1、跟踪强化训练( 二十一) 一、选择题1(2017贵阳一中适应性考试) 已知 l 为平面 内的一条直线， 表示两个不同的平面，则“ ”是 “l”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 若 l 为平面 内的一条直线且 l，则 ，反过来则不一定成立，所以“ ”是“l ”的必要不充分条件，故选 B.答案 B2(2017福建泉州模拟) 设 a，b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( )A存在唯一直线 l，使得 la，且 lbB存在唯一直线 l，使得 la，且 lbC存在唯一平面 ，使得 a，且 bD存在唯一平面 ，使得 a，且 b解析 过直 线 a
2、上一点，作 b 的平行线 c，则直线 a，c 确定一个平面，易证 垂直于该平面的直线同时垂直于直线 a 和 b，由于这样的直线有无数条，故 A 错误 ；由空间两直线夹 角的定义易证，若 la 且lb，则 ba，故 B 错；过直线 a 上一点作 b 的平行线 n，记 a，n 确定的平面为 a，显然 b，即存在性成立，假 设 存在平面 ，使得a ，a ，且 b，b，则 a，所以 ba，与题意矛盾，故唯一性成立，故 C 正确；假 设存在平面 ，使得 a，且 b，则 ba，与题意矛盾，故 D 错误 .答案 C3(2017宁波统考 )已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足 lm，
3、ln，l，l ，则 ( )A 且 lB 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析 因为 m，lm，l，所以 l.同理可得 l.又因为 m，n为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选 D.答案 D4已知 a，b，l 表示空间中三条不同的直线， 表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为( )若 a，b，l，abl，则 ；若 ， ，且 l，则 l ；若 a，b， a，la，lb，则 l；若 a，b 为异面直线，a，b，la，l b，l，l ，则 与 相交，且交线平行于 l.A BC D解析 对于 ，a，b，l 就相当于平面 ， 的法线，
4、因为abl，所以 ，所以正确；显然 是正确的；对于，若 ab，由线面垂直的判定定理可知，直线 l 不一定垂直于 ，只有当 a 与 b相交时，l，所以 不正确；对于，由 a，la，且 l，得 l.又b，lb，l，所以 l.由直线 a，b 为异面直线，且 a，b，得 与 相交，否 则 ab，与 a，b 异面矛盾，故 与 相交，且交线平行于 l，所以正确答案 A5(2016全国卷 )平面 过正方体 ABCDA 1B1C1D1 的顶点A， 平面 CB1D1，平面 ABCDm， 平面 ABB1A1n，则m，n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 33 13解析 因为过 点 A 的平面
5、 与平面 CB1D1 平行，平面 ABCD平面 A1B1C1D1，所以 mB1D1BD，又 A1B平面 CB1D1，所以 nA1B，则BD 与 A1B 所成的角为 所求角，所以 m，n 所成角的正弦值为 ，选 A.32答案 A6(2017温州十校联考) 如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C，D 的动点，将ADE 沿 AE 翻折成 SAE，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列三种说法中正确的个数是 ( )存在点 E 使得直线 SA平面 SBC；平面 SBC 内存在直线与 SA 平行；平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行A0 B1 C2 D3解析 由题图 ，得 SA
6、SE，若存在点 E 使得直线 SA平面SBC，则 SASB，SASC，则 SC，SB，SE 三线 共面，则点 E 与点 C 重合，与题设矛盾，故 错误；因为 SA 与平面 SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与 SA 平行，故错误；显然，在平面 ABCE 内，存在直线与 AE 平行，由线面平行的判定定理得平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行，故正确选 B.答案 B二、填空题7(2017定州二模 )如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB2，E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF平面 AB1C，则EF_.解析 根据 题意，因为 EF平面 AB1C，EF
7、平面 ABCD，平面ABCD平面 AB1CAC，所以 EFAC.又 E 是 AD 的中点，所以 F 是CD 的中点因 为在 RtDEF 中， DEDF1，故 EF .2答案 28(2017云南省 11 校高三调研) 已知 m，n 是两条不同的直线， 为两个不同的平面，有下列四个命题：若 ，m，n ，则 mn；若 m，n，m n，则 ；若 m，n，m n，则 ；若 m，n， ，则 mn.其中所有正确命题的序号是_解析 对于 ，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此不正确 对 于，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面) 引垂线，这两条垂线所成的
8、角与这个二面角的平面角相等或互补”可知正确对于，分 别 与两条平行直 线平行的两个平面未必平行，因此不正确对于，由 n 得，在平面 内必存在直 线 n1 平行于直线 n；由m， 得 m，mn1；又 n1n，因此有 mn，正确综上所述，所有正确命题的序号是.答案 9(2017运城一模 )在ABC 中，C90，B 30 ，AC1，M 为 AB 的中点，将BCM 沿 CM 折起，使点 A，B 间的距离为 ，则点 M 到平面 ABC 的距离为_2解析 在平面 图形中，由已知得AB2，AM BM MC 1， BC ，AMC 为等边三角形，取 CM3的中点 D，连接 AD，则 ADCM，设 AD 的延 长
9、线交 BC 于 E，则AD ，DE ，CE .根据题意知，折起后的 图形如图所示，由32 36 33BC2AC 2AB 2，知 BAC90，又 cosECA ，连接 AE，则33AE2CA 2 CE22CACEcosECA ，于是23AC2AE 2 CE2，AEC90，AEBC.AD2AE 2ED 2，AEDE，又 BC，DE平面BCM，BCDEE，AE平面 BCM，即 AE 是三棱锥 ABCM 的高，设点 M 到平面 ABC 的距离为 h，SBCM ，AE ，所以由34 63VABCM V MABC ，可得 1h，h .13 34 63 13 12 2 12答案 12三、解答题10(2017
10、 江苏卷)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD ，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F (E 与 A，D 不重合) 分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)ADAC.证明 (1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为 平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，BC 平面 BCD，BCBD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD.又 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC平面 ABC，所以AD平面 AB
11、C.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.11(2017 南昌摸底)在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形，AB 1，AA 1 ，D 为 AA1 的中点， BD 与 AB1 交于点2O，CO 侧面 ABB1A1.(1)证明： BCAB 1；(2)若 OCOA ，求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值解 (1)证 明：由题意，tan ABD ，ADAB 22tanAB1B ，ABBB1 22由图可知 0ABD，AB1B ，所以ABD AB1B，2所以ABDBAB 1 AB1BBAB 1 ，所以 AB1BD，2又 CO侧面 ABB1A1，AB1CO.又 BD 与
12、 CO 交于点 O，所以 AB1平面 CBD，又因为 BC平面 CBD，所以 BCAB1.(2)如图 ，以 O 为原点，分别以 OD，OB1，OC 所在的直线为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，则 A ，B ，C ，(0， 33，0) ( 63，0，0) (0，0，33)B1 ，D ，(0，233，0) ( 66，0，0)又因为 2 ，所以 C1 .CC1 AD ( 63，233，33)所以 ， ，AB ( 63，33，0) AC (0，33，33) .DC1 ( 66，233，33)设平面 ABC 的法向量 为 n(x ，y，z)，则根据Error!可得Error!令
13、 x1，则 y ，z ，2 2所以 n(1， ， )是平面 ABC 的一个法向量，设直线 C1D 与2 2平面 ABC 所成角为 ，则 sin .|DC1 n|DC1 |n| 3555512(2017 贵州省贵阳市高三监测) 如图所示，该几何体由一个直三棱柱 ADEBCF 和一个正四棱锥 PABCD 组合而成，AD AF，AE AD 2.(1)证明：平面 PAD平面 ABFE；(2)若正四棱锥 PABCD 的高为 1，求二面角 CAFP 的余弦值解 (1)证 明：直三棱柱 ADEBCF 中，AB 平面 ADE，ABAD，又 ADAF，ABAFA，AD平面 ABFE，AD平面 PAD，平面 PA
14、D平面 ABFE.(2)ADBC，AD平面 ABFE，BC平面 ABFE，且 ABBF，建立以 B 为坐 标原点，BA，BF，BC 所在直线分 别为 x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示正四棱锥 PABCD 的高为 1，AEAD2 ，A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，1,1)， (2,2,0)， (0,2，2)， (1,1，1)，AF CF PA 设 n1( x1,1，z1)是平面 ACF 的一个法向量，则 n1 ，n1 ，AF CF Error!即Error!解得 x11，z 11，即 n1(1,1,1) 设 n2( x2,1，z2)是平面 PAF 的一个法向量，则 n2 ，n2 ，AF PA Error!即Error!解得 x21，z 22，即 n2(1,1,2) cosn1，n2 ，n1n2|n1|n2| 1 1 236 223又二面角 CAFP 是锐角，二面角 CAF P 的余弦值是 .223
