1、第一章 三角函数1 例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式 l| |r 和扇形面积公式S | |r2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助12我们加深对弧度制概念的理解.下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题.例 1 已知扇形的圆心为 60，所在圆的半径为 10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积.解 设弧长为 l，弓形面积为 S 弓 ，则 60 ， r10，所以 l r ，所以 S 3 103弓 S 扇 S lr r2sin 50 .12 12 ( 3 32)评注 本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具
2、体问题进行分割，再求解.例 2 扇形的半径为 R，其圆心角 (0 )为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？解 如图，设内切圆半径为 r. 则( R r)sin r，所以 r ， 2Rsin 21 sin 2则内切圆的面积 S r2 2 R2 2.(Rsin 21 sin 2) (sin 21 sin 2)因为 ，且 0 ，sin 21 sin 211 1sin 2 2 2所以当 ，即 时， Smax . 2 2 R24评注 解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解.例 3 已知扇形的周长为 30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积
3、是多少？解 设扇形的圆心角为 ，半径为 r，面积为 S，弧长为 l，则有 l2 r30，所以l302 r，从而 S lr (302 r)r r215 r 2 cm2，所以当半径12 12 (r 152) 2254r cm 时，扇形面积最大，为 cm2.这时 2.152 2254 lr评注 本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题.针对练习：1.扇形的周长 C 一定时，它的圆心角 取何值才能使扇形面积 S 最大？最大值是多少？2.在扇形 AOB 中， AOB90，弧 AB 的长为 l，
4、求此扇形内切圆的面积.3.已知扇形 AOB 的周长是 6 cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积.答案 1. 2 时，扇形面积最大，最大值为 .C2162.S r2 l2.12 823.2 cm2.2 任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考.一、概念不清例 1 已知角 的终边在直线 y2 x 上，求 sin cos 的值.错解 在角 的终边所在直线 y2 x 上取一点 P(1，2)，则 r .12 22 5所以 sin cos
5、.yr xr 25 15 355剖析 错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角 的终边所在直线上取一点与角 的终边上任取一点都可以确定角 的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的.正解 在直线 y2 x 的第一象限部分取一点 P(1，2)，则 r .12 22 5所以 sin cos .yr xr 25 15 355在直线 y2 x 的第三象限部分取一点 P(1，2)，则 r . 12 22 5所以 sin cos .yr xr 25 15 355综上，sin cos 的值为 或 .355 355二、观察代替推理例 2 当 (0， )时，求证：sin cos 7 7314514 2
6、7cos ，314 514即cos sin cos .87 27 514点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：将不同名的三角函数化为同名三角函数；用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；由单调性得出各值的大小关系.二、重拳出击求解最值例 2 已知 f(x) sin(2x )， xR.求函数 f(x)在区间 ， 上的最小值和最大2 4 8 34值.解 因为当 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 4 2即 k x k (kZ)时， 8 38函数 f(x) sin(2x )单调递增；2 4当 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 4 32即 k x
7、 k (kZ)时，函数单调递减，38 78所以 f(x) sin(2x )在区间 ， 上为增函数，在区间 ， 上为减函数.2 4 8 38 38 34又 f( )0， f( ) ， f( )1. 8 38 2 34故函数 f(x)在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为1. 8 34 2点评 求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是高考中经常出现的考点，解题过程中要注意将 x 看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用.三、触类旁通解不等式例 3 若 0 cos ，求 的取值范围.33解 当 时，不等式成立，当 时，不等式不成立.当 0， ) 2 32 2( ，2时，c
8、os 0，则原不等式可化为 tan ，根据正切函数的单调性得，32 33cos x 成立的 x 的取值范围是_.解析 在同一坐标系中画出 ysin x， ycos x， x(0，2)的图象如图.由图知， x( ， ). 4 54答案 ( ， ) 4 54点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.二、分类讨论思想例 2 证明： (1) ncos ， nZ.2sin n cos n sin n sin n 证明 当 n 为偶数时，令 n2 k， kZ，左边2sin 2k cos 2k sin 2k sin 2k cos .2sin cos sin sin 2sin c
9、os 2sin 右边(1) 2kcos cos ，左边右边.当 n 为奇数时，令 n2 k1， kZ，左边2sin 2k cos 2k sin 2k sin 2k 2sin cos sin sin 2 sin cos sin sin cos .2sin cos 2sin 右边(1) 2k1 cos cos ，左边右边.综上所述， (1) ncos ， nZ 成立.2sin n cos n sin n sin n 点评 解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是k (kZ)的形式，往往对参数 k 进行讨论.常见的一些关于参数 k 的结论有sin(k )(1) ksin (
10、kZ)；cos( k )(1) kcos (kZ)；sin( k )(1) k1 sin (kZ)；cos( k )(1) kcos (kZ)等.三、函数与方程的思想例 3 函数 f(x) cos xsin 2x( x )的最大值是_.3 6 3解析 f(x) cos xsin 2xcos 2x cos x13 3(cos x )2 ，32 74设 cos x t，因为 x ，所以由余弦函数的单调性可知， cos x ，即 6 3 12 32 t ，又函数 f(t)( t )2 在 ， 上单调递增，故 f(t)max f( ) ，所以12 32 32 74 12 32 32 54f(x)的最大
11、值为 .54答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值.四、转化与化归思想例 4 比较 tan( )与 tan( )的大小.134 175解 tan( )tan ，tan( )tan .134 4 175 25因为 0tan ， 4 25即 tan( )tan( ).134 175点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想.6 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中
12、能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例 1 函数 y 的定义域为_.cos x 12解析 由题意得 cos x ，12所以 2k x2 k ， kZ. 3 3即函数的定义域是2 k ，2 k ， kZ. 3 3答案 2 k ，2 k ， kZ 3 3点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.二、值域与最值例 2 函数 ycos( x )， x(0， 的值域是_. 3 3解析 因为 00，然后把 x 看做一个整体，根据 ysin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通
13、解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的 k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.四、周期性与对称性例 4 已知函数 f(x)sin(2 x )( 0)的最小正周期为 ，则函数 f(x)的图象的一条 3对称轴方程是( )A.x B.x C.x D.x12 6 512 3解析 由 T 得 1，所以 f(x)sin(2 x )，22 3由 2x k， kZ， 3 2解得 f(x)的对称轴方程为 x ， kZ，512 k2所以 x 为 f(x)的一条对称轴，故选 C.512答案 C点评 解本题的关键是先由周期公式求得 的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数
14、的对称轴；另一种是根据对称轴的特征对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.五、奇偶性例 5 若函数 f(x)sin ( 0，2)是偶函数，则 等于( )x 3A. B. C. D. 2 23 32 53解析 因为函数是偶函数，所以函数关于 x0 对称；由 k 可得函数的对称轴方程是 x 3 k ， kZ，令x 3 2 323 k 0，解得 3 k， kZ，32 32又 0，2)，故 .32答案 C点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数函数图象关于 y 轴对称；奇函数函数图象关于原点对称.7 数形结合百般好，形象直观烦琐少构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦
15、函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例 1 定义运算 a b 为 a bError!例如，121，则函数 f(x)sin xcos x 的值域为( )A.1，1 B.22， 1C. D. 1，22 1， 22解析 根据题设中的新定义，得 f(x)Error!作出函数 f(x)在一个周期内的图象，如图可知函数 f(x)的值域为 . 1，22答案 C点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.二、确定零点个数例 2 函数
16、 f(x) xsin x 在区间0，2上的零点个数为_.(12)解析 在同一直角坐标系内，画出 y x及 ysin x 的图象，由图象可观察出交点个数为(12)2.答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.三、确定参数的值例 3 已知 f(x)sin( x )( 0)， f f ，且 f(x)在区间 上有最小值， 3 ( 6) ( 3) ( 6， 3)无最大值，则 _.解析 f(x)sin ( 0)且 f f ，( x 3) ( 6) ( 3)又 f(x)在区间 内只有最小值、无最大值，( 6， 3)画出函数大致图象，如图所示， f(x)在 处取
17、得最小值. 6 32 4 2 k (kZ). 4 3 2 8 k (kZ).103 0，当 k1 时， 8 ；103 143当 k2 时， 16 ，此时在区间 内已存在最大值.故 .103 383 ( 6， 3) 143答案 143点评 本题考查对 y Asin(x )的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是 f(x)在 处取得最小值；二是在区间 内只有最小值而无最大值，求解时作出其 4 ( 6， 3)草图可以帮助解题.四、判断函数单调性例 4 设函数 f(x) (xR)，则 f(x)( )|sin(x 3)|A.在区间 上是增函数23， 43B.在区间 上是增函数34， 1312C
18、.在区间 上是减函数 8， 4D.在区间 上是减函数 3， 56解析 作出函数 y 的图象如图所示.|sin(x 3)|由图象可知 B 正确.答案 B点评 形如 f(x)| Asin(x ) k|(A0， 0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解.五、确定参数范围例 5 当 0 x1 时，不等式 sin kx 恒成立，则实数 k 的取值范围是_. x2解析 作出函数 ysin ， y kx 的函数图象，如图所示. x2当 k0 时，显然成立；当 0k1 时，由图象可知：sin kx 在 x0，1上成立. x2综上所述， k1.答案 (，1点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论 y kx 与 ysin 的图象关系时，不要忘记 k0 的情况. x2六、研究方程的实根例 6 已知方程 2sin(2x )1 a， x ， 有两解，求 a 的取值范围. 3 6 1312规范解答 构造函数 y2sin(2 x )及 y a1， 3用五点作图法作出函数 y2sin(2 x )在 ， 上的图象如图所示. 3 6 1312显然要使 y a1 与图象有两个交点，只须2 a10 或 a12，解得3 a1 或 a1，即 a 的取值范围为 a|3 a1 或 a1.
