1、主讲：刘万东 教授助教：张明伟、文博、曹海川,电动力学 Electrodynamics,第 八 周 作业,练习题第四章习题 12-14思考题试讨论麦克斯韦方程中两个散度方程的冗余性。试给出理想导体表面为平面、柱面、球面情况下电场法向分量的边界条件。矩形立方体构成谐振腔，具有分立的谐振频率。试问球形腔如何？任意形状的闭合腔体又如何？介质中的电磁波与波导中的电磁波群速度均小于真空中光速，物理原因何在？请思考其共同点与不同点。有限截面确定传播方向电磁波最简单解是高斯光束，思考一下还有什么样稍复杂的解？考虑横向模式。,第八周,第四章 电磁波的传播,4.3 导体对电磁波的影响4.4 谐振腔与波导理想导体
2、边界的电磁波方程矩形谐振腔电磁波模矩形波导中的电磁波模波导中的电磁波色散关系高斯光束4.5 等离子体的电磁性质,第八周,理想导体边界条件,边界条件,定态情况下，散度方程是冗余的,理想导体边界条件（内部电磁场为零）,第八周,导体边界的电磁波方程,对真空（均匀介质）定态电磁波方程（Helmholtz）,导体边界条件,其它物理量的获取,第八周,矩形谐振腔电磁波模,分离变量，令,直角坐标，电场（磁场）任一分量满足：,通解：,诸C、D为常数,第八周,矩形谐振腔驻波解,m、n、p 为整数,第八周,矩形谐振腔波模性质,空间限制，导致驻波，频率分立 本征模式是可能存在的模式，是否存在依赖于外激发条件 一般情况
3、为各种本征模式的叠加,电场诸分量 m、n、p 必须相等每一组表示一种本征模式,本征模式的频率是分立的,对每个确定频率，有两种独立的偏振模式,最低频率，设,（ 或 模式除外）,第八周,矩形波导中的电磁波模,将矩形谐振腔某方向（z）开放，则在该方向上没有限制，电磁能量可以传播，其解应为，,（m、n 整数）,诸 A 可以为复数，即电场各分量之间可以有相位差,第八周,矩形波导中波模截止频率,自由空间半波长大于波导长边的电磁波不能在其中传播,波导中频率是连续的（ 连续）,对特定模式，存在最小可传播的频率,即截止频率,波导中最小可传播的频率为：,或：,第八周,TE 和 TM 基本模式,两种独立的基本（偏振
4、）模式,在（A1, A2, A3）空间，两矢量正交,证明,TE（横电）模：电场方向垂直于传播方向，,TM（横磁）模：磁场方向垂直于传播方向，,TE、TM 模式特点,TE模：,TM模：,第八周,波导中的电磁波色散关系,相速度大于真空中光速，群速度则小于光速：,当频率趋于截止频率时，群速度趋于零，相速度趋于无穷,波导中波的色散关系：,（设波导内为真空）,波导表面对电磁波的响应，产生了部分屏蔽的效果，使 电磁波的（群）速度降低。,第八周,TE10电磁波模,具有最低的截止频率电场与传播方向垂直，为横模，但磁场则为非横模式，场在 y 方向均匀窄边无纵向电流（横向开缝影响小），宽边中线横向电流为零（可开缝
5、）TMm0 、TM0n模均不存在,TE10是波导中最基本的模式,第八周,第四章 电磁波的传播,4.3 导体对电磁波的影响4.4 谐振腔与波导理想导体边界条件导体边界的电磁波方程矩形谐振腔电磁波模矩形波导中的电磁波模高斯光束4.5 等离子体的电磁性质,第八周,高斯光束描述,有限截面定向传播的电磁波场的形式可以设为：,有，如激光束。,最简单的有限截面传播的电磁波束具有的特征,定向传播，如 Z 方向，电磁场应具有传播相位因子:,有限截面，高斯分布是数学上最易处理的形式，电磁场应有振幅截面分布：,高斯光束,第八周,高斯光束电磁波解,其解为：,高斯光束解：,柱坐标(轴对称） 的 Helmholtz 方程：,将上面假设形式代入，忽略 f 、g 的两阶微分项：,证明,第八周,高斯光束的传播性质之一,能流密度反比于截面积，能量守恒的要求,束腰尺寸 是高斯束唯一的几何特征,束宽度呈双曲线型:,束腰: 表示了光束的横向宽度，在 处最小，称束腰,远场处，波束的发散角为：,振幅与束宽度称反比，束腰处光强最大,远场：,第八周,高斯光束的传播性质之二,束腰所在的波阵面是平面,远场处，波阵面趋于以束腰中心为球心的球面,波阵面: 常数的面,远场，,球面,波阵面方程，,第八周,附： TE、TM模式特征证明,TE 模式， ,由 ，有:,TM 模式， ,同时有:,第八周,附：高斯束电磁波解方程推导,第九周,
