2019届高考数学一轮复习 第十三篇 不等式选讲（课件+练习）（打包4套）理 新人教版.zip

1第 1节 绝对值不等式【选题明细表】知识点、方法 题号|ax+b|≤c 和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法 1|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的解法 3已知不等式求参数的取值范围 2,41.(2017·兰州一模)已知函数 f(x)= 的定义域为 R.(1)求 m的取值范围;(2)若 m的最大值为 n,解关于 x的不等式:|x-3|-2x≤2n-4.解:(1)因为函数的定义域为 R,所以|x+1|+|x-3|-m≥0 恒成立,设函数 g(x)=|x+1|+|x-3|,则 m不大于函数 g(x)的最小值,又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,即 g(x)的最小值为 4,所以 m≤4.(2)当 m取最大值 4时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,所以有 或解得 x≥3 或-≤x-,所以原不等式的解集为(-,+∞).(2)f(x)≤g(x)⇔|x-a|-2x≤2-x-x-1⇔|x-a|≤1⇔ a-1≤x≤a+1,由已知条件得 ⇔ ⇔0≤a≤1.所以 a的取值范围是[0,1].3.(2017·肇庆二模)已知 f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)当 a=2,求不等式 f(x)0,b0,且 a+b=1.(1)若 ab≤m 恒成立,求 m的取值范围;(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求 x的取值范围.解:(1)因为 a0,b0,且 a+b=1,所以 ab≤( )2=,当且仅当 a=b=时“=”成立,由 ab≤m 恒成立,故 m≥.(2)因为 a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5+ +≥9,故+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,当 x≤-2 时,不等式化为 1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,当-2x,不等式化为 1-2x-x-2≤9,解得-2x,当 x≥时,不等式化为 2x-1-x-2≤9,解得≤x≤12.综上所述 x的取值范围为[-6,12].第十三篇 不等式选讲 (选修 4— 5)第 1节 绝对值不等式考纲展示1.理解 绝对值 的几何意 义 ,并了解下列不等式成立的几何意 义 及取等号的条件:①| a+b|≤|a|+|b|(a,b∈ R);②|a-b|≤|a-c|+ |c-b|(a,b,c∈ R).2.会利用 绝对值 的几何意 义 求解以下 类 型的不等式 :|ax+b|≤c;|ax +b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a .知识梳理自测考点专项突破知识梳理自测 把散落的知识连起来知识梳理 1.绝对值不等式(1)定理如果 a,b是实数 ,那么 |a+b|≤ ,当且仅当 时 ,等号成立 .(2)如果 a,b,c是实数 ,那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c |.当且仅当 时 ,等号成立 .(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式① |a1+a2+…+a n|≤|a 1|+|a2|+…+|a n|.②||a|-| b||≤|a+b|≤|a|+|b |.③|a|-| b|≤|a-b|≤|a|+|b |.|a|+|b| ab≥0(a-b)(b-c)≥02.绝对值不等式的解法(1)形如 |ax+b|≥|cx+d |的不等式 ,可以利用两边平方的方式转化为二次不等式求解 . (2)① 绝对值不等式 |x|a与 |x|0)和 |ax+b|≥c(c 0)型不等式的解法|ax+b|≤c ⇔ (c0),|ax+b|≥c ⇔ (c0).-aa或 x0) 和 |x-a|+|x-b|≤c(c 0)不等式的解法(1)零点分段讨论法 :利用绝对值号内式子对应方程的根 ,将数轴分为 (-∞,a],(a,b],(b,+∞)( 此处设 ac(c0)的几何意义 :数轴上到点 x1=a和 x2=b的距离之和大于 c的点的集合 .(3)图像法 :作出函数 y1=|x-a|+|x-b|和 y2=c的图象 ,结合图象求解 .双基自测 1.不等式 |x2-2|1,原不等式可化为 (x+3)-(x-1)≥-2, 即 4≥-2 成立 ,则 x1.综上所述 ,原不等式的解集为 [-2,+∞). 故选 C.C 答案 :-34.若 |x-4|+|x+5|a对于 x∈ R均成立 ,则 a的取值范围为 . 解析 :因为 |x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|≥|4-x+x+5|=9,所以当 a0)型不等式的解法【 例 1】 解下列不等式 .(1)|2x-3|≤5;解 :(1)因为 |2x-3|≤5,所以 -5≤2x-3≤5,所以 -2≤2x≤8,所以 -1≤x≤4,所以原不等式的解集为 {x|-1≤x≤4}.(2)|5-4x|9.反思归纳 |ax+b|≤c,|ax+b|≥c 型不等式的解法(1)c0,则 |ax+b|≤c 可转化为 -c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c 可转化为 ax+b≥c 或ax+b≤-c, 然后根据 a,b的取值求解即可 .(2)c0)型不等式的解法【 例 2】 (2016·全国 Ⅰ 卷 )已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|.(2)求不等式 |f(x)|1的解集 .反思归纳 解含两个或多个绝对值符号的不等式 ,利用零点分段讨论法求解时 ,要注意以下三个方面 :一是准确去掉绝对值符号 ;二是求得不等式的解后 ,要检验该解是否满足 x的取值范围 ;三是将各区间上的解集求并集 .跟踪训练 2:(2017·洛阳模拟 )解不等式 :|2x+1|-|x-1|≤2.考点三 已知不等式的解集求参数的取值范围【 例 3】 导学号 38486235 已知函数 f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式 f(x)≥1 的解集 ;(2)若不等式 f(x)≥x 2-x+m的解集非空 ,求 m的取值范围 .反思归纳 (1)解含参数的绝对值不等式问题的两种方法① 将参数分类讨论 ,将其转化为分段函数解决 .② 借助于绝对值的几何意义 ,先求出相应式的最值或值域 ,然后再根据题目要求 ,求解参数的取值范围 .(2)不等式恒成立问题的常见类型及其解法① 分离参数法 :运用 “f(x)≤a ⇔ f(x)max≤a,f(x)≥a ⇔ f(x)min≥a ”可解决恒成立中的参数范围问题 .② 更换主元法 :不少含参不等式恒成立问题 ,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时 ,可转换思维角度 ,将主元与参数互换 ,常可得到简捷的解法 .③ 数形结合法 :有的恒成立问题 ,可将其转化为函数或有几何背景的问题 ,通过画出函数图像或几何图形 ,可直观解决问题 .跟踪训练 3:(2017·鄂豫晋冀陕五省联考 )已知函数 f(x)=|1-2x|-|1+x|.(1)解不等式 f(x)≥4;(2)若关于 x的不等式 a2+2a+|1+x|f(x)恒成立 ,求实数 a的取值范围 .备选例题 【 例 1】 (2017·吉林模拟 )已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)求函数 f(x)的值域 ;解 :(1)因为 f(x)=|x-2|-|x-5|,所以当 x≤2 时 ,f(x)=2-x-(5-x)=-3;当 2x5时 ,f(x)=x-2-(5-x)=2x-7∈(-3,3);当 x≥5 时 ,f(x)=x-2-(x-5)=3;综上所述 ,函数 f(x)的值域为 [-3,3].(2)解不等式 f(x)≥x 2-8x+15.【 例 2】 (2017·昆明模拟 )已知函数 f(x)=|2x-m|+m.(1)若不等式 f(x)≤6 的解集为 {x|-1≤x≤3}, 求实数 m的值 ;解 :(1)因为函数 f(x)=|2x-m|+m,不等式 f(x)≤6 的解集为 {x|-1≤x≤3},所以 |2x-m|≤6-m 的解集为 {x|-1≤x≤3},由 |2x-m|≤6-m 可得 m-6≤2x-m≤6-m,得 m-3≤x≤3,故有 m-3=-1,m=2.(2)在 (1)的条件下 ,求使 f(x)≤a-f(-x )有解的实数 a的取值范围 .【 例 3】 (2017·西安模拟 )设函数 f(x)=|x-a|+|x-2|.(1)当 a=2时 ,求不等式 f(x)≤14 的解集 ;解 :(1)当 a=2时 ,不等式 f(x)≤14即为 |x-2|+|x-2|≤14,所以 |x-2|≤7, 不等式等价为 -7≤x-2≤7,解得 -5≤x≤9,故原不等式的解集为 {x|-5≤x≤9}.(2)若 f(x)≥a 2对 x∈ R恒成立 ,求实数 a的取值范围 .解 :(2)因为不等式 f(x)≥a 2对 x∈ R恒成立 ,所以 f(x)min≥a 2,根据绝对值三角不等式 ,|x-a|+|x-2|≥|(x-a)-(x-2)|=|a-2|,即 f(x)min=|a-2|,所以 |a-2|≥a 2,分类讨论如下 :① 当 a≥2 时 ,a-2≥a 2,无解 ;② 当 a2时 ,2-a≥a 2,解得 a∈[-2,1],综合以上讨论得 ,实数 a的取值范围为 [-2,1].1第 2 节 证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法 题号用比较法证明不等式 1用综合法、分析法证明不等式 2用反证法、放缩法证明不等式 3证明不等式方法的综合应用 41.(2017·揭阳二模)已知函数 f(x)=|2|x|-1|.(1)求不等式 f(x)≤1 的解集 A;(2)当 m,n∈A 时,证明:|m+n|≤mn+1.(1)解:由|2|x|-1|≤1,得-1≤2|x|-1≤1,即|x|≤1,解得-1≤x≤1,所以 A=[-1,1].(2)证明:|m+n| 2-(mn+1)2=m2+n2-m2n2-1=-(m2-1)(n2-1),因为 m,n∈A,故-1≤m≤1,-1≤n≤1,m 2-1≤0,n 2-1≤0,故-(m 2-1)(n2-1)≤0,|m+n| 2≤(mn+1) 2.又显然 mn+1≥0,故|m+n|≤mn+1.2.(2017·四川宜宾二诊)已知函数 f(x)=m-|x-2|, m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-3,3].(1)解不等式: f(x)+f(x+2)0;(2)若 a,b,c 均为正实数,且满足 a+b+c=m,求证: + + ≥3.(1)解:因为 f(x+2)=m-|x|, f(x+2)≥0 等价于|x|≤m,由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又 f(x+2)≥0 的解集为[-3,3],故 m=3.所以 f(x)+f(x+2)0 可化为: 3-|x-2| +3-|x|0, 所以|x|+|x+2|-4,所以-40 时, x+x+20,2所以 00 的解集为:{x|-40),且 f(x-2)≥0 的解集为[-3,-1].(1)求 m 的值;(2)若 a,b,c 都是正实数,且+ + =m,求证: a+2b+3c≥9.(1)解:依题意 f(x-2)=m-|x+2|≥0,即|x+2|≤m⇔-m-2≤x≤-2+m,所以 m=1.(2)证明:因为+ + =1(a,b,c0)所以 a+2b+3c=(a+2b+3c)( + + )=3+( + )+( + )+( + )≥9,当且仅当 a=2b=3c,即 a=3,b=,c=1 时取等号.第 2节 证明不等式的基本方法考纲展示通 过 一些 简单问题 了解 证 明不等式的基本方法 :比 较 法、 综 合法、分析法 . 知识梳理自测考点专项突破解题规范夯实知识梳理自测 把散落的知识连起来1.比较法知识梳理 方法 原理作差法 a-b0⇔ ab作商法 ⇔ ab(a0,b0)2.综合法与分析法(1)综合法 :从 出发 ,利用定义、公理、定理、性质等 ,经过一系列的 、论证而得出命题成立 .(2)分析法 :从 出发 ,逐步寻求使它成立的 条件 ,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等 ),从而得出要证的命题成立 .已知条件推理要证的结论 充分3.反证法与放缩法(1)反证法证明命题时先假设要证的命题 ,以此为出发点 ,结合 ,应用公理、定义、定理、性质等 ,进行正确的推理 ,得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 的结论 ,以说明假设不正确 ,从而得出原命题成立 ,我们把这种证明方法称为反证法 .(2)放缩法证明不等式时 ,通过把不等式中的某些部分的值 或 ,简化不等式 ,从而达到证明的目的 ,我们把这种方法称为放缩法 .不成立 已知条件矛盾放大 缩小4.三个正数的算术 -几何平均不等式(1)定理≥ a=b=c不小于不小于≥ a1=a2=…=a n 双基自测 B 解析 :根据条件和分析法的定义可知选项 B最合理 .故选 B.2.已知 a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,用反证法求证 a0,b0,c0时的反设为 ()(A)a0,c0(C)a,b,c不全是正数 (D)abc0,b0,c0” ,应为 a,b,c不全是正数 ,故选 C.C 答案 :9考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 比较法证明不等式反思归纳 比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法 :作差、变形、判号、下结论 .(2)作商比较法 :作商、变形、判断、下结论 .提醒 :(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时 ,一般使用作差比较法 .(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时 ,一般使用作商比较法 .考点二 用综合法、分析法证明不等式反思归纳(2)用分析法证明不等式时 ,不要把 “逆求 ”错误地作为 “逆推 ”,分析的过程是寻求结论成立的充分条件 ,而不一定是充要条件 ,同时要正确使用 “要证 ”“只需证 ”这样的连接 “关键词 ”.(3)分析法与综合法常常结合起来使用 ,称为分析综合法 ,其实质是既充分利用已知条件 ,又时刻瞄准解题目标 ,即不仅要搞清已知什么 ,还要明确干什么 ,通常用分析法找到解题思路 ,用综合法书写证题过程 .考点三 用反证法证明不等式证明 :假设 a1,a2,a3,a4均不大于 25,即 a1≤25,a 2≤25,a 3≤25,a 4≤25.则 a1+a2+a3+a4≤100, 这与已知 a1+a3+a3+a4100矛盾 .故假设错误 .所以 a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于 25.【例 3】 (2017·银川月考 )已知 a1+a2+a3+a4100,求证 :a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于 25.反思归纳 对于某些问题中所证结论若是 “ 都是 ”“ 都不是 ”“ 至多”“ 至少 ” 等问题 ,一般用反证法 .其一般步骤是反设 → 推理 → 得出矛盾→ 肯定原结论 .考点四 放缩法证明不等式反思归纳 放缩法的关键是控制放缩的幅度 ,幅度过大或过小都会与所证不等式有差异 .备选例题 解题规范夯实 把典型问题的解决程序化【 教师备用 】利用综合法证明不等式【 典例 】 (10分 )(2017·全国 Ⅱ 卷 )已知 a0,b0,a3+b3=2,证明 :(1)(a+b)(a5+b3)≥4;满分展示证明 :(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6……………… 1分=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)……………………… … … 3分=4+ab(a2-b2)2………………………………………… 4分所以 (a+b)(a5+b5)≥4. ……………………………… 5分(2)a+b≤2.答题模板第一步 :展开不等式的左边并适当整理 ;第二步 :利用已知条件将展开结果进行配方 ;第三步 :利用两数和的立方公式展开整理 ;第四步 :利用 ab≤( )2进行放缩 ;第五步 :解不等式获得待证结论 .