1、回扣 8 解析几何1直线方程的五种形式(1)点斜式： y y1 k(x x1)(直线过点 P1(x1， y1)，且斜率为 k，不包括 y轴和平行于 y轴的直线)(2)斜截式： y kx b(b为直线 l在 y轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y轴和平行于 y轴的直线)(3)两点式： (直线过点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，且 x1 x2， y1 y2，不包y y1y2 y1 x x1x2 x1括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式： 1( a， b分别为直线的横、纵截距，且 a0， b0，不包括坐标轴、平xa yb行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式： Ax By C0
2、(其中 A， B不同时为 0)2直线的两种位置关系当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率存在时：(1)两直线平行 l1 l2k1 k2.(2)两直线垂直 l1 l2k1k21.提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3三种距离公式(1)A(x1， y1)， B(x2， y2)两点间的距离| AB| .x2 x12 y2 y12(2)点到直线的距离 d (其中点 P(x0， y0)，直线方程为 Ax By C0)|Ax0 By0 C|A2 B2(3)两平行线间的距离 d (其中两平行线方程分别为|C2 C1|A2 B2l1： Ax By C10， l2
3、： Ax By C20)提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x， y的系数应对应相等4圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：( x a)2( y b)2 r2.(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法6圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF1| PF2|2 a(2a| F1F2|)|PF1| PF2|2 a(2a0)相交于 A， B两点，点 F为
4、抛物线的x2a2 y216焦点， ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A3 B2 C. D.6 3答案 A解析 依题意知，抛物线的准线为 x2，代入双曲线方程得y ，4a 4 a2不妨设 A .( 2，4a4 a2) FAB是等腰直角三角形， p4，求得 a ，4a4 a2 2双曲线的离心率为 e 3，ca a2 16a 182故选 A.8若点 O和点 F分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3C6 D8答案 C解析 由题意得 F(1,0)，设点 P(x0， y0)，则 y 3 (2 x02)20 (1x204)
5、 x0(x01) y x x0 yOP FP 20 20 20 x x0320 (1x204) (x02) 22.14又因为2 x02，所以当 x02 时， 取得最大值，最大值为 6，故选 C.OP FP 9已知函数 y f(x) ax1 2( a0 且 a1)的图象恒过定点 A，设抛物线 E： y24 x上任意一点 M到准线 l的距离为 d，则 d 的最小值为( )|MA|A5 B. 10C. D.5 2答案 C解析 当 x10 时， y1，故 A(1，1)，设抛物线焦点为 F(1,0)，根据抛物线的定义可知， d 的最小值为 .|MA| |AF| 510我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭
6、圆和双曲线称为一对“相关曲线” 已知F1， F2是一对相关曲线的焦点， P是它们在第一象限的交点，当 F1PF230时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )A74 B23 3C. 1 D423 3答案 B解析 由题意设椭圆方程为 1，x2a2 y2b2双曲线方程为 1，且 c c1.x2a21 y2b21由题意 1，(*)ca ca1由 F1PF230及余弦定理，得椭圆中：4 c24 a2(2 )|PF1|PF2|，3双曲线中：4 c24 a (2 )|PF1|PF2|，21 3可得 b (74 )b2，代入(*)式，21 3c4 a a2( c2 b )a2(84 )c2a2(74 )a4，
7、21 21 3 3即 e4(84 )e2(74 )0，3 3得 e274 ，即 e2 ，故选 B.3 311已知直线 l： mx y1，若直线 l与直线 x m(m1) y2 垂直，则 m的值为_；动直线 l： mx y1 被圆 C： x22 x y280 截得的最短弦长为_. 答案 0 或 2 2 7解析 由两直线垂直的充要条件得 m1(1) m(m1)0， m0 或 m2；圆的半径为 3，当圆心(1,0)到直线的距离最长，即 d 时，弦长最短，1 02 0 12 2此时弦长为 2 2 .32 22 712已知直线 l： mx y3 m 0 与圆 x2 y212 交于 A， B两点，过 A，
8、 B分别作 l的3垂线与 x轴交于 C， D两点，若| AB|2 ，则| CD|_.3答案 4解析 设 AB的中点为 M，由题意知，圆的半径 R2 ，| AB|2 ，所以| OM|3，解得3 3m ，33由Error! 解得 A(3， )， B(0,2 )，3 3则 AC的直线方程为 y (x3)， BD的直线方程为 y2 x，令 y0，解3 3 3 3得 C(2,0)， D(2,0)，所以| CD|4.13已知 F1， F2是双曲线 1 的焦点， PQ是过焦点 F1的弦，且 PQ的倾斜角为 60，x216 y29那么| PF2| QF2| PQ|的值为_答案 16解析 由双曲线方程 1 知，
9、2 a8，x216 y29由双曲线的定义，得| PF2| PF1|2 a8， |QF2| QF1|2 a8， 得| PF2| QF2|(| QF1| PF1|)16.| PF2| QF2| PQ|16.14在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q作抛物线 x24 y的切线，切点分别为 A， B，则直线 AB恒过定点_答案 (0,2)解析 设 Q(t，2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，抛物线方程变为 y x2，则 y x，则在14 12点 A处的切线方 程 为 y y1 x1(x x1)， 化 简 得 y x1x y1， 同 理 ， 在 点 B处 的切线方程12 12为 y x2x
10、y2.又点 Q(t，2)的坐标满足这两个方程，代入得122 x1t y1，2 x2t y2，则说明 A(x1， y1)， B(x2， y2)都满足方程2 xt y，即12 12 12直线 AB的方程为 y2 tx，因此直线 AB恒过定点(0,2)1215已知过点 A(0,1)且斜率为 k的直线 l与圆 C：( x2) 2( y3) 21 交于 M， N两点(1)求 k的取值范围；(2)若 12，其中 O为坐标原点，求| MN|.OM ON 解 (1)由题设可知，直线 l的方程为 y kx1，因为 l与圆 C交于两点，所以 1.|2k 3 1|1 k2解得 k .4 73 4 73所以 k的取值
11、范围为 .(4 73 ， 4 73 )(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，将 y kx1 代入方程( x2) 2( y3) 21，整理得(1 k2)x24(1 k)x70.所以 x1 x2 ， x1x2 .41 k1 k2 71 k2 x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 k(x1 x2)1OM ON 8.4k1 k1 k2由题设可得 812，解得 k1，4k1 k1 k2所以 l的方程为 y x1.故圆心 C在 l上，所以| MN|2.16已知圆 F1：( x1) 2 y2 r2与圆 F2：( x1) 2 y2(4 r)2 (0 r4)的公共点的轨迹为曲线 E，且曲线 E与
12、 y轴的正半轴相交于点 M.若曲线 E上相异的两点 A， B满足直线MA， MB的斜率之积为 .14(1)求曲线 E的方程；(2)证明：直线 AB恒过定点，并求定点的坐标；(3)求 ABM的面积的最大值(1)解 设圆 F1，圆 F2的公共点为 Q，由已知得| F1F2|2，| QF1| r，| QF2|4 r，故| QF1| QF2|4| F1F2|，因此曲线 E是长轴长 2a4，焦距 2c2 的椭圆，且 b2 a2 c23，所以曲线 E的方程为 1.x24 y23(2)证明 由曲线 E的方程，得上顶点 M(0， )，记 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意知，3x10， x20，
13、若直线 AB的斜率不存在，则直线 AB的方程为 x x1，故 y1 y2，且y y 3 ，因此 kMAkMB ，与已知不符，因此直线21 2 (1x214) y1 3x1 y2 3x2 y21 3x21 34AB的斜率存在，设直线 AB： y kx m，代入椭圆 E的方程 1，得(34 k2)x24 y23x28 kmx4( m23)0.因为直线 AB与曲线 E有公共点 A， B，所以方程有两个非零不等实根 x1， x2，所以 x1 x2 ， x1x2 ，8km3 4k2 4m2 33 4k2又 kAM ，y1 3x1 kx1 m 3x1kMB ，y2 3x2 kx2 m 3x2由 kAMkB
14、M ，14得 4(kx1 m )(kx2 m ) x1x2，3 3即(4 k21) x1x24 k(m )(x1 x2)4( m )20，3 3所以 4(m23)(4 k21)4 k(m )(8 km)4( m )2(34 k2)0，3 3化简得 m23 m60，故 m 或 m2 ，3 3 3结合 x1x20 知， m2 ，即直线 AB恒过定点 N(0,2 )3 3(3)解 由 0 且 m2 得 k 或 k ，332 32又 S ABM| S ANM S BNM| |MN|x2 x1|1232 x1 x22 4x1x232 ( 8km3 4k2)2 44m2 33 4k2 ，64k2 93 4k2 64k2 9 124k2 9 32当且仅当 4k2912，即 k 时， ABM的面积最大，最大值为 .212 32
