1、例题分析：几何证明选讲例 1 如图，在 ABC 中， BAC90， E 为 AC 中点， AD BC 于 D， DE 交 BA 的延长线于 F求证： BF DF AB AC【分析】欲证 AFDCB，虽然四条线段可分配于 ABC 和 DFB 中，由于 ABC 和FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证 Rt BACRt BDA，得出 ACBD，于是只需证出 ADBF，进而须证 DFB AFD 即可证明： AB AC， AD BC，Rt ABDRt CAD， DAC B， ADC又 AD BC， E 为 AC 中点，
2、DE AE， DAE ADE， B ADE，又 F F， FAD FDB， F，由得 DACB【说明】由于 ABC 和 FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要例 2 ABC 中， A60， BD， CE 是两条高，求证： BCDE21【分析】欲证 BCDE21，只须证 21E由已知易得 ，于是只须证
3、明 ,AB进而想到证明 ADE ABC，这可以由 C证得证明： A60， BD， CE 是两条高， ABD ACE30 BD21， CE21， 21AEBD，又 A A ADE ABC， .【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理例 3 已知：如图， ABC 中， AD BC 于 D， CE AB 于 E， AD、 EC 交于 F，求证BDFAC【分析】 CD、 FD 在 FDC 中， AD、 BD 在 BDA 中，所以证 FDC 与 BDA 相似便可以得到结论证明： AD BC 于 D， CE AB 于 E， ADC ADB90， B
4、AD B90， BCE B90， BAD BCE， FDC BDA， FAC【说明】为什么找到 FDC 与 BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD、 AD 在 ADC 中，但线段 FD、 BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”， CD、 FD 在FDC， AD、 BD 在 BDA 中，所以证 FDC 与 BDA 相似便可以得到结论小结为“横瞧竖看分配相似三角形”例 4 如图，平行四边形 ABCD， DE AB 于 E， DF BC 于 F，求证： ABDE BCDF【分析】化求证的等积式为比例式： DEFBCA，又因为 CD AB， AD BC，即证明比例式 DEFAC证明：平
5、行四边形 ABCD， C A， DE AB 于 E， DF BC 于 F， AED DFC90， CFD AED， DEF CD AB， AD BC， DEBC即 ABDE BCDF【说明】 FA，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段： CD AB， AD BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式： DEFAC，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中例 5 AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， BAC60， P 是 OB 上一点，过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，连结 OC，过点 C 作 CD OC 交 PQ 于点 D(1)求证： C
6、DQ 是等腰三角形；(2)如果 CDQ COB，求 BP PO 的值【分析】证明 CDQ 是等腰三角形，只需证明 DCQ Q，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为 1，简化计算(1)证明：由已知得 ACB90， ABC30， Q30， BCO ABC30 CD OC， DCQ BCO30， DCQ Q， CDQ 是等腰三角形(2)解：设 O 的半径为 1，则 AB2， OC1，.3,21BCA等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等， CQ BC 3 31Q， ,21AQP ABP231O1， :【说明】利用好相似三角
7、形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧例 6 ABC 内接于圆 O， BAC 的平分线交 O 于 D 点，交 O 的切线 BE 于 F，连结BD， CD 求证：(1) BD 平分 CBE；(2) ABBF AFDC【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出由条件及(1)的结论，可知BD CD，因此欲求 ABBF AFDC，可求 BFDA，因此只须求 ABF BDF 即可证明：(1) CAD BAD FBD， CAD CBD， CBD FBD， BD 平分 CBE(2)在 DBF 与 BAF 中， FBD FAB， F F， ABF BDF， BFDA， ABBF BDAF又
8、BD CD， ABBF CDAF例 7 O 以等腰三角形 ABC 一腰 AB 为直径，它交另一腰 AC 于 E，交 BC 于 D求证：BC2 DE【分析】由等腰三角形的性质可得 B C，由圆内接四边形性质可得 B DEC，所以 C DEC，所以 DE CD，连结 AD，可得 AD BC，利用等腰三角形“三线合一”性质得 BC2 CD，即 BC2 DE证明：连结 AD AB 是 O 直径 AD BC AB AC BC2 CD， B C O 内接四边形 ABDE B DEC(四点共圆的一个内角等于对角的外角) C DEC DE DC BC2 DE例 8 O 内两弦 AB， CD 的延长线相交于圆外一点 E，由 E 引 AD 的平行线与直线 BC交于 F，作切线 FG， G 为切点，求证： EF FG【分析】由于 FG 切圆 O 于 G，则有 FG2 FBFC，因此，只要证明 FE2 FBFC 成立即可证明：在 BFE 与 EFC 中有 BEF A C，又 BFE EFC， BFE EFC， FECB， FE2 FBFC又 FG2 FBFC， FE2 FG2， FE FG
