1、实际问题与一元一次方程列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。 一列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的
2、未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案二. 分类知能点与题目知能点 1：市场经济、打折销售问题（1）商品利润商品售价商品成本价（2）商品利润率 价100%（3）商品销售额商品销售价商品销售量（4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售例 1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60 元一双，八折出售后商家获利润率为 40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？分析通过列表分析已知条件，找到等量关系式进价 折扣率 标价 优惠价 利润率60 元 8
3、 折 X 元 80%X 40%等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价 解：设标价是 X 元， ,1046%8解之：x=105优惠价为 ),(510元x例 2. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？分析探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元进价 折扣率 标价 优惠价 利润X 元 8 折 （1+40%）X 元 80%（1+40%）X 15 元等量关系：（利润=折扣后价格进价）折扣后价格进价=15解：设进价为 X 元，80%X（1+40%）X=15，X=125答：进价是 125 元。1一种商品进价为 5
4、0 元，为赚取 20%的利润，该商品的标价为_元60 （点拨：设标价为 x 元，则 x-50=5020%）2某商品的标价为 220 元，九折卖出后盈利 10%，则该商品的进价为_元180 （点拨：设商品的进价为 x 元，则 22090%-x=10%x）3某种商品若按标价的 8 折出售可获利 20%，若按原标价出售，则可获利（ ）A25% B40% C50% D1C （点拨：设标价为 x 元，进价为 a 元，则 80%x-a=20%a，得 x= 32a按原标价出售可获利32100%=50%）4两件商品都卖 84 元，其中一件亏本 20%，另一件赢利 40%，则两件商品卖后（ ）A赢利 16.8
5、元 B亏本 3 元 C赢利 3 元 D不赢不亏C （点拨：设进价分别为 a 元，b 元，则 a-84=20%a，得 a=10584-b=40%b，得 b=60 842-（a+b）=3，故赢利 3 元）5.一家商店将一种自行车按进价提高 45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利 50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是 x 元，那么所列方程为（ ）A.45%（1+80%）x-x=50 B. 80%（1+45%）x - x = 50C. x-80%（1+45%）x = 50 D.80%（1-45%）x - x = 506.某商品的进货价为每件 x 元，零售价为每件 9
6、00 元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利 40 元销售，仍可获利 10%，则 x 为（ ）A、700 元 B、约 733 元 C、约 736 元 D、约 856 元7某商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于 5%，则至多打几折解：设至多打 x 折，根据题意有 1208x100%=5% 解得 x=0.7=70%答：至多打 7 折出售8一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高 40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的 10 倍处以每台 2700 元的罚款，求每台彩电的原售价解
7、：设每台彩电的原售价为 x 元，根据题意，有 10x（1+40%）80%-x=2700，x=2250答：每台彩电的原售价为 2250 元9、某商品进价是 1000 元，标价为 1500 元，商品要求以利润率不低于 5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？知能点 2： 方案选择问题10某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元，经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元，经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工 16 吨，如果进行精加工，每天可加工 6 吨，但
8、两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成你认为哪种方案获利最多？为什么？解：方案一：获利 1404500=630000（元）方案二：获利 1567500+（140-156）1000=725000（元）方案三：设精加工 x 吨，则粗加工（140-x）吨依题意得 1406=15 解得 x=60获利 607500+（140-60）4500=8100
9、00（元）因为第三种获利最多，所以应选择方案三11某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴 50元月基础费，然后每通话 1 分钟，再付电话费 0.2 元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1分钟需付话费 0.4 元（这里均指市内电话）若一个月内通话 x 分钟，两种通话方式的费用分别为 y1元和 y2元（1）写出 y1，y 2与 x 之间的函数关系式（即等式）（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费 120 元，则应选择哪一种通话方式较合算？解：（1）y 1=0.2x+50，y 2=0.4x（2）由 y1=y2得 0.2x+50=0.4x
10、，解得 x=250即当一个月内通话 250 分钟时，两种通话方式的费用相同（3）由 0.2x+50=120，解得 x=350由 0.4x+50=120，得 x=300因为 350300故第一种通话方式比较合算12某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦时，则超过部分按基本电价的 70%收费（1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a（2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）0.4070%=30.72 解得 a=60（2）设九月份共用电 x
11、千瓦时，则 0.4060+（x-60）0.4070%=0.36x 解得 x=90所以 0.3690=32.40（元）答：九月份共用电 90 千瓦时，应交电费 32.40 元13某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机已知该厂家生产 3种不同型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元，B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案（2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元，销售一台 C 种电视机可获利 250 元，在
12、同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？解：按购 A，B 两种，B，C 两种，A，C 两种电视机这三种方案分别计算，设购 A 种电视机 x 台，则 B 种电视机 y 台（1）当选购 A，B 两种电视机时，B 种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2100（50-x）=90000 即 5x+7（50-x）=300 2x=50 x=2550-x=25当选购 A，C 两种电视机时，C 种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=3550-x=15当购 B，C 两种电视机时，C 种电视机
13、为（50-y）台可得方程 2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意由此可选择两种方案：一是购 A，B 两种电视机 25 台；二是购 A 种电视机 35 台，C 种电视机 15 台（2）若选择（1）中的方案，可获利 15025+25015=8750（元）若选择（1）中的方案，可获利 15035+25015=9000（元）90008750故为了获利最多，选择第二种方案14.小刚为书房买灯。现有两种灯可供选购，其中一种是 9 瓦的节能灯，售价为 49 元/盏，另一种是 40 瓦的白炽灯，售价为 18 元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿
14、命都可以达到 2800 小时。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时 0.5 元。（1）设照明时间是 x 小时，请用含 x 的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。（费用=灯的售价+电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏。 当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？ 试用特殊值判断：照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？ 照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这种灯中选购两盏。假定照明时间是 3000 小时，使用寿命都是 2800小时。请你设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。答案：0.005x+49 0.02x+18 2000 知能点 3 储蓄、储蓄利息问题（1
15、）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税（2）利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%）（3） %,10本 金每 个 期 数 内 的 利 息利 润例 3. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析等量关系：本息和=本金（1+利率）解：设半年期的实际利率为 X，依题意得方程 250（1+X）=252.7， 解得 X=0.0108所以年利率为 0.01082=0.0216 答：银
16、行的年利率是 21.6%例 4. 为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：（1）直接存入一个 6 年期；（2）先存入一个三年期，3 年后将本息和自动转存一个三年期；（3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？分析这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。解：（1）设存入一个 6 年的本金是 X 元,依题意得方程 X（1+62.88%）=20000，解一年 2.25三年 2.70六年 2.88得 X=17053（2）设存入两个三
17、年期开始的本金为 Y 元，Y（1+2.7%3）(1+2.7%3）=20000，X=17115（3）设存入一年期本金为 Z 元 ，Z（1+2.25%） 6=20000，Z=17894所以存入一个 6 年期的本金最少。15利息税的计算方法是：利息税=利息20%某储户按一年定期存款一笔，年利率2.25%，一年后取出时，扣除了利息税 90 元，据此分析，这笔存款的到期利息是_元，本金是_元，银行向储户支付的现金是_元450 20000 2036016小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券 4500 元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约 4700 元，问这种债券的年利率是多少（精确到 0.01%）解：
18、设这种债券的年利率是 x，根据题意有4500+45002x（1-20%）=4700， 解得 x=0.03答：这种债券的年利率为 0.0317为了准备小明三年后上高中的学费，他的父母准备现在拿出 3000 元参加教育储蓄，已知教育储蓄一年期利率为 1.98%，二年期利率为 2.25%，三年期利率为 2.52%，请你帮小明的父母计算一下如何储蓄三年后得到的利息最多解：利用公式分三种情况（一年期、二年期、三年期）进行计算，再进行比较即可获得答案一年期：设利息为 x 元，则 x=30001.98%1=59.4（元）二年期：设利息为 x 元，则 x=30002.25%2=135（元）三年期：设利息为 x
19、 元，则 x=30002.52%3=226.8（元）59.4 13526.8 三年期储蓄利息最多18（北京海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件 8 元，销售价是每件 10 元（销售价与进价的差价 2 元就是卖出一件商品所获得的利润）现为了扩大销售量，把每件的销售价降低 x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的 90%，则 x 应等于（ ）A1 B1.8 C2 D10C 点拨：根据题意列方程，得（10-8）90%=10（1-x%）-8，解得 x=2，故选 C19.某人按定期 2 年向银行储蓄 1500 元，假设每年利率为 3%（不计复利）到期支取时，扣除利息所得税（税率
20、为 20%）此人实得利息为（ ） A、1272 元 B、36 元 C、72 元 D、1572 元20.用若干元人民币购买了一种年利率为 10% 的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和 1320 元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？答案：22000 元 21.购买了 25000 元某公司 1 年期的债券，一年后扣除 20%的利息税之后得到本息和为26000 元，这种债券的年利率是多少？答案：百分之五知能点 4：工程问题工作量工作效率工作时间 工作效率工作量工作时间工作时间工作量工作效率 完成某项任务的各工作量的
21、和总工作量1例 5. 一件工作，甲独作 10 天完成，乙独作 8 天完成，两人合作几天完成？分析甲独作 10 天完成，说明的他的工作效率是 ,10乙的工作效率是 ,81等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间=1解：设合作 X 天完成, 依题意得方程 940)8(xx解 得 答：两人合作 940天完成 例 6. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由
22、题意得， 53623)5( xx解 之 得答：乙还需 36天才能完成全部工程。例 7. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 分析等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。 解：设打开丙管后 x 小时可注满水池， 由题意得， 1342019)2(816 x解 这 个 方 程 得 答：打开丙管后 1342小时可注满水池。 22.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4 小时，甲先
23、做30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？解：设甲、乙一起做还需 x 小时才能完成工作根据题意，得 16 2+（ + 14）x=1 解这个方程，得 x=15 =2 小时 12 分答：甲、乙一起做还需 2 小时 12 分才能完成工作23 某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个在这 16 名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元若此车间一共获利 1440 元，求这一天有几个工人加工甲种零件解：设这一天有 x 名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有 5
24、x 个，乙种零件有4（16-x）个 根据题意，得 165x+244（16-x）=1440 解得 x=6答：这一天有 6 名工人加工甲种零件24.一项工程甲单独做需要 10 天，乙需要 12 天，丙单独做需要 15 天，甲、丙先做 3 天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？设还需 310)3(1520152310 xxx 解 得或知能点 5：若干应用问题等量关系的规律（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量原有量增长率 现在
25、量原有量增长量25.某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的 3 倍，如果从第一个仓库中取出 20 吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的问每个仓库各有多少 粮食？设第二个仓库存粮 xx吨 ， 则 第 一 个 仓 库 存 粮 吨 ， 根 据 题 意 得 9033020)3(75 解 得（2）等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变圆柱体的体积公式V=底面积高Sh r2h长方体的体积V长宽高abc26.一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求
26、圆柱形水桶的高（精确到0.1 毫米， 3.14）解：设圆柱形水桶的高为 x 毫米，依题意，得 （ 20） 2x=30030080x229.3答：圆柱形水桶的高约为 229.3 毫米27.长方体甲的长、宽、高分别为 260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130130mm2，又知甲的体积是乙的体积的 2.5 倍，求乙的高？设乙的高为 xm,根 据 题 意 得 301305.231026 x解 得知能点 6：行程问题基本量之间的关系： 路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间（1）相遇问题 （2）追及问题 快行距慢行距原距 快行距慢行距原距（3）航行问题顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系例 6. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？
