1、1第五节 两角和与差及二倍角的三角函数考纲传真 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)(对应学生用书第48页)基础知识填充1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( )sin_ cos_ cos_ sin_ ；(2)cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ ；(3)tan( ) .tan tan 1tan tan 2二
2、倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos ；(2)cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 ；(3)tan 2 .2tan 1 tan2知识拓展1有关公式的变形和逆用(1)公式 T( )的变形：tan tan tan( )(1tan tan )；tan tan tan( )(1tan tan )(2)公式 C2 的变形：sin 2 (1cos 2 )；12cos 2 (1cos 2 )12(3)公式的逆用：1sin 2 (sin cos )2；sin cos sin .2 ( 4)2辅助角公式asin bcos sin( ) .a2 b2 (其 中
3、 tan ba)2基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)存在实数 ， ，使等式 sin( )sin sin 成立( )(2)在锐角 ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( )(3)公式 tan( ) 可以变形为 tan tan tan( )tan tan 1 tan tan (1tan tan )，且对任意角 ， 都成立( )(4)公式 asin x bcos x sin(x )中 的取值与 a， b 的值无关( )a2 b2答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)sin 20cos 10cos 160si
4、n 10( )A B 32 32C D12 12D sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30 ，故选 D123(2017全国卷)已知 sin cos ，则 sin 2 ( )43A B 79 29C D29 79A sin cos ，43(sin cos )212sin cos 1sin 2 ，169sin 2 .79故选 A4(2017云南二次统一检测)函数 f(x) sin xcos x 的最小值为_.3【导学号：00090103】2 函数 f(x)2sin 的最小值是2.(x 6)5若锐角 ， 满足(
5、1 tan )(1 tan )4，则 _.3 3由(1 tan )(1 tan )4， 3 3 33可得 ，即 tan( ) .tan tan 1 tan tan 3 3又 (0，)， . 3(对应学生用书第 49 页)三角函数式的化简(1)化简： _.sin 2 2cos2sin( 4)(2)化简： .2cos4x 2cos2x 122tan( 4 x)sin2( 4 x)(1)2 cos 原式 2 cos .22sin cos 2cos222 sin cos 2(2)原式 2sin2xcos2x 122sin( 4 x)cos2( 4 x)cos( 4 x) cos 2x.12 1 sin
6、22x2sin( 4 x)cos( 4 x)12cos22xsin( 2 2x) 12规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角” ，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦” 三看“结构特征” ，分析结构特征，找到变形的方向2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂变式训练 1 化简 sin2 sin 2 sin 2 _. ( 6) ( 6)【导学号：00090104】4法一：原式 sin 212 1 cos(2 3)2 1 cos(2 3)21 sin
7、 2 1cos 2 cos sin 2 112cos(2 3) cos(2 3) 3 .cos 22 1 cos 22 12法二：令 0，则原式 .14 14 12三角函数式的求值 角度 1 给角求值(1) ( )2cos 10 sin 20sin 70A B 12 32C D3 2(2)sin 50(1 tan 10)_.3(1)C (2)1 (1)原式 2cos 30 20 sin 20sin 702 cos 30cos 20 sin 30sin 20 sin 20sin 70 .3cos 20cos 20 3(2)sin 50(1 tan 10)3sin 50 (1 3sin 10cos
8、 10)sin 50cos 10 3sin 10cos 10sin 502(12cos 10 32sin 10)cos 10 1.2sin 50cos 50cos 10 sin 100cos 10cos 10cos 10 角度 2 给值求值(1)(2016全国卷)若 cos ，则 sin 2 ( )( 4 ) 35A B 725 155C D15 725(2)(2018安徽十校联考)已知 为锐角，且 7sin 2cos 2 ，则 sin ( 3)( )A B1 358 1 538C D1 358 1 538(1)D (2)A (1)cos ，( 4 ) 35sin 2 cos cos 2 2c
9、os 2 12 1 .( 2 2 ) ( 4 ) ( 4 ) 925 725(2)由 7sin 2cos 2 得 7sin 2(12sin 2 )，即 4sin2 7sin 20，sin 2(舍去)或 sin .14 为锐角，cos ，154sin ，故选 A( 3) 14 12 154 32 1 358 角度 3 给值求角(2018长春模拟)已知 sin ，sin( ) ， ， 均为锐角，55 1010则角 等于( )【导学号：00090105】A B 512 3C D 4 6C ， 均为锐角， . 2 2又 sin( ) ，cos( ) .1010 31010又 sin ，cos ，55
10、255sin sin ( )sin cos( )cos sin( ) .55 31010 255 ( 1010) 226 . 4规律方法 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解2 “给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系3 “给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角三角变换的简单应用(1)(2017全国卷)函数 f(x) sin cos 的最大值为( )15 (x 3) (x
11、6)A B165C D35 15(2)已知函数 f(x)sin 2xsin 2 ， xR.(x 6)求 f(x)的最小正周期；求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 3， 4(1)A 法一： f(x) sin cos15 (x 3) (x 6) cos x sin x15(12sin x 32cos x) 32 12 sin x cos x cos x sin x110 310 32 12 sin x cos x sin ，35 335 65 (x 3)当 x 2 k( kZ)时， f(x)取得最大值 . 6 65故选 A法二： ，(x 3) ( 6 x) 2 f(x) sin cos15 (
12、x 3) (x 6) sin cos15 (x 3) ( 6 x) sin sin15 (x 3) (x 3)7 sin .65 (x 3) 65 f(x)max .65故选 A(2)由已知，有f(x) 1 cos 2x2 1 cos(2x 3)2 cos 2x12(12cos 2x 32sin 2x) 12 sin 2x cos 2x sin .34 14 12 (2x 6)所以 f(x)的最小正周期 T .22因为 f(x)在区间 上是减函数， 3， 6在区间 上是增函数， 6， 4且 f ， f ， f ，( 3) 14 ( 6) 12 ( 4) 34所以 f(x)在区间 上的最大值为
13、，最小值为 . 3， 4 34 12规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用2把形如 y asin x bcos x 的函数化为 y sin(x ) 的形a2 b2 (其 中 tan ba)式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性变式训练 2 (2017北京高考)已知函数 f(x) cos 2sin xcos x.3 (2x 3)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求证：当 x 时， f(x) . 4， 4 12解 (1) f(x) cos 2x sin 2xsin 2 x32 32 sin 2x cos 2xsin ，12 32 (2x 3)所以 f(x)的最小正周期 T .228(2)证明：因为 x ，所以 2 x ， 4 4 6 3 56所以 sin sin ，(2x 3) ( 6) 12所以当 x 时， f(x) . 4， 4 12
