1、月月考四 计数原理与概率、统计、算法、复数、推理与证明第 卷 (选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数 z 满足 iz 24i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为( )A( 4，2) B(4,2)C (4,2) D(4，2)答案：D解析：z 42i，其在复平面内对应的点的坐2 4ii 2 4ii 1标为(4 ，2) ，故选 D.2(2017山东卷， 2)已知 aR，i 是虚数单位若za i， z 4，则 a( )3 zA1 或1 B. 或7 7C D.3 3答案：A
2、解析： z 4， | z|24，即| z|2.z z a i， |z| ， 2，3 a2 3 a2 3 a1.故选 A.3某客运公司有 200 辆客车，为了解客车的耗油情况，现采用系统抽样的方法按 1 10 的比例抽取一个样本进行检测，将客车依次编号为 1,2，200，则其中抽取的 4 辆客车的编号可能是( )A3,23,63,102 B31,61,87,127C 103,133,153,193 D57,68,98,108答案：C解析：用系统抽样的方法抽出的客车的编号从小到大成等差数列，因为抽取 间距为 10，故只需选项中的四个数是公差为 10 的等差数列中的部分项，故选 C.4(2018云川
3、贵百校大联考) 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如下，则这 100 个成绩的平均数为( )分数 1 2 3 4 5人数 20 10 40 10 20A.3 B2.5C 3.5 D2.75答案：A解析：设这 100 个成绩的平均数为 ，则x (1202 10340410520)3.x11005(2018云南师大附中月考) 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的 a0，a 1，a 2，a n分别为 0,1,2，n.若 n5，根据该算法计算当 x2 时多项式的值，则输出的结果
4、为 ( )A248 B258C 268 D278答案：B解析：该程序框图是计算多项式 f(x)5x 54x 43x 32x 2x 当x2 时的值 ，f(2)258 ，故选 B.6(2018江西上饶一模) 执行如图所示的程序框图，如果输出T6，那么判断框内应填入的条件是( )Ak 6.635 ，有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” ，故 选 C.第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在相应题号后的横线上13(2018 济南模拟一) 执行如图所示的程序框图，当输入的 x为 2 017 时，输出的 y_.答案：4解析：本题考查
5、程序框图由程序框图得当 x1 时，循 环结束，所以输 出 y3 ( 1)14.14(2018 广东佛山质检) 所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数) 如：6123；28124714；4961248163162124248.此外，它们都可以表示为 2 的一些连续正整数次幂之和如 62 12 2,282 22 32 4，按此规律，8 128 可表示为_答案：2 62 72 12解析：8 1282 6127，又由 127，解得 n7.8 1 2n1 21282 6(122 6)2 62 72 12.15(2017 江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种
6、不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件答案：18解析： ，样 本 容 量总 体 个 数 60200 400 300 100 350 应从丙种型号的产品中抽取 30018(件) 35016甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_和_.答案：24 23解析：由茎叶图可知甲的平均数为24.19 18 20 21 23 22 20 31
7、 31 3510乙的平均数为23.19 17 11 21 24 22 24 30 32 3010三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知复数 z( )2016(1i) 2(其中 i 为虚数单位 )，若复数 z 的1 i1 i共轭复数为 ，且 z143i.z z (1)求复数 z1；(2)若 z1 是关于 x 的方程 x2pxq0 的一个根，求实数 p，q的值，并求出方程 x2 pxq0 的另一个复数根解析：(1) 因 为 z( )2016(1i) 2i 20162i12i ，1 i1 i所以 12i，所以 z1 2i.z
8、 4 3i1 2i(2)由题 意知 (2i) 2p(2i)q0，化简得(32pq)( p4)i0，所以 32pq0 且 p40，解得 p4，q5，所以方程为 x24x 5 0，即 (x2) 21i 2，解得另一个复数根为 x2 i.18(本小题满分 12 分)(2018安徽 “皖南八校”第二次联考) 某学校为了分析在一次数学竞赛中甲、乙两个班的数学成绩，分别从甲、乙两个班中随机抽取了 10 个学生的成绩，成绩的茎叶图如下：(1)根据茎叶图，计算甲班被抽取学生成绩的平均值 及方差 s2；x(2)若规定成绩不低于 90 分的等级为优秀，现从甲、乙两个班级所抽取成绩等级为优秀的学生中，随机抽取 2
9、人，求这两个人恰好都来自甲班的概率解析：(1) 根据茎叶 图得， (728181 838587879093101)86，x110s2 (7286) 22 (8186) 2(8386) 2(8586)11022(87 86)2(90 86)2(9386) 2(10186) 2 (196509121649225)54.8.110(2)由茎叶 图 知，甲、乙两班成绩等级为优秀的学生共有 7 人，其中甲班有 3 人，设为 a，b，c，乙班有 4 人， 设为 A，B，C，D.从 7 名优秀学生中随机抽取 2 人共有 21 种等可能的结果，分别为ab，ac，aA，aB，aC，aD，bc，bA，bB，bC，
10、bD，cA，cB，cC，cD，AB，AC，AD，BC，BD，CD.“两个人恰好都来自甲班”包含其中 3 种结果，分别为ab，ac，bc，所求概率为 P .321 1719(本小题满分 12 分)设 a0，b0，且 ab .证明：1a 1b(1)a b2 ；(2)a2 a0，b0，得 ab1.1a 1b a bab(1)由基本不等式及 ab1，有 ab2 2，即 ab2.ab(2)假设 a2 a0，得07.879，故有 99.5%的把握50828 212220301040认为“心率小于 60 次/分与常年进行系统的身体锻炼有关” 22(本小题满分 12 分)(2018山西省第二次四校联考) 某地
11、随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额) ，如下表 1：年份 x 2011 2012 2013 2014 2015储蓄存款 y(千亿元) 5 6 7 8 10为了研究计算的方程，工作人员将上表的数据进行了处理，tx 2 010 ，z y5 得到下表 2：时间代号t 1 2 3 4 5z 0 1 2 3 5(1)求 z 关于 t 的线性回归方程；(2)通过 (1)中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测 2020 年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程 x ，其中y b a ， )b ni 1xiyi nx y ni 1x2i nx 2 ay b x 解析：(1) 3， 2.2， izi45， 55，t z 5i 1t5i 1t2i 1.2， 2.231.21.4，b 45 532.255 59 a z b t z 1.2t1.4.(2)将 tx2 010，zy 5，代入 z1.2t1.4，得 51.2(x2 010)1.4，即 1.2x 2 408.4.y y (3) 1.2 2 0202 408.415.6，y 预测到 2020 年年底，该地储蓄存款可达 15.6 千亿元
