1、1专题 18 两角和与差及二倍角的三角函数本专题特别注意：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题方法总结：1.对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用.2.公式应用要讲究“灵活、恰当” ，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标.3.把握三角公式之间的相互联系是构建“三角函数公式体系”的条件
2、，是牢固记忆三角公式的关键.高考模拟：一、单选题1函数 的最小正周期为A. B. C. D. 【答案】C2点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题2已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到 ，利用 ，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得 ，从而得到 ，再结合 ，从而得到 ，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知 三点共线，从而得到 ，因为 ，解得 ，即 ，所以 ，故选 B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐
3、标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.3已知函数 2cosinfxx，则A. f的最小正周期为 ，最大值为 3B. x 的最小正周期为 ，最大值为 4C. f 的最小正周期为 2，最大值为 3D. x的最小正周期为 ，最大值为 4【答案】B3点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.4已知 ，则 （ ）A. B. -8 C. D. 8【答案】D【解析】分析：首先将题中的条件中的式子利用倍角公式以及差角公式将其拆开化简，求得 ，
4、两边平方求得 ，再将目标式化简，最后求得结果.详解：根据题意，从而得到 ，而 ，故选 D.点睛：该题 考查的是有关三角函数的求值问题，在解题的过程中，用到的公式有余弦的倍角公式，正弦的差角公式，以及已知正余弦的和，利用平方求得积，将目标式化简，代入求值即可.5已知 ， 是方程 的两根，则 （ ）A. B. 或 C. D. 【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得 的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.4详解： ， 是方程 的两根， ， ， ，得 或 （舍去） ，故选 D.点睛：本题主要考查韦达定理的应用，两角和的正切公式以及二倍角的正切公式，意在考查综合利用所学知识解
5、决问题的能力，属于中档题.6 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法.该作中有题为“李白沽酒:李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒?”右图为该问题的程序框图，若输出的 值为 0，开始输入的 值满足 则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：依次运行程序框图中的程序，得到 的取值，然后根据三角函数的相关知识求解详解：设输入的 ，依次运行程序框图中的程序得： ，满足条件，继续运行； ，满足条件，继续运行； ，不满足条件，停止运行输出 5由题意得 ，解得 又 ， 故选 B点睛：本题
6、将程序框图和三角求值融合在一起，考查学生的综合运用能力对于三角求值的问题，解题时要依据所给出的角进行适当的变换，通过“拼” 、 “凑”等方式变化成已知角的形式，然后再利用公式求值7已知 为锐角， 为第二象限角，且 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先确定 , 范围，再求 sin ;由 =2 可得 ,最后根据 =2 ，求 .详解：因为 为锐角， 为第二象限角， ， ，所以 为第二象限角，因此 sin ，cos ，所以 ,因为 为锐角，所以 ， 2 )=cos ,选 B.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊
7、角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A6【解析】分析：根据二倍角公式，可先将 化成半角式，根据 的取值范围和 进行化简求值。所以原式可化为 ，即所以选 A点睛：本题主要考查了三角函数式的化简，注意要灵活选择应用不同的三角函数式。因为 ，所以在遇到 时要选择合适的公式变形。9向量 ， （ ） ，函数
8、的两个相邻的零点间的距离为 ，若 （ ）是函数 的一个零点，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据函数 的两个相邻的零点间的距离为 求出 w 的值，再根据 （）是函数 的一个零点得到 再求 的 值.详解： = = 7= = ，= .因为函数 的两个相邻的零点间的距离为 ，所以所以 .令 f(x)=0,则因为 ，所以所以 = .故答案为：A点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是变角， ，解答三角恒等变换要三看（看角、看名、看式）和三变（变角、变名、变式
9、）.10 中， 的对边分别为 .已知 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先化简 得到 ，再化简 得解.详解:因为 ,所以所以所以因为 ,所以所以8故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. （2）三角恒等变换方法：三看（角、名、式）三变（变角、变名、变式）.11若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据二倍角的正弦及余弦公式，结合 ，再根据同角三角函数关系即可求得 .详解： ，即故选 A.点睛：本题主要考查有关同角三角函数关系及二倍角公式的应用，意在考查
10、学生对这些基础知识的掌握能力.二倍角的余弦公式有三个： ，注 意结合题目情景选用不同的公式，本题选用的是 ，主要是为了和前面的“1”合并.12已知 是函数 的一个极小值点，则 的一个单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：将已知函数化简为 ，可得函数 的周期为 ，结合极小值点，可得函数的单调递减区间.详解： ，由已知 是函数 过最小值点的对称轴9结合图像可知 是函数 的一个单调增区间，因为 ，所以 是函数 的一个单调递增区间，故选 A.点睛：设 为三角函数 的极小值点， 为三角函数的最小正周期，则从三角函数的图像可知 是函数 的一个单调递减区间， 是函数 的一个单调
11、递增区间.13已知直线 的倾斜角为 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据直线的斜率得到 的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式把化为关于 的关系式即可.详解：由题设有 ，.故选 A.点睛：一般地，直线的斜率 和倾斜角 之间的关系式 ，注意当 时，斜率是不存在的.对于三角函数式的求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.14已知 ，那么 （ ）A. B. C. D. 【答案】A1
12、0点睛：本题考查诱导公式和两角和差的余弦、正弦公式的逆用，属于基础题.解题中注意根据正弦、余弦前面的系数选择合适的辅助角变形，另外在求值过程中注意寻找已知的角和未知的角之间的联系.15运行如下程序框图，若输入的 ，则输出 取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由程序框图可知，该程序表示分段函数，分别求出两段函数 的取值范围，即可得结果.详解：由程序框图可知，该程序表示分段函数，11，当 时，解析式化为 ，当 时， ， ，综上所述， 的取值范围是 ，故选 C.点睛：算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常背新颖，并与函数、数列、不等式
13、等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.16设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，记 ，则数列 的前 项和是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析: 由等差数列的求和公式可得首项，tana ntanan+1= 1= 1，运用裂项相消求和，结合两角和差的正切公式，即可得到所求和详解: 等差数列a n的公差 d 为 ，前 8 项和为 6，可得 8a1+ 87 =6，解得 a1= ，tanantanan+1= 1= 1，则数列tana ntanan+1的前
14、 7 项和为（tana 8tana 7+tana7tana 6+tana2tana 1）7= （tana 8tana 7）7= （tan tan ）7= （tan tan ）7= （tan（ ）tan（ ） ）712= （ ）7= 故选 C点睛:解答本题的关键是化简 ,求和首先要看通项的特征, tana ntanan+1= 1=1，化简到这里之后,就可以再利用裂项相消求和了.化简时要注意观察已知条件，看到要联想到差角的正切公式，再化简.17已知函数 的周期为 ，当 时，方程 恰有两个不同的实数解 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 ，由周期 ，可得 ， ， ，且 的
15、对称轴为 ， 方程 恰有两个不同的实数解 ， ，则 ，故选B.18设 是函数 的导数，且满足 ，若 、 、 是锐角三角形 的三个内角，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 则其导数 又由 满足 ，则有 则函数 在 上为增函数，若 是锐角三角形，则有 即 即有 或 13对于 又由 ，则有 ，即 可以排除 A、B，对于 又由 ，则有 ，即 可得 D 正确，故选：D【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数 h（x）并分析其单调性19若函数 ，且 ， ， 的最小值是 ，则 的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A20已知点 I在 ABC内部，
16、I平分 BAC， 12IACIB，对满足上述条件的所有 ABC，下列说法正确的是（ ）14A. ABC的三边长一定成等差数列B. 的三边长一定成等比数列C. I， I， BI的面积一定成等差数列D. ， ， 的面积一定成等比数列【答案】B【解析】设 ,ICAICAIImBn在 IA中，可得 2cosbm在 ,BI中，分别由余弦定理得 22snc，coman，22sb由+整理得 2cac，2oscman，将 2b代入上式可得2cosabn又由三角形面积公式得 11siinsisin2bmabm， cosbmanc，15 2222coscoscosbaba， 224， 1cosbabc由得22，2
17、221bcabc，整理得 2故选 B点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量 ,mn，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量 ,mn的方法逐步得到三边的关系由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性 二、填空题21已知 ，满足 ，则 的最大值为_.【答案】 .【解析】分析：由 求得 ， 化为 ，利用三角函数的有界性可得结果.详解：由 ，得化为，的最大值为 ，故答案为 .点睛：对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综16合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并
18、灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.22在斜 中，若 ，则 的最大值是_【答案】 .【解析】分析：在斜 中， ，结合 可得，利用基本不等 式可得结果.详解：在斜 中， ，又 ，与 同号，又 在 中， ，当且仅当 时“=”成立，的最大值为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用 以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域
19、内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） .23 的值为_【答案】1【解析】分析：由 ，即两角差的余弦公式展开即可求值详解：原式 17即答案为 1 .点睛：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键，属基础题24在等差数列 中，若 ，则 _【答案】【解析】分析：由题意结合积化和差公式和等差数列的性质即可求得最终结果.详解：由题意结合和差化积公式可得：据此可得： 0.点睛：本题主要考查和差化 积公式及其应用，等差数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25点 1F， 2分别是椭圆2:1xCy的左、右两焦点，点 N为椭圆 C的上顶点，若动点
20、M满足： 212MN，则 12MF的最大值为_.【答案】 60【解析】设 0,mxy，由21y，得 120,0NF，则由 212MNF，可得22 20001x，化为 224xy，可设 0 1xsiny， 1 2=cos,1,4cos,MFinMFin， 26cos1,3Fin ， 1822126cos13MFsin 4340cos46120i 61，即 12MF的最大值为 60，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，平面向量的数量积公式，以及三角函数求最值问题，属于难题. 求最值问题常见方法有配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值；图象法；不等式法；单调性法；换元
21、法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化,利用三角换元后往往利用辅助角公式结合三角函数的单调性求解.26 cos852cos30in_.【答案】 1【解析】 cos852cos30in s625cos30sin1s 12cos252isi，故答案为 12.27已知 ，则 _【答案】【解析】由 可得，故答案为.28化简 13cos80in_.【答案】4【解析】 2sin80613si803co2sin0411cos80ins ，故答案为：41929 _【答案】-1点睛：本题重点考查三角函数的恒等变形，有角的变换，和三角函数名称的变换，一般都是先切割化弦，化简正切，如
22、果有分式，选择通分，利用辅助角公式以及两角和差或是二倍角公式化简，意在考查转化与化归的能力.30 sin1co9s1in9的值是_【答案】 2【解析】由 1sicosisin19sin302故答案为 三、解答题31已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ ） （）求 sin（ +）的值；（）若角 满足 sin（ + ）= ，求 cos 的值【答案】 （） , （） 或 【解析】分析：（）先根据三角函数定义得 ，再根据诱导公式得结果， （）先根据三角函数定义得 ，再根据同角三角函数关系得 ，最后根据 ，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（）由角 的终边过点
23、 得 ，20所以 .点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.32已知 为锐角， ， （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得 ，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得 ，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为 ， ，所以 因为 ，所以 ，因此， （2）因为 为锐角，
24、所以 21又因为 ，所以 ，因此 因为 ，所以 ，因此， 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.33已知 向量 ，且 共线，其中 .（1）求 的值；（2）若 ， ，求 的值.【答案】(1)-3.(2) .【解析】试题分析：（1）首先利用向量的坐
25、标运 算和向量共线的充要条件求出 tan 的值，进一步求出结果；（2）根据第一步的结论，利用三角函数关系式的恒等变换进一步求出 tan=1，再根据角的范围求出 的值.详解：（1） ， ，即 22点睛：本题考查的知识要点有向量的坐标运算，向量共线的充要条件，三角函数关系式的恒等变换利用已知条件求出函数的值属于基础题型. 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用常用的 3 切互化公式有： sin2+cos 2=1常用的还有三姐妹的应用，一般 ， ，这三者我们成为三姐妹，结合 ，可以知一求三.34已知函数（）求 的最小正周期；（）若在 中 ，求 的值.【答案】 （1） .（2） 或 .【解析】分析：
26、（1）先利用三角恒等变换的公式化简函数 f（x）,再求其最小正周期.(2)先化简得到 B= 或 ， ，再利用正弦定理求 的值.详解:(1)由题得所以函数 f(x)的最小正周期为，所以 ,23因为 A+B= ,所以 ,所以或 .所以 B= 或 ， .所以 或 .点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力 和转化能力. (2)解答本题注意不要漏解， 或 .35已知 为 的内角，当 时，函数 取得最大值 内角 ， ，的对边分别为 ， ， （1）求 ；（2）若 ， ，求 的面积【答案】(1) .(2) .（2）根据正弦定理得 ， ， 24因为 ，所
27、以 由余弦定理得 得 因此 的面积为 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)解答第 2 问时，可以整体求 bc 的值，也可以分别求 b 和 c 的值，本题使用的是整体求值. 36已知函数 （1）求函数 的最小正周期；（2）求函数 在区间 上的最值及相应的 值【答案】 （1） ；（2）当 时， ；当 时，【解析】分析：1）化简 ，所以 的最小正周期是 ；（2）结合 求出 ，进而利用正弦函数的单调性可求出函数在区间 上的最值及相应的 值.详解：（1） ，所以 的最小正周期是 （2）因为 ，所以 ，所以 ，当 时，
28、 ；当 时， 点睛：，对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.37已知函数 .（1）求函数 的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数 在 上的单调性.25【答案】 （1）最小正周期 ，对称轴方程为 ， ；（2） 在区间 上单调递增；在区间上单调递减.（2）令 ，得 ， ，设 ， ，易知 ，所以，当 时， 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减.点睛：本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性
29、质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力.38在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， （1）求 ；（2）求 的值【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）在 中，由余弦定理可得 （2）由 得 根据正弦定理得，从而 ，故得 详解：（1）在 中，由余弦定理得， 26（2）在 中，由 得 ， ，在 中，由正弦定理得 ，即 ， ，又 ，故 ， ， 点睛：（1）解三角形时要根据条件选择使用正弦定理还是余弦定理，求解过程中要注意三角形中有关知识的合理运用，如三角形内角和定理，三角形中的边角关系等（2）解三角形经常和三角变换结合在一起考查，根据变换求值时要注意三角函数值的符号，
30、再合理利用公式求解39在 中，角 所对的边分别为 ， .（1）求 ；（2）若 ， 的周长为 ，求 的面积.【答案】 （1） （2）详解：（1）因为 ，由正弦定理得所以 27所以 ，且所以 .（2）因为 ，所以 ，所以 ， ， 或 解得： 或 因为 ，所以所以， 所以因为 ，所以所以 .点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.40已知函数 .（1）当 时，求 的值 域；（2）在 中，若 ，求 的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：（1）先将函数 化成 ，求出 的范围，再求出函数 的值域；（2）由 ，求出 的大小，再分别求出边长 的值，代入三角形公式，算出面积。详解：（1） ，当 ，即 时， 取得最大值 3；当 ，即 时， 取得最小值 ，故 的值域为 .28（2）设 中角 所对的边分 别为 ， ，即 ， ，得 .又 ，即 ， ，即 ，由正弦定理得 ，解得 ， ， .点睛：本题主要考查了三角函数的性质，正弦定理，三角形的面积公式等，属于基础题。本题关键是将函数化成 ，从而求出值域。
