1、1XX民族中学九年级数学竞赛试题（满分 120分，时间 120分钟）一、选择题（，每小题 3分，满分 24分）1给出四个数 ， 最大的数是（ ）-1、 0、 3、 4A B C 3 D -42下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3下列计算正确的是（ ） Aa 3+a2=a5 B(ab) 2=a2b 2 Ca 6ba2=a3b D( ab 3)2=a2b64在某校“我的梦想”演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的（ ）.A.
2、众数 B. 中位数 C.平均数 D. 方差5如图，菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O，若 AC=8，BD=6，则菱形 ABCD 的周长是（ ）A48 B24 C D20456如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为1,21x,那么 p，q 的值分别是 ( ).1,2, .1,2 .1,2 .1,2 7如图，将ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合已知 AC=5cm，ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为（ ）A12cm B10cm C7cm D22cm8如图，直线 y=kx+b 交坐标轴于 A（-2 ，0） ，B （0，3）两点，则不等式 kx
3、+b0 的解集是（ ）Ax3 B.-2x3C.x-2 D.x-2二填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）9若分式 1x有意义，则实数 x 的取值范围是_10拒绝“餐桌浪费” ，刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000 千克，这个数据用科学计数法表示为 11从某班全体学生中任意选取一名男生的概率为 74，则该班男、女学生的比为_POBA第 6 题图第 8 题图第 2 题图212分解因式： _32nm.13如图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，A、B、P 是 O 上的点，则 _tanAPB.14如图，Rt AB
4、C 中， ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D 为 BC 的中点，若动点 E以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 AB 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t 秒，连接DE，当BDE 是直角三角形时，t 的值为 三解答题（本大题共 8 小题，满分 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15 （ 7 分）先化简： )1(12xx，然后从 21x中选择一个合适的数代入求值。 16 （本小题满分 9 分）已知：如图，在ABC 中，A30，B60，E 为 AB 的中点。（1）作B 的平分线 BD，交 AC 于点 D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） ；（2）
5、连接 DE，求证：ADEBDE。17 （本小题满分 9 分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类） ，请你根据图中提供的信息解答下列问题：图18图BC AE第 15 题图第 16 题图第 20 题图第 题图第 题图3第 22 题图APB3067.5（1）九（1）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中 m= ，n= ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；（3）排
6、球兴趣小组 4 名学生中有 3 男 1 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率18 （本小题满分 10 分）如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB, 连结CE.(1) 求证:BD=EC; (2)若 AC=2, 21sinE ,求菱形 ABCD 的面积.19 （本小题满分 9 分）马航 MH370 客机“失联” ，我国“海巡 01号”前往搜寻。如图某天上午 9时,“海巡 01号” 轮船位于 A处，观测到某小岛P 位于轮船的北偏西 67.5，轮船以 21海里/时的速度向正北方向行
7、驶，下午 2时该船到达 B处，这时观测到小岛 P 位于该船的南偏西 30方向，求此时轮船所处位置 B与小岛 P 的距离？（精确到 0.1）20 （本小题满分 10 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2） 过点 D（0，3）和 E（6，0）的直线分别与 AB，BC 交于点 M，N（1）求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标；（2）若反比例函数 xmy（x0）的图象经过点xMNyDA BC EOO 图21图BCD EA第 23 题图4M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点 N 是否在该函数的图象上；（3）
8、若反比例函数 xmy（x0）的图象与MNB 有公共点，请直接写出 m 的取值范围21 （本小题满分 11 分）如图，已知：正方形 ABCD 中，AB=8，点 O 为边 AB 上一动点，以点 O 为圆心，OB 为半径的 O 交边 AD 于点 E（不与点 A、D 重合） ，EF OE 交边 CD于点 F设 BO=x，AE=y（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）在点 O 运动的过程中， EFD 的周长是否发生变化？如果发生变化，请用 x 的代数式表示EFD 的周长；如果不变化，请求出 EFD 的周长；（3）以点 A 为圆心，OA 为半径作圆，在点 O 运动的过程中，讨
9、论O 与A 的位置关系，并写出相应的 x 的取值范围22 （本小题满分 13 分）如图，已知抛物线 mxy32经过点 C(2，6) ，与 x 轴相交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 D(1)求点 A 的坐标；(2)设直线 BC 交 y 轴于点 E，连接 AE、AC，求证： AEC 是等腰直角三角形;(3)连接 AD 交 BC 于点 F，试问当 14x时，在抛物线上是否存在一点 P 使得以A、B、P 为顶点的三角形与 AB 相似？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 24 题图第 25 题图5数学试卷参考答案一、 选择题CBCD BDBA DD二、 填空
10、题题号 11 12 13 14 15 16答案 3 105千 克 4:3 3(+)() 1 2 或 3.5三、 解答题17、 （本小题满分 9 分）17605)()12xxx解 ：5 分 7 分(2)在 11解集中最小的整数 为 =10当 时，则有 3)10()(2a 8 分=10 9 分 =2.318、 （本小题满分 9 分）解：（1）作出B 的平分线 BD； （图略） 4 分（2）证明：ABD 126030，A30 5 分ABDA 6 分又AED=BED=90，DEDEADEBDE 9 分19、 （本小题满分 10 分）)1(12xx2 分解： 1 1(1) 1+1 3 分= 2(1) 1
11、(1) 1+1= 4 分21(1) 1+16= 5 分(+1)(1)(1) 1+1= 7 分1 2x 可以取 9 分=2原式可以等于 10 分1220 （本小题满分 10 分解：（1）九（1）班的学生人数为：1230%=40（人） ， 1 分喜欢足球的人数为：404 1216=4032=8（人） ， 3 分补全统计图如图所示；（2） 100%=10%，100%=20%，m=10，n=20 ，表示“ 足球 ”的扇形的圆心角是 20%360=72；故答案为：（1）40；（2）10；20；72； 6 分（3）根据题意画出树状图如下：一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 6 种， 8
12、分所以，P（恰好是 1 男 1 女）= = 10 分21 （本小题满分 12 分）解：（1）四边形 ABCD为菱形ABCD, AB=CD 2 分BE=ABO 图21图BCDEA7BECD 且 BE=CD 3 分四边形 BECD为平行四边形5 分DB=CE 6 分（2）四边形 BECD为平行四边形DBCEE=OBA 7 分sinOBA=sin =12四边形 ABCD为菱形AOB=90, 8 分=12 9 分sinOBA=12=1 10 分=2 11 分=2=222=23 12 分菱形 =12=12223=2322 （本小题满分 12 分）解：过点 P作 PC AB，垂足为 C，设 PC=x海里
13、1 分在 Rt APC中，tan A= P， AC= 5tan67.12Cx 4 分在 Rt PCB中，tan B= ， BC= 4ta3.9x 6 分 AC BC=AB=215， 5215， 8 分解得 60x. 9 分 sinPCB， 5601isin3.9（海里） 11 分向阳号轮船所处位置 B与城市 P的距离为 100海里 12 分23 （本小题满分 12 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 O与坐标原点重合，顶点 A， C分别在坐标轴上，顶点 B的坐标为（4，2） 过点 D（0，3）和 E（6，0）的直线分别与 AB， BC交于点8M， N（1）求直线 DE的解析式和点
14、M的坐标；（2）若反比例函数 xmy（ x0）的图象经过点 M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点 N是否在该函数的图象上；（3）若反 比 例 函 数 xy（ x 0） 的 图 象 与 MNB有 公 共 点 ， 请 直 接 写 出 m的 取 值 范 围 解 ： （ 1） 设 直 线 DE为 1 分=+ , =36+=0 2 分=3=12 3 分=12+3B 的坐标为（4，2） 当 ， 4 分=2时12+3=2， 则 =2 M的坐标为（2，2）5 分（2）反比例函数 xmy（ x0）的图象经过点 M，2， 4 6 分xy4 7 分1y时 ，当 8 分点 N在反比例函数的图象上。 9 分（
15、3） m的 取 值 范 围 为 ： 84m 12 分24 （本小题满分 14 分）解：（1）以点 O为圆心，OB 为半径的O 交边 AD于点 E， OB=OE， 1 分四边形 ABCD是正方形，A=90， AO 2+AE2=OE2，即（8-x） 2+y2=x2， 3 分y0， 4 分=44 (48)（2）EFD 的周长不变 5 分理由如下：EFOE， AEO+DEF=90，D=A=90，AEO+AOE=90 6 分，DEF=AOE，xMNyDA BC EO9AOEDEF， 7 分 = 8 分 , 8= =88 =16 9 分 =6428=6416+648 =16(8)8（3）设O 的半径 R1
16、=x，则A 的半径 R2=8-x，圆心距 d=OA=8-x，4x8， R 1R 2，因为点 A始终在O 内，所以外离和外切都不可能； 当O 与A 相交时，R 1-R2dR 1+R2，即 x-8+x8-xx+8-x， 10 分解得： 11 分0163故可得此时： 4163当O 与A 内切时，d=R 1-R2，即 8-x=x-8+x， 解得：x= 12 分=163当O 与A 内含时，0dR 1-R2，即 08-xx-8+x， 13 分解得： 14 分163825 （本小题满分 14 分）解：（1）抛物线 经过点 C(2，6)=23+ （ 3） 23（ 3） +=6 1 分=4 2 分=23+4当
17、， =0时 23+4=0, 4 分1=4 2=14 分点 的坐 标为 （ 4， 0） 。（2）证明：设直线 BC的函数解析式为 y=kx+b，由题意得： kb 26 ，解得： k2b。直线 BC的解析式为 y=2x+2 5 分点 E的坐标为（0，2） 。 222 2 AO4CE065， 。 AE=CE。 7 分又 2=(2+4)2+(60)2=402+2=(25)2+(25)2=4010 8 分2+2=2AEC 为等腰直角三角形 9 分（3）在抛物线上是否存在一点 P使得以 A、B、P 为顶点的三角形与 ABF 相似。 10 分理由如下：设直线 AD的解析式为 y=k1x+b1，则 14kb0
18、 ，解得： 1k b4。直线 AD的解析式为 y=x+4。联立直线 AD与直线 BC的函数解析式可得： yx4 2，解得：2 x310 y。点 F的坐标为（ 23， ） 。则 2 2210510B AF 4 333 ，。又AB=5， 22C 6 ， F5AB3。 BC。又ABF=CBA，ABFCBA。当点 P与点 C重合时，以 A、B、P 为顶点的三角形与 ABF 相似。 12 分又抛物线关于直线 对称=32当点 P与点 C的对称点重合时，以 A、B、P 为顶点的三角形也与 相似。当点 P的坐标为（-2，6）或（- 时，以 A、B、P 为顶点的三角形也与 ABF 相似。12， 6） 14 分11
