1、1距离问题（两点间距离，点到直线的距离）一、考点突破知识点 课标要求 题型 说明距离问题（两点间距离，点到直线的距离）1. 理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单的应用。2. 掌握中点坐标公式。3. 会求两条平行直线间的距离。选择题填空题解答题1. 通过两点间距离公式的推导，能更充分地体会数形结合思想的优越性。2. 通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想、渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法。二、重难点提示重点：两点间的距离公式、中点坐标公式，点到直线的距离公式的推导及应用、用坐标法证明简单的几何问题。难点：点到直线的距离公式的推导思路、用坐
2、标法证明简单的几何问题。考点一：平面上两点间的距离公式平面上 P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2）两点间的距离公式 P1P2 2211()()xy考点二：中点坐标公式对于平面上两点 P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2） ，线段 P1P2的中点是 M（ x0， y0） ，则120xy考点三：点到直线的距离点 P（ x0， y0）到直线 l： Ax By C0 的距离为 d 02AxByC【要点诠释】（1）应用点 P（ x0， y0）到直线 Ax By C0（ A、 B不同时为零）的距离公式 d202AxByC的前提是直线方程为一般式。特别地，当 A0 或 B0 时，上
3、述公式也适用，且可以通过数形结合思想求解。（2）点 P（ x0， y0）到平行于 y轴的距离为 0dxa；当 P（ x0， y0）在直线上时，点 P到直线的距离为 0；点 P（ x0， y0）到 轴的距离为 0；点 P（ x0， y0）到 轴的距离为 ；点 P（ x0， y0）到平行于 x轴的直线 ya的距离为 0dya。考点四：两条平行直线的距离已知两条平行直线 l1和 l2的一般式方程为 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20，则 l1与 l2的距离为 d CAB。【要点诠释】1. 在求两条平行直线间的距离时，一定要将两平行直线方程化为一般式，同时利用等式性质将 xy和的
4、系数化为相同的值。2. 对于两条平行线间的距离，其求解方法可以直接套用公式，也可以转化为点到直线的距离求解。考点五：对称问题（1）求某点关于已知点的对称点 (,)Pxy关于 0(,)Qxy的对称点为 00(2,)xy（2）求直线关于点的对称直线设直线 l的方程为 ABCAB，已知点 0(,)Pxy，求 l关于 P对称的直线方程。设 (,)是直线 l上任意一点，它关于 的对称点00(,xy在直线 上，代入得 0(2)xC，即为所求的对称直线的方程。（3）求某点关于直线的对称点设 0(,)P， l： 2()AxByCAB，若 P关于 l的对称点为 (,)Qxy，则 l是 Q的垂直平分线，即 PQl
5、且 的中点在 l上。解方程组00()12yxyAB可得 点的坐标。（4）求某直线关于已知直线的对称直线求直线 a关于直线 l的对称直线 b：若直线 、 b相交，先求出交点 M。在直线 a上取一特殊点 A，求点 关于直线的对称点 ，直线 即直线 。若直线 、 平行，根据平行设出所求直线方程的一般式形式，再利用两平行线间的距离公式求出待定系数。3【规律总结】1. 设直线 l： 0AxByC 关于 轴对称的直线是： ()0AxByC； 关于 轴对称的直线是： ； l关于原点对称的直线是： ； 关于 yx对称的直线是： ； 关于 对称的直线是： ()0yx。2. 点 (,)Aab关于 轴的对称点 ,A
6、ab；点 B关于 轴的对称点 B；点 ,C关于 yx轴的对称点 (,)C；点 ()D关于 轴的对称点 D；点 ,Pab关于 m轴的对称点 2,Pab；点 Q关于 n轴的对称点 ()Qn；点 (,)E关于 yx轴的对称点 ,Em；点 F关于 轴的对称点 F。例题 1 （点到直线的距离公式及其应用）求点 P（1,2）到下列直线的距离：（1） l1： y x3；（2） l2： y1；（3） y轴。思路分析：点的坐标直线方程化成一般式点到直线的距离。答案：（1）将直线方程化为一般式为： x y30，如图，由点到直线的距离公式得 d1 2()2 。（2）方法一 直线方程化为一般式为： y10，由点到直线
7、的距离公式得d2 2103。方法二 y1 平行于 x轴，如图， d2|12|3。（3）方法一 y轴的方程为 x0，由点到直线的距离公式得 d3 2101.4方法二 如图可知， d3|10|1。技巧点拨：应用点到直线的距离公式应注意的三个问题：1. 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式。2. 点 P在直线 l上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用。3. 直线方程 Ax By C0 中， A0 或 B0 时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直） ，故也可用数形结合思想求解。例题 2 （两条平行直线间的距离）求两条平行直线 l1：6 x8 y20 和 l2：3 x4 y150
8、的距离。思路分析：解答本题可先在直线 l1上任取一点 A（2,1） ，然后再求点 A到直线 l2的距离即为两条平行直线间的距离；或者直接应用两条平行线间的距离公式 d 1CB求解。答案：方法一 若在直线 l1上任取一点 A（2,1） ，则点 A到直线 l2的距离即为所求的平行线间的距离，则 d 23451.方法二 l1：3 x4 y100， l2：3 x4 y150，故 d 2()1.技巧点拨：针对这种类型的题目一般有两种思路：1. 利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离。2. 直接应用公式 d 12CAB，但要注意两直线方程中 x、 y的系数必须分
9、别相同。对称在求最值中的应用【满分训练】在直线 l： 310xy上，（1）求一点 P，使 到 (4,)A和 (,)B的距离之差最大；（2）求一点 Q，使 到 和 3C的距离之和最小。思路分析：设 B关于 l的对称点为 ， 与 l的交点 P满足（1） ；设 C关于 l的对称点为 C， 与 的交点 满足（2） 。事实上，对于（ 1） ，若 是 l异于 P的点，则5PABPABPAB；对于（2） ，若 Q是 l异于Q的点，则 QCQCA。答案：（1）如图所示，设 关于 l的对称点为 (,)ab，则 1Blk，即43ba， 312ab 又由于 B的中点坐标为 4(,)2abM，且在直线 l上，43102ab，即 360 解式得 ,(,)B于是 AB所在直线的方程为 14yx，即 290y解 l与 组成的方程组 3029得 5即 与 的交点坐标为 (,5)， (,)P为所求。（2）如图，设 C关于 l的对称点为 C，同（1）中方法求出 C的坐标为 324(,)5，AC所在直线的方程为 19730xy，联立 和 l的方程，解出其交点坐标为 126(,)7Q126(,)7Q为所求。技巧点拨：本题属于求最值问题，它利用几何中的对称方法解决，体现了数形结合的思想。
