1、 10cm20cm第 9 题建平中学 2011 高考数学模拟试卷（理）一、填空题1、若集合 ，集合 ，则 R . 23Ax03xBAB2、若 ， ，则 1sin()0,(tan243、若 ( 为虚数单位 )，则复数 = 2i 0 =42 1+ziiz4、样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在 内的频数为 64 6,10)5、若函数 f(x)的反函数是 f1(x)=log2(x1)，则 = (f26、 二项展开式中，第 7 项是常数项。1537、已知 y 是 1+x 和 1x 的等比中项，则 x+y 的取值范围是 ,8、在五一节期间，甲外出旅游
2、的概率是 ，乙外出旅游的概率是 ，假定甲乙两人的行动1514相互之间没有影响，则五一期间两人中至少有一人外出旅游的概率是 0.4 9、一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计） ，则球取出后，容器中水面的高度为 cm. 25310、在极坐标系中，定点 ，动点 B 在曲线=2cos上移动，当线段 AB 最短时，点 B 的极径1,2A为 211、已知 x1,8， 。若对任意 x11,8，总存在 ，13()f()sin()0,32gxax20,x使得 f(x1)g(x2)成立，则实
3、数 a 的取值范围是 a4 或 a2 .12、已知 AB 是椭圆 的长轴，若把该长轴 等分，过每个等分点作 AB 的垂线，依次交椭圆的上半2143y部分于点 ，设左焦点为 ，则 2 .121,nP 1F1111( )limnnAFPFB13、已知函数 ， ，若对于任一实数 ， 与 至少2()()fxmx)gxx(fgx有一个为正数，则实数 的取值范围是 (0,8) 14、在平面直角坐标系中，定义 为两点 , 之间的“折线距离”.则1212(,)dPQy1()y2()Q圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是 .21xy250xy5二、选择题A BC1A1B1CPQ第 20 题图开 始
4、0S 2n 1k 0 输 出 S 结 束 1Sn 2 k 是否15、若函数 有零点，则实数 a 的取值范围是（ D ）1()2xfaA(,0 B0,+) C( ,0) D(0,+ )16、已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ B ）A求数列 的前 10 项和 B求数列 的前 10 项和n)nN12n()nNC求数列 的前 11 项和 D求数列 的前 11 项和1(17、在 中， “ ”是“ ”的（ C ）BAC|ACA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件18已知关于 的方程 ，其中 、 、 都是非零向量，x20abxcabc且 、 不共线，则该方
5、程的解的情况是（ A ）abA至多有一个解 B至少有一个解 C至多有两个解 D可能有无数个解三、解答题19、已知虚数 ， ，sinco1zsinco2z（1）若 ，求 的值；52)(（2）若 z1,z2 是方程 3x22x+c=0 的两个根，求实数 c 的值。解（） ， 2 分si)s(ci ， ， 5 分521 )sin()o( 22cos( )= . 6 分34（2）由题意可知 cos =cos ，sin = sin 8 分且 10 分21cosin13z ，经检验满足题意。 12 分20、如图，在直三棱柱 中， =2，1ABC1ACB， 是 的中点， 是 的中点.90ACBPQ（1）求证
6、： 平面 B1CQ；Q（2）求平面 B1CQ 和平面 A1C1Q 所成锐二面角的大小。解：（1）如图所示建立空间直角坐标系。 1 分由题意可知 C(0,0,0)，P(2,0,1)，Q(1,1,0)，B 1(0,2,2)， 4 分则 1(,)(,0)(,2)又因为 ， PQ CQ，PQ B1Q，6 分 平面 B1CQ 7 分P（2）由题意可知 C1(0,0,2)， A1(2,0,2)，设平面 A1C1Q 的一个法向量为 (,)nxyz则由 ， 平面 A1C1Q 的一个法向量 可以是(0,1,2) 11 分102nxy n又由(1)可知 是平面 B1CQ 的一个法向量。 12 分(,)P设平面 B
7、1CQ 和平面 A1C1Q 所成锐二面角为 ，则 ，15cos|P 平面 B1CQ 和平面 A1C1Q 所成锐二面角的大小为 14 分arrcs21某企业投入 81 万元经销某产品，经销时间共 60 个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第 个x月的利润 （单位：万元） 。为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润)(6021,0)( *Nxxf再投入到次月的经营中。记第 个月的利润率为 ，例如个 月 前 的 资 金 总 和第 个 月 的 利 润第xg(.)2(183)(fg（1）求 ； （2）求第 个月的当月利润率；)0x（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月
8、的当月利润率。解：（1）依题意得 1)0(9)3( fff所以 4 分12)180)( fg（2）当 时，x(当 时，01 1)()(xfff则 8012)(8)( xfg也符合上式。故当 时， 6 分x01)(g当 时，6021 )1()21(28)( xffffxg 8 分600)(1)1()(8 2 xxxff所以第 个月的当月利润率为 10 分x621,60,8)(2xxg（3）当 时， 是减函数，此时 的最大值为 12 分20181)(x)(g81)(g当 时，6x 7912 xg当且仅当 ，即 时， 有最大值 .14 分104)(x2因为 ，所以，当 时， 有最大值 .87920g
9、79即该企业经销此产品期间，第 40 个月的当月利润率最大，其当月利润率为 。16 分79222、已知抛物线 y2=2px（p0 ）和四个点 A、B、C 、D ，其中 A 在抛物线上，B(b,0) ，C (0,c)（c0） ，且直线 AC 交 X 轴于 D 点（1）若 p=2， b= 8，且 D 为 AC 中点，求证：ACBC（2）若 p=2， b= 1，且 ACBC，判断 A,C,D 三点的位置关系，并说明理由。（3）对（1） （2）两个问题的探究过程中，涉及到以下三个条件： ACBC； 点 A、C、 D 的位置关系； 点 B 的坐标。对抛物线 y2=2px（p0） ，请以其中的两个条件做前
10、提，一个做结论，写出三个真命题， （不必证明） 。解：（1）由题意可设 ，1 分 20(,)(8,)4AyBD 为 AC 中点， 4 分 又 ACBC60,C200(,)(8,4yACBy分（2）由题意可设 ，7 分20(,)(1,)4yABc ACBC， 10 分2 2 20 0 00 0,(1, ()4yyycc即 ，C 是 A,D 的中点。12 分02yc（3）真命题共有 8 种情况：每个 2 分共 3 种情况：（1）若 ACBC， C 为 A,D 的中点，则 (,0)pB（2）若 ACBC， D 为 A,C 中点，则 4（3）若 ACBC， A 是 C,D 中点，则 ,共 2 种情况：
11、（4）若 ACBC， ，则 C 为 A,D 的中点(,0)pB（5）若 ACBC， ，则 D 为 A,C 中点或 A 是 C,D 中点4共 3 种情况：（6）若 C 为 A,D 的中点， ，则 ACBC(,)2（7）若 D 为 A,C 中点， ，则 ACBC0Bp（8）若 A 是 C,D 中点， ，则 ACBC4,23、已知数列 ， 满足 其中 .nabnna11,23（1）若 且 a1=1，求数列 的通项公式；（2）若 ，且 ， 时1(2)b2b 求数列 的前 项和；n6 判断数列 中任意一项的值是否会在该数列中出现无数次？若存在，求出 a1 满足的条件，若不存在，并说明理由。解（1）当 时
12、，有23 分321()()()n naa 121nb. 4 分1n又因为 也满足上式，所以数列 的通项为 .5 分1an2n（2- ）解：因为 （ ） ，1nnb2所以，对任意的 有 ， *N516432nnbb即数列 各项的值重复出现，周期为 . 8 分n又数列 的前 6 项分别为 ，且这六个数的和为 7. nb21,设数列 的前 项和为 ，则， ； 11 分nS67n（2- ）解： 设 ， （其中 为常数且 ） ，所以)0(6acini 6,5432,1i1661626 7(0)niniininininicbbb 所以数列 均为以 7 为公差的等差数列. 13 分设 ，67()i ikii
13、ikaaf k （其中 ， 为 中的一个常数） ，n06,5432,1当 时，对任意的 有 ； 15 分7i ik6n当 时， 6ia17716()(1)6(6iik iaf akkiki()i i若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为单调减数列；76iakNkf1 6ika若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为单调增数列；i17 分综上：设集合 ，7411632362B741,36当 时，数列 中必有某数重复出现无数次.a1na当 时， 均为单调数列，任意一个数在这 6 个数列中最多出现一次，所以数列16ik),54,1(中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 18 分naA求数列 的前
14、10 项和 B求数列 的前 10 项和1n()nN12n()nNC求数列 的前 11 项和 D求数列 的前 11 项和18、一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域区域边界曲线的长度与区域直径之比称为该区域的“周率”。如图的四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为 1， 2， 3， 4，下列关系正确的为（ C ）A、 143 B、 312 C、 423 D、 341三、解答题19、如图，在直三棱柱 中， ， .1ABC12ACB90AC（1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；（2） 若 是 的中点，求四棱锥 的体积.P1 P
15、（2） 111323BCAPCAPBVSh20、已知虚数 ， ，sinco1zsinco2z（1）若 ，求 的值；（2）若 z1,z2 是方程 3x22x+c=0,的两个根，求实数 c 的值。52)(解（） ， 2 分)i(1 i ， ， 5 分2z )sin(cos( 22cos( )= . 7 分534（2）由题意可知 cos =cos ，sin = sin 10 分且 13 分21cosin13zA BC1A 1B1C第 19 题图 ，经检验满足题意。 14 分3c21某企业投入 81 万元经销某产品，经销时间共 60 个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第 个x月的利润 （单位
16、：万元） 。为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润)(6021,0)( *Nxxf再投入到次月的经营中。记第 个月的利润率为 ，例如个 月 前 的 资 金 总 和第 个 月 的 利 润第xg(.)2(183)(fg（1）求 ； （2）求第 个月的当月利润率；)0x（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率。解：（1）依题意得 1)0(9)3( fff所以 4 分12)180)( fg（2）当 时，x(当 时，01 1)()(xfff则 8012)(8)( xfg也符合上式。故当 时， 6 分x01)(g当 时，6021 )1()21(28)( xffffx
17、g 8 分600)(1)1()(8 2 xxxff所以第 个月的当月利润率为 10 分x621,60,8)(2xxg（3）当 时， 是减函数，此时 的最大值为 12 分20181)(x)(g81)(g当 时，6x 7912 xg当且仅当 ，即 时， 有最大值 .14 分104)(x2因为 ，所以，当 时， 有最大值 .87920g79即该企业经销此产品期间，第 40 个月的当月利润率最大，其当月利润率为 。16 分79222、已知抛物线 y2=2px（p0 ）和四个点 A、B、C 、D ，其中 A 在抛物线上，B(b,0) ，C (0,c)（c0） ，且直线 AC 交 X 轴于 D 点（1）若
18、 p=2， b= 8，且 D 为 AC 中点，求证：ACBC（2）若 p=2， b= 1，且 ACBC，判断 A,C,D 三点的位置关系，并说明理由。（3）对（1） （2）两个问题的探究过程中，涉及到以下三个条件： ACBC； 点 A、C、 D 的位置关系； 点 B 的坐标。对抛物线 y2=2px（p0） ，请以其中的两个条件做前提，一个做结论，写出三个真命题， （不必证明） 。解：（1）由题意可设 ，1 分 20(,)(8,)4yBD 为 AC 中点， 4 分 又 ACBC60, 200(,)(8,4yACy分（2）由题意可设 ，7 分20(,)(1,)4yABCc ACBC， 10 分2
19、2 20 0 00 0,(1, ()4yyyCcc即 ，C 是 A,D 的中点。12 分02yc（3）真命题共有 8 种情况：每个 2 分共 3 种情况：（1）若 ACBC， C 为 A,D 的中点，则 (,0)pB（2）若 ACBC， D 为 A,C 中点，则 4（3）若 ACBC， A 是 C,D 中点，则 ,共 2 种情况：（4）若 ACBC， ，则 C 为 A,D 的中点(,0)pB（5）若 ACBC， ，则 D 为 A,C 中点或 A 是 C,D 中点4共 3 种情况：（6）若 C 为 A,D 的中点， ，则 ACBC(,)2（7）若 D 为 A,C 中点， ，则 ACBC0Bp（8
20、）若 A 是 C,D 中点， ，则 ACBC4,23、已知数列 的首项为 ，对任意的 ，定义 .na1n*Nnnab1（1） 若 ，求 ；b4（2） 若 ，且 .1(2)nn12,(0)ba当 时，求数列 的前 项和；,an6当 时，求证：数列 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.(1) 解： , ,12123ab236ab. 5 分43640a（2 ）解：因为 （ ） ，1nn所以，对任意的 有 ， *N516432nbb即数列 各项的值重复出现，周期为 . 8 分nb又数列 的前 6 项分别为 ，且这六个数的和为 7. ,12,设数列 的前 项和为 ，则， ； 11 分nbnS67n（2 ）证明：由（ ）知：对任意的 有 ，*N6nb又数列 的前 6 项分别为 ，且这六个数的和为 .13 分nb1,b2b设 ， （其中 为常数且 ） ，)0(aci i 6,5432,i所以 1n666136465niniinininininiabbb. 2b所以，数列 均为以 为公差的等差数列. 15 分6ina2b因为 时， ， 时， ， 17 分0b2020b所以 为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.6nia所以数列 中任意一项的值最多在此数列中出现 6 次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. 18 分
