1、第3节 等比数列及其前n项和,最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.,1.等比数列的概念,(1)如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母q(q0)表示.,知 识 梳 理,同一个,公比,q,等比中项,2,2. 等比数列的通项公式及前n项和公式,(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an_； 通项公式的推广：anamqnm.,a1qn1,3.等比数列的
2、性质,已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和. (1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akal_. (2)等比数列an的单调性： 当q1，a10或0q1，a10时，数列an是_数列； 当q1，a10或0q1，a10时，数列an是_数列； 当q1时，数列an是_.,aman,递增,递减,常数列,(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为_. (4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为_.,qm,qn,常用结论与微点提醒,1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通
3、过列方程(组)求关键量a1和q.,2.已知等比数列an,3.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10. 4.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.,诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”),解析 (1)在等比数列中，an0. (2)在等比数列中，q0. (3)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列. (4)当a1时，Snna. (5)若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列. 答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.(2017湖北七市考试)
4、公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为( )A.8 B.9 C.10 D.11解析 由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10，故选C.答案 C,3.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏,答案 B,4.在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.,答案 6,5.(2017全国卷
5、)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.,解析 由an为等比数列，设公比为q.,显然q1，a10，,所以a4a1q31(2)38. 答案 8,6.(2016浙江卷)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.,当n2时，由已知可得： an12Sn1， an2Sn11， 得an1an2an，an13an，又a23a1， an是以a11为首项，公比q3的等比数列.,答案 1 121,考点一 等比数列基本量的运算,【例1】 (1)(2018浙江“超级全能生”联考)等比数列an的前n项和为Sn，已知a11，且a1，S2，5成等差数列，则数列an的公比q
6、_，Sn_.(2)(2016全国卷)设等比数列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.,答案 (1)2 2n1 (2)64,规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.,答案 (1)2 (2)32 (3)2n1,考点二 等比数列的性质及应用,答案 (1)C (2)B,规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.,答案 (1)8 (2)2,考点三 等比数列的判定与证明,【例3】 已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式.,规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,(1)证明 由题意得a1S11a1，,由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an， 由a10，0且1得an0，,
