1、第 7 讲 解三角形应用举例基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 10 D南偏西 10解析 灯塔 A，B 的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CAB CBA50，则 605010 ，即北偏西 10.答案 B2在某个位置测得某山峰仰角为 ，对着山峰在水平地面上前进 900 m 后测得仰角为 2，继续在水平地面上前进 300 m 后，测得山峰的仰角为 4，则3该山峰的高度为( ) A300 m B
2、450 mC300 m D600 m3解析 如图所示，易知，在ADE 中， DAE2，ADE1804，AD300 m，由正弦定理，得3 ，900sin 4 3003sin 2解得 cos 2 ，32则 sin 2 ，sin 4 ，12 32所以在 RtABC 中山峰的高度 h300 sin 4300 450(m)3 332答案 B3要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45，30 ，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔的高度是( )A100 m B400 m2
3、C200 m D500 m3解析 由题意画出示意图，设塔高 ABh m，在 RtABC中，由已知得 BCh m，在 RtABD 中，由已知得 BDh m，在BCD 中，由余弦定理3BD2BC 2CD 22BCCDcosBCD，得3h2h 2500 2h500，解得 h500(m)答案 D4(2014广州调研 )如图所示，长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上，另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 tan 等于 ( )A B2315 516C D23116 115解析 由题意，可得在 ABC
4、中，AB 3.5 m，AC 1.4 m，BC2.8 m，且ACB .由余弦定理，可得 AB2AC 2BC 22ACBCcosACB，即3.521.4 22.8 221.42.8cos( )，解得 cos ，所以 sin 516，所以 tan .23116 sin cos 2315答案 A5(2013哈尔滨模拟 )如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( )A30 B45 C60 D75解析 依题意可得 AD20 m，AC30 m，又 CD50 m，所以在10 5ACD 中，由余弦定
5、理，得 cosCAD AC2 AD2 CD22ACAD ，又 0CAD180，所以3052 20102 50223052010 6 0006 0002 22CAD45，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45.答案 B二、填空题6在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA 60，则 A，C 两点之间的距离为 _千米解析 由已知条件CAB 75 ，CBA60，得ACB45. 结合正弦定理，得 ，即 ，解得 AC (千米)ABsinACB ACsinCBA 2sin 45 ACsin 60 6答案 67(2013杭州一中测试 )如图，一艘船上午 9：30 在 A
6、处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东75处，且与它相距 8 n mile.此船的航速是_ n 2mile/h.解析 设航速为 v n mile/h，在ABS 中，AB v，BS8 n mile，12 2BSA45，由正弦定理，得 ，v32 n mile/h.82sin 30 12vsin 45答案 328某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45，沿倾斜角为 30的斜坡前进1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60，则山的高度 BC 为_m.解析 过点 D 作 DEAC 交 B
7、C 于 E，因为 DAC30，故ADE150.于是 ADB360 150 60150.又BAD453015 ，故 ABD15 ，由正弦定理得 ABADsinADBsinABD 500( )(m)1 000sin 150sin 15 6 2所以在 RtABC 中，BCABsin 45500( 1)(m)3答案 500( 1)3三、解答题9.如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得 BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶A 的仰角为 ，求塔高 AB.解 在BCD 中，CBD，由正弦定理得 ，BCsin BDC CDsin CBD所以
8、 BC ，CDsin BDCsin CBD ssin sin 在 Rt ABC 中，ABBCtanACB .stan sin sin 10. (2014石家庄模拟) 已知岛 A 南偏西 38方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？(参 考 数 据 ：sin 38 5314，sin 22 3314)解 如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则BC0.5 x，AC5 海里，依题意，BAC180
9、3822120，由余弦定理可得 BC2AB 2AC 22AB ACcos 120，所以 BC249，BC0.5 x7，解得 x14.又由正弦定理得 sinABC ，ACsin BACBC 5327 5314所以ABC38，又BAD38，所以 BCAD，故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私船能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30
10、，则水柱的高度是 ( ) A50 m B100 mC120 m D150 m解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中，A60，ACh，AB100，BC h，根据余弦定理得，( h)3 32h 2100 22h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.答案 A2如图，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30，测得湖中之影的俯角为 45，则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m) ( )A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析 在ACE 中，tan 30 .AE (m)CE
11、AE CM 10AE CM 10tan 30在AED 中，tan 45 ，DEAE CM 10AEAE (m)， ，CM 10tan 45 CM 10tan 30 CM 10tan 45CM 10(2 )37.3(m)10 3 13 1 3答案 C二、填空题3如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC.小明在山脚 B 处看索道 AC，此时张角ABC120；从 B 处攀登 200 米到达 D 处，回头看索道 AC，此时张角ADC150；从 D 处再攀登 300 米到达 C 处则石竹山这条索道 AC 长为 _米解析 在ABD 中，BD 200 米， ABD12
12、0.因为ADB30 ，所以DAB 30.由正弦定理，得 ，BDsinDAB ADsinABD所以 .200sin 30 ADsin 120所以 AD 200 (米)200sin 120sin 30 3在ADC 中， DC300 米，ADC150，所以 AC2AD 2DC 22ADDCcosADC(200 )32300 22200 300cos 150390 000，所以 AC100 (米)故石3 39竹山这条索道 AC 长为 100 米39答案 100 39三、解答题4(2014武汉二模 )如图所示，一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 千米/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶
13、方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点 O 点的距离为 5 千米、距离公路线的垂直距离为 3 千米的 M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？解 作 MI 垂直公路所在直线于点 I，则 MI3 千米，OM 5 千米，OI 4 千米，cosMOI .设骑摩托车的人的速度为 v45千米/时，追上汽车的时间为 t 小时由余弦定理，得(vt) 25 2 (50t)22550t ，45即 v2 2 50025 2900900，25t2 400t (1t 8)当 t 时，v 取得最小值为 30，18其行驶距离为 vt 千米308 154故骑摩托车的人至少以 30 千米/时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了 千米154
