1、山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试文科数学试题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求1. 已知集合 ,则 AB=A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 ， ，AB= ，选 A.2. 已知某单位有职工 120 人,男职工有 90 人,现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本,若已知样本中有18 名男职工,则样本容量为A. 20 B. 24 C. 30 D. 40【答案】B【解析】设样本容量为 n,则 ，选 B.3. 已知复数 (i 是虚数单位),则的共轭复数A. B. C. D. 【答案】
2、D【解析】 ,= ,选 D.4. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D. 【答案】BP= ,选 B.5. 若双曲线 与直线 有交点,则其离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的焦点在 x 轴，一条渐近线方程为 ，只需这条渐近线比直线 的斜率大，即，选 C.6. 如下图,点 O 为正方体 ABCD-ABCD的中心,点 E 为棱 BB的中点,点 F 为棱BC的中点,则空间四边形 OEFD 在该正方体的面上
3、的正投影不可能是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知光线从上向下照射，得到 C，光线从前向后照射，得到 A光线从左向右照射得到 B故选 D点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同7. 已知变量 x、 y 满足 则 的最小值是A. 1 B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数是以（0，0）为圆心，圆的半径的平方，当过（1， 1）点时圆半径最小，此时半径为 ，所以最小值为 2，选 C.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型： ，
4、与直线的截距相关联，若 ，当 的最值情况和 z 的一致；若 ，当 的最值情况和的相反；（2）斜率型： 与 的斜率，常见的变形： ， .（3）点点距离型： 表示 到 两点距离的平方；（4）点线距离型： 表示 到直线 的距离的 倍.8. 函数 的图象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以排除 A,C,当函数在 轴右侧靠近原点的一个较小区间 时，函数单调递增，故选 D.考点：函数图象与函数性质9. 定义在 R 上的奇函数 f(x)在 上是增函数,则使得 f(x)f(x2-2x+2)成立的 x 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可行 f(x)在
5、 R 上单调递增，所以要使 f(x)f(x2-2x+2)成立，只需 ，解得 1b,所以 B角一定是锐角，所以 。再由 或 ，当 ， ， ，当 ，为等腰三角形，所以 ，选 C.12. 已知动点 P 在椭圆 上,若点 A 的坐标为(3,0),点 M 满足,则 的最小值是A. 4 B. C. 15 D. 16【答案】B【解析】设 P(x,y),A(3,0)为焦点，所以 = ，而焦半径 ，所以 ，选 B.【点睛】切线长的平方=半径平方+点到圆心距离平方，同时焦半径范围 ，是解本题的关键。二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。13. 已知向量=(1，2), =(x,-1),若
6、(- ),则 =_【答案】【解析】 ，若 ，那么 ，解得： ，所以 ，所以，故填：-5.14. 已知 ,则 _【答案】【解析】原式化为 ， ，所以 ， ，填 。15. 三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC= ,则三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积是_【答案】【解析】由题意可得 ，所以取 AB 中点 O,则 O 是三棱锥 S-ABC 的外接球的球心，半径为 1.所以 S=填 。【点睛】由于 AB 正好是两个直角三角形的公共斜边，而斜边上的中线到三个顶点的距离相等，所以外接球的球心正好是斜边 AB 的中点。所以在做立体几何时，需要注意应用平面几何的
7、知识，特别是直角三角形，等边三角形，等腰三角形的相关性质。16. 直线 y=b 分别与直线 y=2x+1 和曲线 相交于点 A、B,则 的最小值为_。【答案】【解析】两个交点分别为 ，设函数 的根为，所以 在区间 单调递减，在区间 上单调递增，所以 。填【点睛】由于是水平距离，所以只需 = 转化为关于 b 的函数，用导数求最值。三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答17. 已知数列 的前项和(1)求数列 的通项公式(2)设数列 满足 ,求数列 的前 n 项和 Tn【答案】
8、（1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由于知道 的表达式，所以应用公式 可求的通项 的表达式。（2）由（1） ，所以 ， ，分组求和，分解成一个等比数列求和及一个等差数列求和。试题解析：（1）当 时， . 当 时， 满足上式, 所以 . （2）由题意得 . , .【点睛】知道 的表达式求通项 的表达式时，我们常用公式 。18. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 3,E,F 分别为 CC1,BB1 上的的点,且 EC=3FB=3,点 M 是线段 AC 上的动点(1)试确定点 M 的位置,使 BM/平面 AEF,并说明理由(2)若 M 为满足(1)中条件的点,求三棱锥 M 一 A
9、EF 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）在 AE 上找一点 N,及 AC 上点 M，使得 BFNM 是平行四边形，即满足条件，即在平面 AEF 中找一条直线 FN/BM.(2) ., 平面 ,所以。试题解析：（1）当点 是线段 靠近点 的三等分点时， 平面 . 事实上，在 上取点 ,使 ,于是 ,所以 且 .由题意知， 且 ，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）连接 .因为三棱柱 是正三棱柱，所以 平面 .所以 .取 的中点 ，连接 ，则 .因为三棱柱 是正三棱柱，所以 平面 .又 平面 ，所以 .因为 ， ，
10、 ，所以 平面 . 所以 为三棱锥 的高.又在正三角形 中， . .【点睛】存在性问题寻找，常用性质定理寻找存在的那个条件。再用判定定理证明。高中两个图形求体积常用换底转化方法，一个是三棱锥，另一个是平行六面体。同时要注意割补法做复杂图形的体积问题。19. 某服装批发市场 1-5 月份的服装销售量 x 与利润 y 的统计数据如下表:月份 1 2 3 4 5销售量 x(万件 ) 3 6 4 7 8利润 y(万元) 19 34 26 41 46(1)从这五个月的利润中任选 2 个,分别记为 m,n,求事件“m,n 均不小于 30”的概率(2)已知销售量 x 与利润 y 大致满足线性相关关系,请根据
11、前 4 个月的数据,求出 y关于 x 的线性回归方程(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过 2 万元,则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第 5 个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第 5 个月的利润的估计数据是否理想?参考公式: 【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析【解析】试题分析：（1）列出基本事件，和事件 A 所包含的基本事件，由古典概型可求。 （2）由公式依次算出 。（3）由（2）得线性回归方程为 ，代入 进行误差分析。试题解析：（1）所有的基本事件为(19,34), (19,26), (19,41),(19,46),(34,26) ,(34
12、,41) ,(34,46),(26,41),(26,46),(41,46)共 10 个 .记“m,n 均不小于 30”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为(34,41) ,(34,46), (41,46),共 3 个.所以 . （2）由前 4 个月的数据可得， .所以 ，所以线性回归方程为 （3）由题意得，当 时， ， ； 所以利用（2）中的回归方程所得的第 5 个月的利润估计数据是理想的.20. 已知动圆 C 与圆 外切,并与直线 相切(1)求动圆圆心 C 的轨迹(2)若从点 P(m,-4)作曲线 的两条切线,切点分别为 A、B,求证:直线 AB 恒过定点。【答案】 （1） ；（2）【解
13、析】试题分析：（1）由两圆外切，圆心距等于半径和，圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径。先列出几何关系，建立几何等式，或转化为定义，或代数化。 （2）由（1）知曲线为抛物线 ，应用导数求过 ， 的切线方程，两式结构一样，且都过 P(m,-4)点，可知 为方程的两个根，再结合直线 的方程为 .与抛物线方程组方程组中的韦达定理，得 ，.所以 的方程为 .过定点。试题解析：（1）由题意知，圆 的圆心 ，半径为 .设动圆圆心 ，半径为.因为圆 与直线 相切，所以 ，即 . 因为圆 与圆 外切,所以 ，即 .联立，消去，可得 . 所以 点的轨迹 是以 为焦点, 为准线的抛物线. （2 ） 由已知直线 的斜率一定存在 .不妨设直线 的方程为 .联立 ，整理得 ，其中设 ，则 ， . 由抛物线的方程可得: , .过 的抛物线的切线方程为 , 又 代入整得: .切线过 ，代入整理得: , 同理可得 . 为方程 的两个根， . 由可得， ，
