1、2017 年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1若集合 A=xN|x2，B=x|3xx 20，则 AB 为（ ）Ax|0x2 B1，2 Cx|0x2 D0，1，22复数 z=cos +isin 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 =（ ）A B61 C D74我国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸） ，若 取 3，且图中的 x 为 1
2、.6（寸） 则其体积为（ ）A0.4+11.4 立方寸 B13.8 立方寸C12.6 立方寸 D16.2 立方寸5已知直线 ax+y2=0 与圆 C：（x1） 2+（ya） 2=4 相交于 A，B 两点，且线段 AB 是圆 C 的所有弦中最长的一条弦，则实数 a=（ ）A2 B1 C1 或 2 D16表面积为 24 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）A12 B C D 7函数 y=Asin（x+） 的部分图象如图所示，则其在区间 上的单调递减区间是（ ）A 和 B 和C 和 D 和8某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）Aa=3 Ba=4 Ca=5 Da=69
3、已知 cos（ ）+sin= ，则 sin（+ ）的值是（ ）A B C D10已知函数 f（x）=x 2x2，x，在定义域内任取一点 x0，使 f（x 0）0 的概率是（ ）A B C D11已知直线 l 过椭圆 C： 的左焦点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点O 为坐标原点，若 OAOB，则点 O 到直线 AB 的距离为（ ）A B2 C D12已知函数 g（x）的导函数 g（x）=e x，且 g（0）g（1）=e， （其中 e 为自然对数的底数） 若 x （0，+） ，使得不等式 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，1） B （，3） C （3，+） D （，4e）二、填空题：
4、本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13函数 的值域是 14已知实数 x，y 满足 ，则 z=2x3y 的最小值为 15在ABC 中，BC=2，B=60，若ABC 的面积等于 ，则 AC 边长为 16已知函数 f（x）= 的图象上存在不同的两点 A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17等比数列a n的各项均为正数，且 （1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列 的前 n 项和 Tn18如图，在直三棱柱 ABC
5、A 1B1C1中，AB=BC=BB 1，AB 1A 1B=E，D 为 AC 上的点，B 1C平面 A1BD；（）求证：BD平面 A1ACC1；（）若 AB=1，且 ACAD=1，求三棱锥 ABCB 1的体积19某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示） 由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的22在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的参数方程为 ， （t 为参数） ，曲线 C 的普通方程为 x24x+y 22y=0，点 P 的极坐
6、标为（2 ， ） （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的极坐标方程；（2）若将直线 l 向右平移 2 个单位得到直线 l，设 l与 C 相交于 A，B 两点，求PAB的面积23设 f（x）=|xb|+|x+b|（1）当 b=1 时，求 f（x）x+2 的解集；（2）当 x=1 时，若不等式 f（x） 对任意实数 a0 恒成立，求实数 b 的取值范围2017 年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1若集合 A=xN|x2，B=x|3xx 20，则 AB 为（ ）
7、Ax|0x2 B1，2 Cx|0x2 D0，1，2【考点】1E：交集及其运算【分析】列举出集合 A 中的元素确定出 A，求出 B 的解集，找出两集合的交集即可【解答】解：集合 A=xN|x2=0，1，2，B=x|3xx 20=x|0x3，AB=0，1，2故选：D2复数 z=cos +isin 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用三角函数求值、几何意义即可得出【解答】解：由题意可知，z=cos +isin = + i，对应的点 在第二象限故选：B3已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 =（ ）A B61
8、C D7【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】可求出 ，进而求出 ，从而可求出 的值，这样即可得出的值【解答】解： ，且 ； ； =25+20+16=61； 故选 A4我国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸） ，若 取 3，且图中的 x 为 1.6（寸） 则其体积为（ ）A0.4+11.4 立方寸 B13.8 立方寸C12.6 立方寸 D16.2 立方寸【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，即可求出体积【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意
9、得：其体积为（5.4x）31+（ ） 21.6=12.6 立方寸，故选：C5已知直线 ax+y2=0 与圆 C：（x1） 2+（ya） 2=4 相交于 A，B 两点，且线段 AB 是圆 C 的所有弦中最长的一条弦，则实数 a=（ ）A2 B1 C1 或 2 D1【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】由题意，AB 为直径，圆心代入直线方程，即可得出结论【解答】解：圆 C：（x1） 2+（ya） 2=4 的圆心坐标为（1，a） ，半径 r=2，由题意，AB 为直径，则 a+a2=0，a=1故选 D6表面积为 24 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）A12 B C D 【考点】LG
10、：球的体积和表面积【分析】由正方体的表面积为 24，得到正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的体积即可【解答】解：表面积为 24 的正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2 ，就是球的直径，球的体积为：S= （ ） 3=4 故选：C7函数 y=Asin（x+） 的部分图象如图所示，则其在区间 上的单调递减区间是（ ）A 和 B 和C 和 D 和【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数 y=Asin（x+）的图象可得 A=2， T= （ ）= ，由 T=，可解得 =2；再由“ 五点作图法”解得：= ，从而可得 y=2sin（2x ）
11、 ，利用正弦函数的单调性，解不等式 2k+ 2x 2k+ （kZ）后，再对 k 赋值 0 与 1，即可求得函数 y=2sin（2x ）在区间 上的单调递减区间【解答】解：由函数 y=Asin（x+） 的部分图象可知，A=2， T= （ ）= ，故 T= ，解得 =2；由“五点作图法”得：2 += ，解得：= 所以，y=2sin（2x ） 由 2k+ 2x 2k+ （kZ）得：k+ xk+ （kZ ） 当 k=0 时， x ；当 k=1 时， x ；综上所述，函数 y=2sin（2x ）在区间 上的单调递减区间是 ， 和 ， 故选：B8某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）Aa
12、=3 Ba=4 Ca=5 Da=6【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当 S= ，k=4 时，由题意此时满足条件 4a，退出循环，输出 S 的值为 ，结合选项即可得解【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，k=1不满足条件 ka，S= ，k=2不满足条件 ka，S= ，k=3不满足条件 ka，S= ，k=4由题意，此时满足条件 4a，退出循环，输出 S 的值为 ，故选：A9已知 cos（ ）+sin= ，则 sin（+ ）的值是（ ）A B C D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数【分析】利用两角和的正弦公式、诱导公式求得 sin（+ ）的值【解答】
13、解：cos（ ）+sin= cos+ sin= sin（+ ）= ，sin（+ ）= ，则 sin（+ ）=sin（ + ）= ，故选：B10已知函数 f（x）=x 2x2，x，在定义域内任取一点 x0，使 f（x 0）0 的概率是（ ）A B C D【考点】CF：几何概型【分析】先解不等式 f（x 0）0，得能使事件 f（x 0）0 发生的 x0的取值长度为 3，再由x0的可能取值，长度为定义域长度 6，得事件 f（x 0）0 发生的概率【解答】解：f（x 0）0，x 02x 020，1x 02，即 x0，在定义域内任取一点 x0，x 0，使 f（x 0）0 的概率 P= = 故选：C11已
14、知直线 l 过椭圆 C： 的左焦点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点O 为坐标原点，若 OAOB，则点 O 到直线 AB 的距离为（ ）A B2 C D【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】讨论直线 l 的斜率，联立方程组消元，利用根与系数的关系，令 kOAkOB=1 解出k，得出直线 l 的方程，从而求得点 O 到直线 l 的距离【解答】解：F（1，0） ，若直线 l 无斜率，直线 l 方程为 x=1，此时 A（1， ） ，B（1， ） ，k OA= ， kOB= ，k OAkOB= 不符合题意若直线 l 有斜率，设直线 l 的方程为 y=k（x+1） ，联立方程组 ，消元得：（1+2k 2
15、）x 2+4k2x+2k22=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1x2= ，x 1+x2= ，y 1y2=k2（x 1+1） （x 2+1）= +k2= ，k OAkOB= = =1，解得 k= 直线 l 的方程为 xy+ =0 或 x+y+ =0，O 到直线 l 的距离 d= = 故选 A12已知函数 g（x）的导函数 g（x）=e x，且 g（0）g（1）=e， （其中 e 为自然对数的底数） 若 x （0，+） ，使得不等式 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，1） B （，3） C （3，+） D （，4e）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分
16、析】由 g（x）=e x，可设 g（x）=e x+c，再由 g（0）g（1）=e 可得 g（x）成立，分离出参数 m 后可得 mxe x +3，令 h（x）=xe x +3，则问题可转化为：mh（x） max，利用导数可求得 h（x） max【解答】解：函数 g（x）的导函数 g（x）=e x，g（x）=e x+c，又g（0）g（1）=e，（1+c）e=ec=0，g（x）=e x，x （0，+ ） ，使得不等式 g（x） 成立，x （0，+ ） ，使得 mxe x +3 成立，令 h（x）=xe x +3，则问题可转化为：mh（x） max，对于 h（x）=xe x +3，x（0，+） ，由于
17、 h（x）=1e x（ + ） ，当 x（0，+）时，e x1， + 2 = ，e x（ + ）1，h（x）0，从而 h（x）在（0，+）上为减函数，h（x）h（0）=3，m3；故选：B二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13函数 的值域是 ，其中点分别为 1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为 0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为 10.16+30.2+50.28+70.24+90.08+110.04=5（3）由（2）可知空白栏中填 5由题意可知， ， ，根据公式，可求得 ， ，所以所求的回归直线方程为 y=1.2x+0.
18、220已知点 F 是拋物线 C：y 2=2px（p0）的焦点，若点 M（x 0，1）在 C 上，且|MF|= （1）求 p 的值；（2）若直线 l 经过点 Q（3，1）且与 C 交于 A，B（异于 M）两点，证明：直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为常数【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】 （1）抛物线定义知|MF|=x 0+ ，则 x0+ = ，求得 x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p= ；（2）由（1）得 M（1，1） ，拋物线 C：y 2=2x，当直线 l 经过点 Q（3，1）且垂直于 x 轴时，直线 AM 的斜率 kAM= ，直线 BM 的斜率kBM= ，k AMkBM= =
19、 当直线 l 不垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为y+1=k（x3） ，代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得 kAMkBM= = ，即可证明直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为常数 【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x 0+ ，则 x0+ = ，解得 x0=2p，又点 M（x 0，1）在 C 上，代入 y2=2px，整理得 2px0=1，解得 x0=1，p= ，p 的值 ；（2）证明：由（1）得 M（1，1） ，拋物线 C：y 2=x，当直线 l 经过点 Q（3，1）且垂直于 x 轴时，此时 A（3， ） ，B（3， ） ，则直线 AM 的斜率 kAM= ，直线 BM 的斜率
20、kBM= ，k AMkBM= = 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则直线 AM 的斜率 kAM= = = ，同理直线 BM 的斜率 kBM= ，kAMkBM= = ，设直线 l 的斜率为 k（k0） ，且经过Q（3，1） ，则直线 l 的方程为 y+1=k（x3） ，联立方程 ，消 x 得，ky 2y3k1=0，y 1+y2= ，y 1y2= =3 ，故 kAMkBM= = = ，综上，直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为 21已知 t0，设函数 f（x）=x 3 x2+3tx+1（x）=xe xm+2（1）当 m=2 时，求 （x）的极值
21、点；（2）讨论 f（x）在区间（0，2）上的单调性；（3）f（x）（x）对任意 x+1 对任意 x+1 对任意 x22在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的参数方程为 ， （t 为参数） ，曲线 C 的普通方程为 x24x+y 22y=0，点 P 的极坐标为（2 ， ） （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的极坐标方程；（2）若将直线 l 向右平移 2 个单位得到直线 l，设 l与 C 相交于 A，B 两点，求PAB的面积【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】 （1）根据直线 l 的参数方程，消参可得直线
22、l 的普通方程，根据曲线 C 的普通方程，将 x=cos，y=sin，代入化简，可得曲线 C 的极坐标方程；（2）由题意得 l的普通方程为 y=x，所以其极坐标方程为 = ，联立 C 的极坐标方程，可得弦长，求出弦心距，可得三角形面积【解答】解：（1）根据题意，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数）的普通方程为xy+2=0，曲线 C 的普通方程为 x24x+y 22y=0，极坐标方程为 =4cos+2sin（R）（2）将直线 l 向右平移 2 个单位得到直线 l，则 l的普通方程为 y=x，所以其极坐标方程为 = ，代入 =4cos+2sin 得：=3 ，故|AB|=3 ，因为 OPl，所
23、以点 P 到直线 l的距离为 2 ，所以PAB 的面积 S= 3 2 =623设 f（x）=|xb|+|x+b|（1）当 b=1 时，求 f（x）x+2 的解集；（2）当 x=1 时，若不等式 f（x） 对任意实数 a0 恒成立，求实数 b 的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题【分析】 （1）运用绝对值的含义，对 x 讨论，分 x1，1x1，x1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为 3，再由不等式恒成立思想可得 f（b）3，再由去绝对值的方法，即可解得 b 的范围【解答】解：（1）当 b=1 时，f（x）=|x1|+|x+1|，由 f（x）x+2 得：或 或 ，即有 1x2 或 0x1 或 x，解得 0x2，所以 f（x）x+2 的解集为； （2） =|1+ |2 |1+ +2 |=3，当且仅当（1+ ） （2 ）0 时，取等号由不等式 f（x） 对任意实数 a0 恒成立，由于 x=1，可得|1b|+|1+b|3，即 或 或 ，解得： 或 故实数 b 的取值范围是 2017 年 5 月 23 日
