1、课时分层训练(二十九) 等比数列及其前 n 项和A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是( )A a1， a3， a9成等比数列 B a2， a3， a6成等比数列C a2， a4， a8成等比数列 D a3， a6， a9成等比数列D 由等比数列的性质得， a3a9 a 0，因此 a3， a6， a9一定成等比数列，选 D262(2018三湘名校联盟模拟)在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫“宝塔装灯” ，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到
2、底层按公比为 2 的等比数列递增)根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有( ) 【导学号：00090171】A3 盏灯 B192 盏灯C195 盏灯 D200 盏灯C 由题意设顶层的灯盏数为 a1，则有 S7 381，解得 a13， a7 a12632 6192， a1 a7195.a1 1 271 2故选 C3在等比数列 an中， Sn表示前 n 项和，若 a32 S21， a42 S31，则公比 q 等于( )A3 B1 C1 D3D 两式相减得 a4 a32 a3，从而求得 3，即 q3.a4a34(2015全国卷)已知等比数列 an满足 a1 ， a3a54( a41)，则 a2( )1
3、4A2 B1C D12 18C 法一： a3a5 a ， a3a54( a41)， a 4( a41)，24 24 a 4 a440， a42.又 q3 8，24a4a1 214 q2， a2 a1q 2 ，故选 C14 12法二： a3a54( a41)， a1q2a1q44( a1q31)，将 a1 代入上式并整理，得 q616 q3640，14解得 q2， a2 a1q ，故选 C125(2017合肥二次质检)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a212， a3a54，则下列说法正确的是( )A an是单调递减数列B Sn是单调递减数列C a2n是单调递减数列D S2n是单调递
4、减数列C 设等比数列 an的公比为 q，则 a3a5 a2qa2q34，又因为 a212，所以 q4，则 q2 ，所以数列 a2n是首项为 12，公比为 的等比数列，则数列 a2n为单调递136 16 16减数列，故选 C二、填空题6若三个正数 a， b， c 成等比数列，其中 a52 ， c52 ，则 b_.6 61 a， b， c 成等比数列， b2 ac(52 )(52 )1.又 b0， b1.6 67(2016浙江高考)设数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S24， an1 2 Sn1， nN *，则a1_， S5_.1 121 an1 2 Sn1， Sn1 Sn2 Sn1， Sn1
5、 3 Sn1， Sn1 3 ，12 (Sn 12)数列 是公比为 3 的等比数列，Sn12 3.S2 12S1 12又 S24， S11， a11， S5 34 34 ，12 (S1 12) 32 2432 S5121.8(2017深圳二次调研)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果墙足够厚， Sn为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn_尺【导学号：00090172】2
6、n 1 依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项，2 为公比的等比数列，12n 1所以前 n 天大老鼠打洞的距离共为 2 n1.同理可得前 n 天小老鼠打洞1 1 2n1 2的距离共为 2 ，所以 Sn2 n12 2 n 1.11 (12)n1 12 12n 1 12n 1 12n 1三、解答题9(2017全国卷)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为Tn， a11， b11， a2 b22.(1)若 a3 b35，求 bn的通项公式；(2)若 T321，求 S3.解 设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 an1( n1) d， bn qn1 .
7、1 分由 a2 b22 得 d q3. 2 分(1)由 a3 b35 得 2d q26.联立和解得Error!(舍去)，Error! 5 分因此 bn的通项公式为 bn2 n1 . 7 分(2)由 b11， T321 得 q2 q200.解得 q5 或 q4. 10 分当 q5 时，由得 d8，则 S321. 11 分当 q4 时，由得 d1，则 S36. 12 分10设数列 an的前 n 项和为 Sn， nN *.已知 a11， a2 ， a3 ，且当 n2 时，32 544Sn2 5 Sn8 Sn1 Sn1 .(1)求 a4的值；(2)证明： 为等比数列an 112an解 (1)当 n2
8、时，4 S45 S28 S3 S1，即 4 5(132 54 a4) (1 32)8 1，(132 54)解得 a4 .78(2)证明：由 4Sn2 5 Sn8 Sn1 Sn1 (n2)，4Sn2 4 Sn1 Sn Sn1 4 Sn1 4 Sn(n2)，即 4an2 an4 an1 (n2)4 a3 a14 164 a2，544 an2 an4 an1 (nN *)， ，an 2 12an 1an 1 12an 4an 2 2an 14an 1 2an 4an 1 an 2an 14an 1 2an 2an 1 an2 2an 1 an 12数列 是以 a2 a11 为首项， 为公比的等比数列
9、an 112an 12 12B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2018淮北模拟)已知等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b，则 ( )abA3 B1C1 D3A 等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b， a1 S1 a b， a2 S2 S13 a b a b2 a， a3 S3 S29 a b3 a b6 a，等比数列 an中， a a1a3，2(2 a)2( a b)6a，解得 3.故选 Aab2(2018长沙模拟)一个等比数列 an的前 3 项的积为 2，后 3 项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列有_项. 【导学号：00090173】12 设首项为
10、 a1，共有 n 项，公比为 q.前 3 项之积为 a q32，后 3 项之积为 a q3n6 4，31 31两式相乘得 a q3(n1) 8，即 a qn1 2，61 21又 a1a1qa1q2a1qn1 64， a q 64，则( a qn1 )n64 2，n1n n 12 212 n64 2， n12.3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn4 an3( nN *)(1)证明：数列 an是等比数列；(2)若数列 bn满足 bn1 an bn(nN *)，且 b12，求数列 bn的通项公式解 (1)证明：依题意 Sn4 an3( nN *)，n1 时， a14 a13，解得 a11. 2 分因为 Sn4 an3，则 Sn1 4 an1 3( n2)，所以当 n2 时， an Sn Sn1 4 an4 an1 ，整理得 an an1 .43又 a110，所以 an是首项为 1，公比为 的等比数列 5 分43(2)由(1)知 an n1 ，(43)由 bn1 an bn(nN *)，得 bn1 bn n1 . 7 分(43)可得 bn b1( b2 b1)( b3 b2)( bn bn1 )21 (43)n 11 433 n1 1( n2). 10 分(43)当 n1 时也满足，所以数列 bn的通项公式为 bn3 n1 1( nN *). 12 分(43)
