已知椭圆 C 的中心原点在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的一点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1 （1） 求椭圆方程 （2） 若直线 l : y = kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点（A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l过定点，并求出该点的坐标.解：（1）由题意，设椭圆的标准方程为 ，21(0)xyab由题设得： ，解得， .则 .3,1ac,ac223c所以椭圆 C 的标准方程为 .243xy（2）设 A（ ） 、 B（ ） ，1,xy2,联立 得 ，2.43km 2(34)84(3)0kxm则 1228,().34xkm.222641()3040kkkm因为以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 D（2，0） ，即 ，0ADB12(2,)(,)xyxy化简得， .140y又 ，代入2212121123(4)()()mkkxmkxmx得 .22234(3640.2271640mk解得： ，且满足 .,7k2340km当 时， l 的方程是 ，直线过定点（2，0） ，与已知12k()yx矛盾；当 时， l 的方程是 ，直线过定点（ ，0）.27m()7ykx27所以直线 l 过定点，定点坐标是（ ，0）.2
