1、比较角的大小的方法,巧记乐背,比较两个角大小， 通过测量可分晓； 若用叠合来比较， “重合”“同侧”要记牢； 若是差别比较大， 估测也能比大小.,例1 不用量角器，比较图4-3.2-1和图4-3.2-2中角的大小.（用“”连接）,图4-3.2-1,图4-3.2-2,分析：图4-3.2-1中和均为锐角，因此，在不测量的情形下，我们可以将图中的向平移，使与的顶点和一边重合，观察另一边的位置来比较角的大小.图4-3.2-2中的三个角按角的分类，1为锐角，2为直角，3为钝角，因此通过估测可直接比较出它们的大小.,图4-3.2-3,解：如图4-3.2-3，将向平移，使与的顶点和一边重合，观察另一边的位置
2、，发现落在内部，因此.由图4-3.2-2可知，1为锐角，即121.,在不用量角器测量角的度数的情况下比较角的大小有两种方法:一种是运用典型的“叠合法”比较大小；另一种是运用“估测法”，按照常见的“锐角直角钝角平角周角”来比较大小.,角的和、差、倍、分,图4-3.2-4,图4-3.2-5,例2 用一副三角尺，你能画出哪些大于0而小于180的角？,解：用一副三角尺可直接画出的角有30，45，60和90.因为15=45-30(或60-45)，所以可采用一副三角尺画出15的角.图4-3.2-6具体操作步骤：如图4-3.2-6，先用含45角的三角尺画出45的AOB，再在AOB的内部用含30角的三角尺画出
3、30的AOC，则BOC=15.,同理，因为75=45+30,105=45+60, 120=60+60,135=45+90, 150=90+60,165=180-45+30， 所以用一副三角尺可以画出15，30，45，60，75，90，105，120，135，150，165的角.,一副三角尺上的角都是特殊角，将这些角进行加减运算，可得到其他的角，也就是一副三角尺可画出的角.,角的平分线,巧记乐背,角平分线是射线， 角的顶点是端点； 位置总在角内部， 把角等分是特点.,角的三等分线和四等分线如果射线OP，OC在AOB的内部，且BOC= COP =AOP= AOB，那么OP，OC是AOB的三等分线；
4、如果射线OM，ON，OQ在AOB的内部，且BOM=MON=NOQ=AOQ= AOB，那么OM，ON，OQ是AOB的四等分线.,例3 如图4-3.2-7，已知OC平分BOD，且BOC=20，OB是AOD的平分线，求AOD的度数.,图4-3.2-7,解：因为OC平分BOD，且BOC=20， 所以BOD=2BOC=220=40. 又因为OB是AOD的平分线， 所以AOD=2BOD=240=80.,已知OB是AOC的平分线，则可得 （1）AOB=BOC= AOC； （2）AOC=2AOB=2BOC，在解题时要灵活运用其关系.,关于角的和差的无图计算题，未进行分类讨论而漏解,例4 已知AOB=20，BO
5、C=30，求AOC的度数.,图4-3.2-8,解：本题有两种情况： 当OB在AOC的内部时，如图4-3.2-8（1），AOC=AOB+BOC=20+30=50； 当OB在AOC的外部时，如图4-3.2-8（2），AOC=BOC-AOB=30-20=10. 综上所述，AOC的度数为50或10.,本题易只考虑到一种情况，仅得到AOC=50，或仅得到AOC=10.,对角平分线的概念理解不透彻而导致错误,例5 如果AOB=2BOC，那么OC一定是AOB的平分线吗？,图4-3.2-9,解：当AOB=2BOC=2AOC时， 如图4-3.2-9（1），OC是AOB的平分线；而只有条件AOB=2BOC时，OC
6、不一定是AOB的平分线，如图4-3.2-9（2）.,本题易受思维定式的影响，根据题干画图只画出了第一种情况，误以为OC一定是AOB的平分线.,题型一 角的大小比较,6,例6 如图4-3.2-10，解答下列问题： (1)比较FOD与FOE的大小； (2)借助三角尺比较DOE与BOF的大小； (3)借助量角器比较AOE与DOF的大小.,图4-3.2-10,思路导图,(1)根据叠合法进行比较,(3)利用量角器分别量得AOE与DOF的度数,进而比较大小,(2)利用三角尺量得DOE45,BOF45,进而得出结论,解：（1）FOD45，BOFBOF. (3)用量角器量，得AOE=30，DOF=30，所以A
7、OE=DOF.,方法点拨：本题用了三种方法比较角的大小，一般需根据具体情况选择合适的方法来比较.叠合法在具体运用时不是很方便，因此在某些情况下，常利用题图中的“同边”构造叠合法.,题型二 角的代数计算,例7 计算： （1）4839+6731； （2）78-473456； （3）22165； （4）42155.,解：（1）4839+6731=11570 =11610. （2）78-473456 =775960473456 =30254. （3）22165=225+165=11080 =11120. （4）42155=8+2155 =8+1355=827.,方法点拨：在进行角的加减运算时，应把度与
8、度、分与分、秒与秒分别相加减，并在运算中注意进位或借位的进率都是60；当角度乘某数时，要分别与度、分、秒相乘，然后按进率60整理相乘结果；当角度除以某数时，要先把度相除并把余数化为分，再与分相除并把余数化为秒，最后与秒相除.,题型三 几何图形中角的和、差、倍、分计算,例8 如图4-3.2-11，DOEBOE=12，DOCCOA=12，如果AOB=120，那么COE是多少度？,图4-3.2-11,解：因为DOEBOE=12，DOE+BOE=BOD， 所以DOE= BOD. 因为DOCCOA=12，DOC+COA=AOD， 所以DOC= AOD. 因为AOB=AOD+BOD=120， 所以COE=
9、DOE+DOC= BOD+ AOD = （BOD+AOD）= AOB=40.,方法点拨：在几何图形中进行角的计算时，首先仔细观察图形，弄清各角之间的和、差、倍、分关系；然后看根据已知角的度数能否直接求出未知角的度数，若能可直接计算，若不能可将角的和差作为一个整体，如此题，不能单独求出BOD和AOD的度数，将“BOD+ AOD”作为整体，便找到了其与已知AOB的关系，进而求出结果.,题型四 求折叠图形中角的度数,例9 如图4-3.2-12，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D，C的位置上，ED与BC的交点为G，若EFG=55，求GFC的度数.,图4-3.2-12,思路导图
10、,由EFG=55，EFG与EFC的和是180，可求得EFC的度数,求出EFC与EFG的差，便得GFC的度数,由折叠的性质，可知EFC与EFC的度数相等,解：因为EFG=55，EFG+EFC=180， 所以EFC=180-EFG=180-55=125. 由折叠的性质知EFC=EFC=125. 所以GFC=EFC-EFG=125-55=70.,把一张纸片沿某条直线折叠，则出现两个相互重合的角，这个现象说明：如果把折叠后互相重合的两个角展开并看成一个角，那么折痕是这个角的平分线，这是折叠图形的一个显著特点，求折叠图形中角的度数时常利用这个特点.,知识链接,解读中考：,本节内容在中考中的考点主要有：
11、（1）角的大小比较，一般结合圆周角（后面学习）考查，单独命题的几率很小； （2）角的和、差、倍、分计算，常与折叠结合考查，题型有选择题和填空题； （3）角的平分线的定义，常融合于角的计算中，不会单独考查.,例10 （浙江金华中考）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.在图4-3.2-14的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ ） A.点C B.点D或点E C.线段DE(异于端点)上一点 D.线段CD(异于端点)上一点,图4-3.2-14,C,考点一 角的大小比较,解析：如图4-3.2-15，连接BC，AC
12、，BD，AD，AE，BE，通过测量各角的度数可知，射点在线段DE上时角最大，射点在点D右上方或点E左下方时角度较小.故选C.,图4-3.2-15,例11 （湖北恩施中考）已知AOB=70，以O为端点作射线OC，使AOC=42，则BOC的度数为（ ）A.28 B.112 C.28或112 D.68,C,考点二 角的和、差、倍、分计算,图4-3.2-17,解析： 如图4-3.2-17，当点C与点C1重合时，BOC=AOB-AOC=70-42=28； 当点C与点C2重合时，BOC=AOB+AOC=70+42=112.,核心素养,例12 已知AOB=90，OC为一条射线，OM，ON分别平分BOC，AO
13、C，求MON的度数.,分析：由于本题没有指明OC在AOB的内部还是外部，因此应分情况讨论. 解：当OC在AOB的内部时，如图4-3.2-18（1）. 因为OM，ON分别平分BOC，AOC， 所以COM= BOC，CON= AOC. 因为AOB=AOC+BOC=90，,所以MON=CON+COM= AOC+ BOC= （AOC+BOC）= AOB=45. 当OC在AOB的外部时，如图4-3.2-18（2）. 因为OM，ON分别平分BOC，AOC， 所以COM= BOC，CON= AOC. 因为AOB=BOC-AOC=90， 所以MON=COM-CON= BOC- AOC= （BOC-AOC）= AOB=45. 综上所述，MON的度数为45.,图4-3.2-18,方法点拨：当题目中没有给出图形时，应根据题意画出图形，考虑到所有可能出现的情况，分情况讨论解题.,
