1、7.2 圆锥曲线的标准方程与性质命题角度 1 圆锥曲线的定义及标准方程 高考真题体验对方向1.(2017 全国 10)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2 与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16 B.14 C.12 D.10答案 A解析 方法一:由题意,易知直线 l1,l2 斜率不存在时,不合题意.设直线 l1 方程为 y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去 y,得 x2-2x-4x+=0,所以 x1+x2=.同理,直线 l2 与抛物线的交点满足 x3+x4=
2、.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8= 16,当且仅当 k1=-k2=1(或-1) 时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得 F(1,0),设 AB 倾斜角为 .作 AK1 垂直准线,AK 2 垂直 x 轴,结合图形,根据抛物线的定义 ,可得所以|AF|cos + 2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|= ,所以|AB|=. 又 DE 与 AB 垂直,即 DE 的倾斜角为+,则|DE|= ,所以|AB|+|DE|=16,当 =时取等号,即|AB|+|DE| 最小值为 16,故选 A.2.(2016 全国 5)已知方程=1 表示双曲线,且
3、该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是( )A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,)答案 A解析 (定义、公式)因为双曲线的焦距为 4,所以 c=2,即 m2+n+3m2-n=4,解得 m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n )0,解得-10,c=,则离心率 e=,解得 m=2.4.(2016 北京13) 双曲线=1(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点 B为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a= . 答案 2解析 四边形 OABC 是正方形, AOB=45, 不妨设直线 OA 的方程即双曲线的
4、一条渐近线的方程为 y=x. =1,即 a=b.又|OB|=2, c=2. a2+b2=c2,即 a2+a2=(2)2,可得 a=2.新题演练提能刷高分1.(2018 山东济南一模)已知椭圆 C:=1(ab0),若长轴长为 6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案 B解析 椭圆长轴长为 6,焦点恰好将长轴三等分, 2a=6,a=3, 6c=6,c=1,b2=a2-1=8, 椭圆方程为=1,故选 B.2.(2018 北京朝阳一模)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B两点,若|AB|=8,
5、 则线段 AB 的中点 M 到直线 x+1=0 的距离为 ( )A.2 B.4 C.8 D.16答案 B解析 如图,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1,即 x+1=0,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足为 C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB 的中点 M 作准线的垂线,垂足为 N,则 MN 为直角梯形 ABDC 的中位线,则|MN|=(|AC|+|BD|)=4,即 M 到准线 x=-1 的距离为 4.故选 B.3.(2018 吉林长春第二次质量监测 )已知椭圆= 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 且垂直于长轴的直线交椭圆
6、于 A,B 两点,则 ABF1 内切圆的半径为( )A. B.1 C. D.答案 D解析 由=1 得 a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF 1 的周长为 4a=8,ABF1 面积为|F 1F2|yA-yB|=23=3=8r,解得 r=,故选 D.4.(2018 甘肃兰州第二次实战考试 )已知点 A(-1,0),B(1,0)为双曲线=1(a0,b 0)的左、右焦点,点 M 在双曲线上,ABM 为等腰三角形,且顶角为 120,则该双曲线的方程为( )A.x2-=1 B.x2-y2=1C.x2-=1 D.x2-=1答案 B解析 由点 M 在双曲线上,ABM 为等腰三角形,且顶角为 120,得|A
7、B|=|BM|,ABM=120,过点 M 作 MNx 轴,垂足为 N,则NBM=60,如图所示.在 RtBNM 中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos 60=a,|MN|=2asin 60=a,即 M(2a,a),代入双曲线方程得 4-=1,即 b2=a2. 点 A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点, a=b=1, 双曲线的方程为 x2-y2=1.5.(2018 河北衡水模拟)已知抛物线 C:y2=8x 上一点 P,直线 l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则 P 到这两条直线的距离之和的最小值为( )A.2 B.2C. D.答案 D解析 由题意
8、得直线 l1:x=-2 是抛物线的准线 ,设 P 到直线 l1 的距离为 PA,点 P 到直线 l2 的距离为 PB,所以 P 到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当 P,B,F 三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为,故选 D.6.(2018 安徽合肥第一次质检 )如图,椭圆= 1 的焦点为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 M,N 两点,交 y 轴于点 H.若 F1,H 是线段 MN 的三等分点,则 F2MN 的周长为( )A.20 B.10 C.2 D.4答案 D解析 由题意知 H 为线段 F1N 的中点,且 F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点
9、 N 的横坐标为 c,即 NF2x 轴,所以 N c, ,则 H 0, .又 F1 为线段 HM 的中点,由中点坐标公式可得 M -2c,- ,代入椭圆方程得=1, a2=1+4c2, 1+4c2=4+c2, c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,F 2MN 的周长为 4a=4.7.(2018 江西六校联考)双曲线 C:-y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交双曲线左支于 A,B 两点,则|AF 2|+|BF2|的最小值为 . 答案 9解析 由双曲线的定义,得|AF 2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2 +4a=2+8=9(即
10、当ABx 轴时取等号).命题角度 2 圆锥曲线的简单性质及其应用 高考真题体验对方向1.(2018 全国 5)双曲线=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y=x B.y=xC.y=x D.y=x答案 A解析 e=, +1=3. . 双曲线焦点在 x 轴上, 渐近线方程为 y=x, 渐近线方程为 y=x.2.(2018 全国 11)已知双曲线 C:-y2=1,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N.若OMN 为直角三角形,则|MN|=( )A. B.3 C.2 D.4答案 B解析由条件知 F(2,0),渐近线方程为 y=x,
11、所以NOF= MOF=30,MON=6090.不妨设OMN=90,则|MN|=|OM|.又|OF|=2,在 RtOMF 中,|OM|=2cos 30 =,所以|MN|=3.3.(2017 全国 5)已知双曲线 C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=x,且与椭圆=1 有公共焦点,则 C 的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案 B解析 由题意得,c=3.又 a2+b2=c2,所以 a2=4,b2=5,故 C 的方程为=1.4.(2017 天津5) 已知双曲线=1( a0,b0)的左焦点为 F,离心率为,若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线
12、的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案 B解析 设双曲线半焦距为 c(c0),则双曲线=1(a0,b0)的左焦点 F 的坐标为( -c,0),渐近线方程为 y=x. 点 P 的坐标为(0,4), 直线 PF 的斜率为 k=.由题意得. 双曲线的离心率为, .在双曲线中,a 2+b2=c2,联立 解得 a=b=2,c=4. 所求双曲线的方程为=1.故选 B.5.(2018 全国 16)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A,B 两点,若AMB=90,则 k= . 答案 2解析 设直线 AB:x=my+1,联立y 2-4my
13、-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而=( x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1). AMB=90, =(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0. m=. k=2.6.(2016 天津6) 已知双曲线=1( b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答
14、案 D解析 根据对称性,不妨设点 A 在第一象限,其坐标为(x,y),于是有则 xy=b2=12.故所求双曲线的方程为=1,故选 D.7.(2017 全国 16)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点N,若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . 答案 6解析 设 N(0,a),由题意可知 F(2,0).又 M 为 FN 的中点,则 M.因为点 M 在抛物线 C 上,所以=8,即 a2=32,即 a=4.所以 N(0,4).所以|FN|=6.新题演练提能刷高分1.(2018 河南豫南豫北第二次联考 )若 F(c,0)是椭圆=1 的右焦点,F
15、 与椭圆上点的距离的最大值为 M,最小值为 m,则椭圆上与 F 点的距离等于的点的坐标是 ( )A. c, B. -c,C.(0,b) D.不存在答案 C解析 由椭圆的性质得 M=a+c,m=a-c,所以=a,椭圆上与 F 点的距离等于 a 的点为短轴的两个端点,故选 C.2.(2018 湖南长沙模拟)椭圆 E 的焦点在 x 轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点,则椭圆 E 的标准方程为( )A.=1 B.+y2=1C.=1 D.=1答案 C解析 由条件可知 b=c=,a=2,所以椭圆方程为=1,故选 C.3.(2018 湖南长郡中学模拟)已知以原点为中
16、心,实轴在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=x,焦点到渐近线的距离为 6,则此双曲线的标准方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案 C解析 双曲线的一条渐近线方程是 y=x, . =6, c=10. c2=a2+b2, a2=64,b2=36, 双曲线方程为=1.4.(2018 河南中原名校质量考评 )已知点 P(x1,y1)是椭圆=1 上的一点,F 1,F2 是焦点,若F 1PF2取最大时,则PF 1F2 的面积是( )A. B.12C.16(2+) D.16(2-)答案 B解析 椭圆方程为=1, a=5,b=4,c=3,因此椭圆的焦点坐标为 F1(-3,0),F2(3,0
17、).根据椭圆的性质可知,当点 P 与短轴端点重合时,F 1PF2 取最大值 ,则此时PF 1F2 的面积 S=234=12,故选 B.5.(2018 湖北天门、仙桃、潜江期末联考 )如图 F1,F2 是椭圆 C1:+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A ,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的虚轴长为 . 答案 2解析 设双曲线 C2 的半实轴长为 a,半虚轴长为 b,则|AF 2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=22=4, |AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2=(2)2=12, =12, a2=2,b2=c2-a2=
18、3-2=1. 2b=2,即 C2 的虚轴长为 2.命题角度 3 求椭圆、双曲线的离心率 高考真题体验对方向1.(2017 全国 9)若双曲线 C:=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x- 2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为( )A.2 B. C. D.答案 A解析 可知双曲线 C 的渐近线方程为 bxay=0,取其中的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为,即,所以 c=2a,所以 e=2,故选 A.2.(2016 全国 11)已知 F1,F2 是双曲线 E:=1 的左、右焦点,点 M 在 E 上,MF 1 与 x 轴垂直,sinMF 2F
19、1=,则 E 的离心率为 ( )A. B. C. D.2答案 A解析 因为 MF1 垂直于 x 轴,所以|MF 1|=,|MF2|=2a+.因为 sin MF 2F1=,所以,化简得 b=a,故双曲线的离心率 e=.3.(2016 全国 11)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点.P 为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.答案 A解析 由题意,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+a),k0,分
20、别令 x=-c 与 x=0,得|FM|=k (a-c),|OE|=ka.设 OE 的中点为 G,由OBG FBM,得,即,整理,得,故椭圆的离心率 e=,故选 A.4.(2017 全国 15)已知双曲线 C:=1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点.若MAN= 60,则 C 的离心率为 . 答案解析 如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b , MAN=60, |AP|=b,|OP|=.设双曲线 C 的一条渐近线 y=x 的倾斜角为 ,则 tan =.又 tan =, ,解得 a2=3b2, e=.
21、新题演练提能刷高分1.(2018 河北唐山二模)椭圆 C:=1(ab0)右焦点为 F,存在直线 y=t 与椭圆 C 交于 A,B 两点,使得ABF 为等腰直角三角形,则椭圆 C 的离心率 e=( )A. B.-1 C.-1 D.答案 B解析 由题意得当 BFAB 时, ABF 为等腰直角三角形,所以|FB|=|AB| , =2c, b2=2ac. a2-c2=2ac. 1-e2=2e. e2+2e-1=0. e=-1.由于椭圆的离心率 e(0,1),所以 e=-1,故选 B.2.(2018 湖南、江西十四校第二次联考 )如图所示,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状 ,则该椭圆的离心率为( )A.
22、 B. C. D.答案 D解析 椭圆的短轴长为圆柱的直径,椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形,且长轴与直径的夹角为 30.b=r,a=2r, c=r,e=.故选 D.3.(2018 东北三省三校二模)F 1,F2 是双曲线= 1(a0,b0)的左、右焦点 ,过 F1 且斜率为 1 的直线与两条渐近线分别交于 B,A 两点,若= 2,则双曲线的离心率为( )A. B.C. D.答案 B解析 设直线方程为 y=x+c,与渐近线方程 y=x 联立方程组解得 yB=,yA=, =2, yB-yA=2(0-yB),yA=3yB. , b=2a. c=a,e=,选 B.4.(2018
23、安徽合肥第二次质检 )已知双曲线 C:=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,A,B 是双曲线 C上的两点,且=3,cosAF 2B=,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.答案 B解析 如图,设 A,B 是双曲线 C 左支上的两点,令|AF 1|=3|F1B|=3m(m0),由双曲线的定义可得|BF 2|=2a+m,|AF2|=2a+3m.在F 2AB 中,由余弦定理得(4 m)2=(2a+m)2+(2a+3m)2-2(2a+m)(2a+3m),整理得 3m2-2am-a2=0,解得 m=a 或 m=-a(舍去). |AB|=4a,|BF2|=3a,|AF2|=5a, F2AB 为直
24、角三角形,且ABF 2=90.在 RtF1BF2 中,|F 1B|2+|BF2|2=|F1F2|2,即 a2+(3a)2=(2c)2, e2=. e1, e=,即该双曲线的离心率为.5.(2018 湖南长郡中学、江西南昌二中等十四校第二次联考) 设椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,其焦距为 2c,点 Q c, 在椭圆的内部,点 P 是椭圆 C 上的动点,且|PF1|+|PQ|3ac,即 2c2+3ac-2a2.则椭圆离心率的取值范围是 .命题角度 4 圆锥曲线的中点弦与焦点弦问题 高考真题体验对方向1.(2013 全国 10)已知椭圆 E:=1(ab0)的右焦点为 F(3
25、,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1, -1),则 E 的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案 D解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), A,B 在椭圆上, - ,得=0,即=-, AB 的中点为(1, -1), y1+y2=-2,x1+x2=2,而=k AB=, .又 a2-b2=9, a2=18,b2=9. 椭圆 E 的方程为=1.故选 D.2.(2014 江西15) 过点 M(1,1)作斜率为 -的直线与椭圆 C:=1(ab0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 . 答案解析 由题意
26、可设 A(x1,y1),B(x2,y2),则可得 - ,并整理得=-.( *) M 是线段 AB 的中点,且过点 M(1,1)的直线斜率为-, x1+x2=2,y1+y2=2,k=-. (*)式可化为,即 a2=2b2=2(a2-c2),整理得 a2=2c2,即. e=.新题演练提能刷高分1.(2018 河南南阳模拟)已知双曲线 E:=1,直线 l 交双曲线于 A,B 两点,若 A,B 的中点坐标为 ,-1 ,则 l 的方程为 ( )A.4x+y-1=0 B.2x+y=0C.2x+8y+7=0 D.x+4y+3=0答案 C解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1, =0. -
27、kl=0. -kl=0. kl=-, l:y-(-1)=- x- ,整理得 2x+8y+7=0.2.(2018 山东德州期末)以双曲线的中心为原点,F(0,-2) 是双曲线的焦点,过 F 的直线 l 与双曲线相交于 M,N 两点,且 MN 的中点为 P(3,1),则双曲线的方程为 ( )A.-y2=1 B.y2-=1C.-x2=1 D.x2-=1答案 B解析 由题意设该双曲线的标准方程为=1(a0,b 0),M(x1,y1),N(x2,y2),则=1 且=1,则,即,则=1,即 b2=3a2,则 c2=4a2=4,所以 a2=1,b2=3,即该双曲线的方程为 y2-=1.故选 B.3.(201
28、8 新疆乌鲁木齐第一次质量监测 )已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,M(3,2),直线MF 交抛物线于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,则 p 的值为( )A.3 B.2 或 4C.4 D.2答案 B解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),两式相减得(y 1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), M 为 AB 的中点, y1+y2=4,故有,解得 p=2 或 4.4.(2018 重庆巴蜀中学适应性考试 )已知双曲线 x2-=1,直线 l 的斜率为- 2,与双曲线交于 A,B 两点,若在双曲线上存在异于 A,B 的一点 C,使直线 AB,BC,AC 的斜率满足
29、=3,若 D,E,H 三点分别为 AB,BC,AC 的中点,则 kOE+kOH=( )A.-6 B.5C.6 D.7答案 D解析 由题意得=3, .设点 B,C,E 的坐标分别为(x B,yB),(xC,yC),(xE,yE),则有两式相减得=(x B+xC)(xB-xC)-=0,整理得=k BCkOE=2,即 kOE=.同理得 kOH=. kOE+kOH=2 =2=7.选 D.5.(2018 广东珠海 3 月质检)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线 l 与椭圆 C:=1(ab0)相交于 A,B两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 . 答案解析 设 A(x1,y1),B
30、(x2,y2),由题意得 b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0. 2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0. b2(x1-x2)=-a2(y1-y2). =-. a2=3b2. a2=3(a2-c2). 2a2=3c2. e=.6.(2018 辽宁辽南协作校一模 )已知过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=16,且|AF|BF|,则|AF|= . 答案 8-4解析 若斜率不存在,即 ABx 轴.此时|AB|= 8,不满足题意.可设过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线方程为 y=k(x-2).联立得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=. |AB|=16, x1+2+x2+2=16,即=12. k2=1,则 x2-12x+4=0. x=64. |AF|BF|, x1=6-4,x2=6+4, |AF|=6-4+2=8-4.
