1、2018 届山东省菏泽市高三第一学期期末九校联考试题（理)数学（解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】 ，则 ，所以 ，元素个数为 2 个。故选 C。2. 已知 ，复数 ，若的虚部为 1，则 （ ）A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】 ，所以 ， 。故选 B。3. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，得 ，又 ，则 ，所以 ，故选 D。4. 若抛物线 上
2、一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的 3 倍，则 （ ）A. B. C. D. 7【答案】A【解析】由题意，焦点坐标 ，所以 ，解得 ，故选 A。5. 九章算术中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即 176 两） ，问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉 1 立方寸重 7 两，石料 1 立方寸重 6两，现有宝石和石料混合在一起的一个正方体，棱长是 3 寸，质量是 11 斤（即 176 两） ，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的 分别为（ ）A. 90，86 B. 98，
3、78 C. 94，82 D. 102，74【答案】B【解析】 （1） ；（2） ；（3） ；（4） ，输出 分别为 98，78。故选 B。6. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 3 B. 9 C. 12 D. 15【答案】C【解析】所以，过 时， 的最小值为 12。故选 C。7. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增.若实数满足 ，则的最大值是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】由图象性质可知， ，解得 ，故选 D。8. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶 6 次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图） ，则以下说法错误的是（ ）A. 甲、乙两人打靶
4、的平均环数相等B. 甲的环数的中位数比乙的大C. 甲的环数的众数比乙的大D. 甲打靶的成绩比乙的更稳定【答案】C【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均数为 7.5，中位数为 8，众数为 8；乙：4,6,8,7,10,10，平均数为 7.5，中位数 7.5，众数为 10；所以可知错误的是 C。故选 C。9. 函数 的部分图像如图所示 ，则当 时， 的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图， ，得 ，则 ，又当 时， ，得 ，又 ，得 ，所以 ，当 时， ，所以值域为 ，故选 D。点睛：本题考查由三角函数的图象求解析式。本题中，先利用周期求 的值，然后利用特殊点（一般从五点内
5、取）求 的值，最后根据题中的特殊点求 的值。值域的求解利用整体思想。10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 6 B. 4C. D. 【答案】A【解析】该立方体是正方体，切掉一个三棱柱，所以体积为 ，故选 A。11. 设双曲线 的左、 右焦点分别是 ，过 的直线交双曲线 的左支于 两点，若，且 ，则双曲线 的离心率是（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】，则 ，所以 ， ，则 ，所以 ，故选 C。点睛：离心率问题关键是利用圆锥曲线的几何性质，以及三角形的几何关系来解决，本题中，由双曲线的几何性质，可以将图中的各边长都表示出来，再利用同一个角在两个三角形中的余
6、弦定理，就可以得到的等量关系，求出离心率。12. 已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，则 ，所以 ，则 ，易知， ，则 在 单调递减， 单调递增，所以 ，故选 B。点睛：本题考查导数的综合应用。利用导数求函数的极值和最值是导数综合应用题型中的常见考法。通过求导，首先观察得到导函数的极值点，利用图象判断出单调增减区间，得到最值。第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知向量 ， ，且 ，则 _【答案】10【解析】 ， ，所以 。14. 如图，长方体 的底面是边长为 1 的正方形
7、，高为 2，则异面直线 与 的夹角的余弦值是_【答案】【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴，建立空间直角坐标系，所以 ，所以 。点睛：本题考查异面直线求夹角。本题中，由于是长方体的题型，建议采取空间向量求夹角。建立空间直角坐标系，求出所要求的线向量，利用向量的夹角公式求出夹角余弦值即可。15. 两位同学分 4 本不同的书，每人至少分 1 本，4 本书都分完，则不同的分发方式共有_ 种【答案】14【解析】 ，所以 。点睛：本题考察分组分配模型的应用，而且是无零分配。分组分配模型是先分组，再分配，关键是均匀分组必有重复，所以 会有重复，所以为 。分组分配模型是高考考察排列组合问题中的常见
8、题型。16. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则_【答案】【解析】 ，得 ， ，又 ，得 ，且 ，所以 ，所以 ，即 。三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 满足 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）利用累加法得 ；（2） ，利用裂项相消法，得 .试题解析：（1）因为 ，又 ，所以 .因为 也满足 ，所以 .（2）因为 ，所以 ，所以 .点睛：本题考查累加法求通项，裂项相消求和。在常规数列求通项的题型中，累加法、累乘法是常见的求通项方
9、法，熟悉其基本形式。数列求和的题型中，裂项相消法、错位相减法是常见的求和方法，熟悉其基本结构。18. 4 月 23 日是“世界读书日” ，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取 10 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的 10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用 表示抽得甲组学生的人数，求 的分布列和数学期望 .【答案】(1) ； (2)答案见解析 .【解析】试题分析：（1）
10、从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有 种，来自同一小组的取法共有 ，所以 .（2） 的可能取值为 0，1，2， ， ，写出分布列，求出期望。试题解析：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为 3，4，2，1，从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有 种，这两名学生来自同一小组的取法共有 ，所以 .（2）由（1）知，在参加问卷调查的 10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 3，2.的可能取值为 0，1，2， ， . 的分布列为：.19. 如图，四边形 是矩形， ， ， ， 平面 ， .（1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【
11、答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）根据 可得 ,由 平面 ，可得 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再由面面垂直的判定定理可得平面 平面 ；（2）以过 作 的垂线为 轴，以 为 ，以 为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面 的法向量 与平面 的法向量利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（1）证明：设 交 于 ，因为四边形 是矩形， ，所以 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，又 平面 ，所以 ，而 ，所以 平面 .由面面垂直的判定定理可得平面 平面(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得 ,设平面 的法向量 ，则 ，取 ，即 ，设平面 的法向量 ，则 ，取
12、，即 ，设平面 和平面 所成的二面角为，则 .【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆 的左、 右焦点分别为 ，上顶点为 ，若直线 的斜率为 1，且与椭圆的另一个交点为 ， 的周长为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 的直线（直线斜率不为 1）与椭圆交于 两点 ，点 在点 的上方，若 ，求直线的斜率.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由 的周长为 ，可得 ，由直线 的斜率为 可得 ， 由直线 的斜率 ，得 ，结合 求出 从而可得椭圆的标准方程；（2）先求出 ，由 可得 ，直线的方程为 ，则 ，联立 ，所以 ，根据韦达定理列出关于 的方程求解即可.试题解析：（1）因为 的周长为 ，所以 ，即 ，由直线 的斜率 ，得 ，因为 ，所以 ，
