1、二次函数 50 题一 、选择题：1.若二次函数 y=(m1)x 2-mxm 2-2m-3 的图象经过原点，则 m 的值必为( )A.-1 或 3 B.-1 C.3 D.-3 或 12.若 为二次函数 的图象上的三点，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D.3.如图，抛物线 y=x 2+2x+m+1 交 x 轴于点 A（a，0）和 B（b，0） ，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D，下列三个判断中，当 x0 时，y0；若 a=1，则 b=4；抛物线上有两点 P（x 1，y 1）和 Q（x 2，y 2） ，若x11x 2，且 x1+x22，则 y1y 2；正确的是（ ）A B C D都不对
2、4.已知一条抛物线经过 E（0,10）,F（2,2）,G（4,2）,H（3,1）四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）A.E，F B.E，G C.E，H D.F，G5.已知二次函数 y=ax2-1 的图象开口向下，则直线 y=ax-1 经过的象限是( )A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限6.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n 2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5 月 B.6 月 C.7 月 D.8 月7
3、.已知抛物线 y= x2x，它与 x 轴的两个交点间的距离为（ ）A0 B1 C2 D48.一次函数 y=ax+b（a0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D9.二次函数 y=x2+2x-7 的函数值是 8，那么对应的 x 的值是( )A.5 B.3 C.3 或-5 D.-3 或 510.抛物线y=3x 2向下平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位,得到的抛物线解析式为（ ）A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)23 D.y=3(x-2)2311.已知二次函数 y=x2+2x3,当自变量 x 取
4、m 时,对应的函数值小于 0,设自变量分别取 m4，m+4 时对应的函数值为 y1，y 2，则下列判断正确的是（ ）A.y10，y 20 B.y10，y 20 C.y10，y 20 D.y10，y 2012.把抛物线 y=(x+1)2向下平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=x2+2 D.y=x2-213.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=n 2+14n24，则该企业一年中应停产的月份是（ ）A.1 月、2 月、3
5、月 B.2 月、3 月、4 月 C.1 月、2 月、12 月 D.1 月、11 月、12 月 14.二次函数 y=-x2+bx+c 的图象如图所示:若点 A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且 x1y215.二次函数 y=x24x+5 的最小值是( )A.1 B.1 C.3 D.516.在平面直角坐标系中,二次函数 y=x2+2x3 的图象如图所示,点 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点,其中3x 1x 20,则下列结论正确的是（ ）A.y1y 2 B.y1y 2 C.y 的最小值是3 D.y 的最小值是417.二次函数 y=ax2bxc(a，b，
6、c 为常数，且 a0)中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x 1 0 1 3y 1 3 5 3下列结论：ac0；当 x1 时，y 的值随 x 的增大而减小；3 是方程 ax2(b-1)x+c=0 的一个根；当-1x3 时，ax 2(b-1)xc0.其中正确的个数为( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个18.如图,直线 y=0.5x+2 与 y 轴交于点 A,与直线 y=0.5x 交于点 B，以 AB 为边向右作菱形 ABCD，点 C 恰与原点 O 重合，抛物线 y=(xh) 2+k 的顶点在直线 y=-0.5x 上移动.若抛物线与菱形的边 AB、BC 都有公共点,则 h 的取值范围是（
7、 ）A.2h0.5 B.2h1 C.1h1.5 D.1h0.519.下列函数是二次函数的是( )A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y=0.5x-220.抛物线 y=3x2向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得到抛物线是（ ）A.y=3(x1) 22 B.y=3(x+1)22 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x1) 2+2二 、填空题：21.已知点(2,5),(4,5)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两点, 则这条抛物线的对称轴是 22.二次函数 y=x2-3x+2 的图像与 x 轴的交点坐标是 ,与 y 轴的交点坐标为 23.对于二次函数 ，有
8、下列说法：如果当 x1 时 随 的增大而减小，则 m1；如果它的图象与 x 轴的两交点的距离是 4，则 ；如果将它的图象向左平移 3 个单位后的函数的最小值是-4，则 m=1；如果当 x=1 时的函数值与 x=2013 时的函数值相等，则当 x=2014 时的函数值为3其中正确的说法是 24.如 图 ,坐 标 平 面 上 ,二 次 函 数 y=-x2+4x-k 的 图 形 与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 ,与 y 轴 交 于 C 点 ,其顶 点 为 D,且 k0.若 ABC 与 ABD 的 面 积 比 为 1:4,则 k 值 为 何 ？ 25.如图，在 Rt ABC 中， C=90， A
9、B= 5， AC= 4，则 cosA= ABC26.抛物线 y=2（x3） 2+3 的顶点在 象限27.某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20x30，且 x 为整数）出售，可卖出（30x）件若使利润最大，每件的售价应为 元28.如图,点 A 是抛物线 y=x24x 对称轴上的一点,连接 OA,以 A 为旋转中心将 AO 逆时针旋转 90得到 AO,当O恰好落在抛物线上时,点 A 的坐标为 29.如图，AC 是O 的直径，点 B 在O 上，ACB=30，按以下步骤作图：以点 B 为圆心，小于 AB 的长为半径画弧，分别交 AB、BC 于点 M、N； 分别以点
10、M、N 为圆心，大于 0.5MN 的长为半径画弧，两弧相交于点 G；连结 BG 交 AC 边于点 E，交O 于点 D，连接 CD.则ABE 与CDE 的面积之比为 30.将一条长为 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 231.如图，二次函数 y1ax 2bxc(a0)与一次函数 y2kxm(k0)的图象相交于点 A(2，4)，B(8，2)，则使 y1y 2成立的 x 的取值范围是_ _32.如图,抛物线 y=2x 2+8x6 与 x 轴交于点 A,B,把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1向右平移得C2，C
11、2与 x 轴交于点 B，D，若直线 y=x+m 与 C1，C 2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 33.如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a0）相交于 A（0.5，2.5）和 B（4，m） ，点 P 是线段 AB 上异于A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C当PAC 为直角三角形时, 点 P 的坐标是_34.如图,已知函数y= 与y=ax 2+bx（a0，b0）的图象交于点P,点P的纵坐标为 1.则关于x的方程ax2+bx+ =0 的解为 35.二次函数 y=2（x3） 24 的最小值为 36.如图，二次函数 y=ax2+bx+c（
12、a0）的图象与 x 轴正半轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，对称轴为直线 x=2，且 OA=OC，则下列结论：abc0；9a+3b+c0；c1；关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）有一个根为 -a -1.其中正确的结论个数有 （填序号）37.已知二次函数 y=x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程x 2+2x+m=0 的解为 38.如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子
13、的最低点距地面的距离为 米. 39.若抛物线y 1=a1x2+b1x+c1与y 2=a2x2+b2x+c2满足 =k（k0,1）,则称y 1，y 2互为“相关抛物线”.给出如下结论：y 1与y 2的开口方向，开口大小不一定相同；y 1与y 2的对称轴相同；若y 2的最值为m，则y 1的最值为k 2m；若y 2与x轴的两交点间距离为d，则y 1与x轴的两交点间距离也为d其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）40.如图，是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线 x=1，若其与 x 轴一交点为 A（3，0） ，则由图象可知，不等式 ax2+bx+c0 的解
14、集是 三 、解答题：41.已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，2）和（1，1） ，求图象的顶点坐标和对称轴42.一元二次方程 x2+2x-3=0 的二根 x1,x2(x1 x2)是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点 B,C 的横坐标，且此抛物线过点 A(3,6)（1）求此二次函数的解析式（2）用配方法求此抛物线的顶点为 P 对称轴（3）当 x 取什么值时，y 随 x 增大而减小？43.某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为 AB（单位：米）,现以 AB 所在直线为 x 轴,以抛物线的对称轴为 y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 O.已知 AB=8 米,
15、设抛物线解析式为 y=ax2-4.（1）求 a 的值；（2）点 C（-1，m）是抛物线上一点，点 C 关于原点 O 的对称点为点 D，连接 CD,BC,BD，求BCD 的面积.44.某公司销售 A，B 两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息 1：销售 A 种产品所获利润 y：（万元）与销售产品 x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：信息 2：销售 B 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系 y2=0.3x根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，求销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大是多少万元
16、45.已知抛物线 y=x22x+1（1）求它的对称轴和顶点坐标；（2）根据图象，确定当 x2 时，y 的取值范围46. 某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元） ，设每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数） ，每个月的销售利润为 y 元.(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?47.如图，二次函数y=x 2+bx+c图象（抛物线）与x轴交于A（1,0）,且当x=0 和x=2 时
17、所对应函数值相等（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果MBC的面积最大，求此时点M的坐标及MBC的面积48.如图,已知二次函数的图象经过点A（6,0）、B（2,0）和点C（0,8）（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当KCM的周长最小时，点K的坐标为 ；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒 3 个单位长度的速度沿折线OAC按OAC的路
18、线运动，点Q以每秒 8 个单位长度的速度沿折线OCA按OCA的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，OPQ的面积为S请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQOC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；设S 0是中函数S的最大值，直接写出S 0的值49.如图，直线 y=0.5x2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=ax2+bx2 经过 A，B，C，点 B 坐标为（1，0） （1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 是线段 AC 上一个动点，DEAC，交直线 AC 下方的抛物线
19、于点 E，EGx 轴于点 G，交 AC 于点 F，请求出 DF 长的最大值；（3）设抛物线对称轴与 x 轴相交于点 H，点 P 是射线 CH 上的一个动点，当ABP 是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标50.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（m，m）,点B的坐标为（n，-n）,抛物线经过A、O、B三点,连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n（mn）分别是方程x 2-2x-3=0 的两根.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连结OD、BD. 当OPC为等腰三角形时，求点P的坐
20、标； 求BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标.参考答案1.C2.D3.C4.C5.D6.C7.C8.C9.C10.C11.D12.D13.C14.B15.B16.D17.B18.A19.C20.A21.答案为：(0,6) ； (2,0),(3,0)22.答案为：（1,0） ， （2,0） 、 （0,2） ，23.答案为：24.答案为：0.825.答案为：0.826.答案为：第一27.答案为：2528.答案为：（2，1）或（2，2） 29.答案为 0.530.答案为:12.5; 31.答案为：x2 或 x832.解：令 y=2x 2+8x6=0，即 x24x+3=0，解得 x=1 或 3，
21、则点 A（1，0），B（3，0），由于将 C1向右平移 2 个长度单位得 C2，则 C2解析式为 y=2（x4） 2+2（3x5），当 y=x+m1与 C2相切时，令 y=x+m1=y=2（x4） 2+2，即 2x215x+30+m 1=0，=8m 115=0，解得 m1= ，当 y=x+m2过点 B 时，即 0=3+m2，m 2=3，当3m 时直线 y=x+m 与 C1、C 2共有 3 个不同的交点，故答案是： 3m 33.答案为：（3，5）或（3.5，5.5）33.答案为：x=334.答案为：435.答案为： ；36.答案为：x 1=4，x 2=237.答案为:0.538.答案为：39.答
22、案为：-1x340.解：把点（0，2）和（1，1）代入 y=x2+bx+c 得 ，解这个方程组得 ，所以所求二次函数的解析式是 y=x24x+2；因为 y=x24x+2=（x2） 22，所以顶点坐标是（2，2） ，对称轴是直线 x=2y=0.5(x+1)2 -2 它的顶点坐标为（-1，-2）对称轴为 直线 x=-1.当 y=0 时，即 0.5(x+3)(x-1)=0 解得 x1=-3，x 2=1.x-3 时当 x 取什么值时， y 随 x 增大而减小.41.解：（1） ,由抛物线的对称性可知, （4,0）. 016a-4. a.（2）如图所示，过点 C 作于点 E，过点 D 作于点 F. a=
23、, -4.当-1 时，m=-4=-, C（-1,-）. 点 C 关于原点 O 的对称点为点 D， D（1,）. .BCD 的面积为 15 平方米.42.解：（1）根据题意，设销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函数关系式为 y=ax2+bx，将（1，1.4）、（3，3.6）代入解析式，得：a+b=1.4,9a+3b=3.6，解得：a=-0.1,b=1.5，销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函数关系式为 y=0.1x 2+1.5x；（2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（10m）吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和为 W 元，则W=0.1m 2+1.
24、5m+0.3（10m）=0.1m 2+1.2m+3=0.1（m6） 2+6.6，0.10，当 m=6 时，W 取得最大值，最大值为 6.6 万元，答：购进 A 产品 6 吨，购进 B 产品 4 吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是 6.6 万元44.【解答】解：（1）y=x 22x+1=（x1） 2，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1，0） ；（2）抛物线图象如下图所示：由图象可知当 x2 时，y 的取值范围是 y145.解答：解：（1）y=（3020+x） （18010x）=10x 2+80x+1800（0x5，且 x 为整数） ；（2）当 x= 时，y 最大 =196
25、0 元；每件商品的售价为 34 元答：每件商品的售价为 34 元时，商品的利润最大，为 1960 元；（3） ）1920=10x 2+80x+1800 ， x 28x+12=0， 即 （x2） （x6）=0，解得 x=2 或 x=6， 0x5， x=2，售价为 32 元时，利润为 1920 元46.【解答】解：（1）当 x=0 和 x=2 时所对应的函数值相等，抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0） ，抛物线解析式为 y=（x+3） （x1） ，即 y=x 22x+3；（2 存在连结 BC 交直线 x=1 于点 D，则 DB=DA，DC+DA=DC+DB=B
26、C，此时 DA+DC 最小，ADC 的周长最小，当 x=0 时，y=x 22x+3=3，则 C（0，3） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+m，把 B（3，0） ，C（0，3）代入得 ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y=x+3，当 x=1 时，y=x+3=2，D 点坐标为（1，2） ；（3）作 MNy 轴交 BC 于 N，如图，设 M（t，t 22t+3） （3x0） ，则 N（t，t+3） ，SBCM =SMNB +SNMC = 3MN= （t 22t+3t3）= t2 t= （t+ ） 2+ ，当 t= 时，MBC 的面积的最大值为 ，此时 M 点坐标为（ ， ） 47.解：（1）设
27、二次函数的解析式为 y=a（x+2）（x6） 图象过点（0，8）a=二次函数的解析式为 y= x2 x8；（2）y= x2 x8= （x 24x+44）8= （x2） 2 点 M 的坐标为（2， ）点 C 的坐标为（0，8），点 C 关于 x 轴对称的点 C的坐标为（0，8）直线 CM 的解析式为：y= x+8 令 y=0 得 x+8=0 解得：x= 点 K 的坐标为（ ，0）；（3）不存在 PQOC，若 PQOC，则点 P，Q 分别在线段 OA，CA 上，此时，1t2PQOC，APQAOC AP=63tAQ=188t，t= t= 2 不满足 1t2；不存在 PQOC；分情况讨论如下，情况 1
28、：0t1S= OPOQ= 3t8t=12t2；情况 2：1t2 作 QEOA，垂足为 E，S= OPEQ= 3t = +情况 3：2t 作 OFAC,垂足为 F,则 OF= S= QPOF= (24-11t) =- + ；当 0t1 时，S=12t 2，函数的最大值是 12；当 1t2 时，S= + ，函数的最大值是 ；当 2t ，S= QPOF= + ，函数的最大值为 ；S 0的值为 49.50.解（1）解方程 ，得 ， . ， ， A（-1，-1），B（3，-3） .抛物线过原点，设抛物线的解析式为 . 解得 ， .抛物线的解析式为 .（2）设直线 AB 的解析式为 . 解得 ， . 直线
29、 AB 的解析式为 .C 点坐标为（0， ）.直线 OB 过点 O（0，0），B（3，-3），直线 OB 的解析式为 . OPC 为等腰三角形，OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC.设 ， ，（i）当 OC=OP 时, .解得 ， （舍去）. P （ , ）.（ii）当 OP=PC 时，点 P 在线段 OC 的中垂线上， ( , .（iii）当 OC=PC 时，由 ，解得 ， （舍去）. P ( .P 点坐标为 P1（ , ）或 ( , 或 P ( .过点 D 作 DGx 轴，垂足为 G，交 OB 于 Q，过 B 作 BHx 轴，垂足为 H.设 Q（ ， ），D( ， ).= = ，0 3，当 时，S 取得最大值为 ，此时 D（ ， .
