 ，虽然这里的右边是乘积的形式，但 不是整式，所以不21a 1a是因式分解方法技巧归纳方法技巧 (一)因式分解与整式乘法的识别判断一个变形是不是因式分解，主要看这个变形是否符合因式分解的意义，故只有当左边是“和、差”的形式，而右边是积的形式的时候才可以判断自左向右的变形可能是因式分解当然
27、，变形前后，等号两边的式子必须都是整式且相等(二)提公因式法分解因式的规律提公因式法是因式分解最基本、最常用的方法，其实质是逆用了分配律运用这个方法，关键是确定公因式，然后提公因式并确定另一个因式(三)公式法分解因式的规律运用公式法的关键是熟悉各公式的形式的特点(四)因式分解中的特殊方法因式分解除了提公因式法和公式法之外，分组分解法、十字相乘法等尽管不作要求，但应用很方便1分组分解法2 型式子的因式分解(十字相乘法)xpqx(五)利用因式分解化简求值易混易错辨析易混易错知识1因式分解与整式乘法的联系与区别，(1)因式分解和整式乘法是互逆变形，多项式的因式分解是把和差的形式化为积的形式，而整式乘
28、法是把积的形式化为和差的形式，都是恒等变形，但它们是互逆的两个过程，如是因式分解，而反过来， 是整式乘法211xx211xx(2)鉴于因式分解与整式乘法是互逆变形，因此可用将因式分解的结果还原成一个多项式的方法检验因式分解是否正确，同时，这也是一种逆向思维的训练若混淆了因式分解与整式乘法，易犯“循环分解”的错误，例如分解因式 ，误写成原式3a2 211aaa2因式分解不彻底因式分解的最终结果必须分解到每个因式不能再分解为止易混易错 (一)因式分解结果不彻底(二)错在漏项(三)因式分解走回头路(四)运用公式出错中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要是因式分解，它是一种重要的恒等变形，是进一步学习分式运算、解方程、函数变形及其他数学知识的重要基础，它与代数式的化简求值、整式的乘法及今后学习的分式、一元二次方程等许多内容密切相关，故中考试题都以直接或间接的方式进行考查，常以填空题、选择题的形式出现，综合题以解答题为主中考试题 (一)公因式的确定(二)分解因式(三)利用因式分解求值(四)因式分解的综合创新(五)实际问题中的因式分解
