1、二次函数及二次函数的图象知识精讲知识要点1. 一般地，形如 的函数叫作 x 的二次函数。)0ac,ba(xay2 是 常 数 ，2. 如图，二次函数 的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于 y 轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。 10 y x 2 2 -2 -4 4 4 6 8 O 3. 二次函数 的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于 y 轴对称，对称轴2xy与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，它的图象与 的图象关于 x 轴2x对称。4. 二次函数 的图象是一条抛物线，且关于 y 轴对称，当 a0 时，它的开口向2axy上，图象有最低点原点；当 a
2、0，b0，b0，c=0答案：D例 2. 在同一直角坐标系中，直线 y=ax+b 和抛物线 的图象只)0c(bxay2可能是图中的（ ）答案：C例 3. 在同一直角坐标系中，函数 的图象只可能是图中的axbyaxy22和（ ）答案：D例 4. 抛物线 的顶点在 y 轴上，则 m 的值为m3)12x(y_。答案： 21例 5. 按要求求出下列二次函数的解析式：（1）形状与 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是2x3y（0，3）的抛物线的解析式；（2）与抛物线 关于 x 轴对称的抛物线的解析式；512（3）对称轴是 y 轴，顶点的纵坐标是 ，且经过（1，1）点的抛物线的解析式。27解：（1）
3、3x12（2） 5y（3） 27x9例 6. 已知函数 1xy（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；（2）求抛物线与 x 轴、y 轴的交点；（3）观察图象：x 为何值时，y 随 x 的增大而增大；（4）观察图象：当 x 为何值时，y0 时，当 x 为何值时，y=0；当 x 为何值时，y02或当 时，y=02x当 时，y0 且 x0 时，y 总取负值B. 当 a0 且 x0 时，y 随 x 的增大而减小C. 当 a0 时，函数的图象有最低点，即 y 有最小值D. 当 x0 时， 的对称轴是 y 轴2a3. 直线 与抛物线 的交点坐标为（ ）1xy2xA. （0，0），（1，1） B
4、. （1，1）C. （0，1），（1，0） D. （0，2），（2，0）4. 已知 ，点 都在函数 的图象a ），） 、 （，） 、 （，（ 31 yayaa2xy上，则（ ）A. B. 321y 231C. D. 3y2y5. 函数 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）（和 函 数 0axyax2） y y y y x x x x O O O O A B C D 二、填空题1. 抛物线 的图象开口_，对称轴是_，顶点坐3x21y标为_，当 x=_时，y 有最_值为_。2. 当 m=_时，抛物线 开口向下，对称轴是3x)1m(2_，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而_，在对称轴右侧，y 随
5、x 的增大而_。3. 抛物线 相比，_的开口更小，也就是说明某函数值的223yx与增长速度较快一些。4. 若点 P（1，a）和 Q（1，b）都在抛物线 上，则线段 PQ 的长是1xy2_。5. 设 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，则21x、 2a2的最大值为_。)2x)(1三、解答题1. 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可售出 100 件。现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 1 元，其销售量就要减少 10 件，如果他每天所赚利润为 y 元，试求出 y 与售出价 x 之间的函数关系式。2. 已知抛物线 交于 A、B 两点，已
6、知 A 点的横坐标是 3，求3x2axy2与 直 线A、B 两点的坐标及抛物线的关系式。3. 某地解放大桥拱形钢梁呈抛物线状，拱顶 A 离桥面 50m，桥面上拱形钢梁之间距离 BC=120m，建立如图所示的直角坐标系。（1）写出 A、B、C 三点的坐标；（2）求该抛物线的解析式。4. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面 1：11000 的比例图上，跨度 AB=5cm，拱高 OC=0.9cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE/AB，如图 1 所示。在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图 2 所示。
7、（1）求出图 2 上，以这一部分抛物线为图象的函数关系式，并写出函数自变量取值范围。（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长。（ ，4.12计算结果精确到 1 米）。5. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面 AB 的宽为 20cm，如果水位上升 3m 时，水面 CD 的宽是 10m。（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计），货车正以每小时 40km 的速度开往乙地，当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时
8、0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD 处，当水位达到桥拱最高点 O 时，禁止车辆通行）。试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由。若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？【试题答案】一、1. B 2. D 3. B 4. C 5. D二、1. 向下，y 轴，（0，3），0，大，32. 2，y 轴，增大，减小3. x4. 25. 863三、1. 160x2810)x(10)x(y 2. A（3，9），B（1，1）， y3. （1）A（0，50），B（60，0），C（60，0）（2） 5x72y4. 解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所
9、以设以这部分抛物线为图象的函数关系式为，因为点 A（ ，0）（或 B（ ，0）在抛物线上，所以09ax225，得 。因此，所求函数关系式为1)5(1258a。)x(09x28y（2）因为点 D、E 的纵坐标为 ，所以 ，得 ，所209109x258245x以点 D 的坐标为（ ， ），点 E 的坐标为（ ， ），所以2454)(245E，因此，卢浦大桥拱内实际桥长为： （米）。3852701.255. （1）解：设抛物线的解析式为 ，桥拱最高点 O 到水面 CD 的距离为 h 米，2axy则 D（5，h），B（10，h3） 1h25aa102解 得抛物线的解析式为 2xy（2）水位由 CD 处涨到点 O 的时间为： （小时），货车按原来的速度425.01行驶的路程为： ，货车按原速行驶不能安全通过此桥，设货车80410速度提高到 x 千米/时，当 时 x=60，要使货车安全通过此桥，货车的速度2x应超过 60 千米/时。
