1、余数问题【求余数】（1990 年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）一组，就可得到 331 组，尚余 4 个 6。而 66667=9522。所以，原式的余数是 2。例 2 9437569 与 8057127 的乘积被 9 除，余数是_。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：一个数被 9 除的余数与这个数各位数字之和被 9 除的余数是一样的。9437569 各位数字之和除以 9 余 7；8057127 各位数字之和除以 9 余3。73=21，219=23。所以，9437569 与 8057127 的乘积被 9 除，余数是 3。例 3 在 1、2、3、4、1993、1994 这 1994 个数中，选出一
2、些数，使得这些数中的每两个数的和都能被 26 整除，那么这样的数最多能选出_个。（1994 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可将 1、2、3、1994 这 1994 个数，分别除以 26。然后，按所得的余数分类。要使两个数的和是 26 的倍数，则必须使这两个数分别除以 26 以后，所得的余数之和等于 26。但本题要求的是任意两个数的和都是 26 的倍数，故 26 的倍数符合要求。这样的数有 199426=76（个）余 18（个）。但被 26 除余13 的数，每两个数的和也能被 26 整除，而余数为 13 的数共有 77 个。所以，最多能选出 77 个。【同余问题】例 1 一个整数，除 3
3、00、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_。（全国第一届“华杯赛”初赛试题）讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300262）和（262205）的最大公约数。不难求出它们的最大公约数为 19，即这个整数是 19。例 2 小张在计算有余数的除法时，把被除数 113 错写成 131，结果商比原来多 3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989 年上海市小学数学竞赛试题）讲析：被除数增加了 131-113=18，余数相同，但结果的商是 3，所以，除数应该是 183=6。又因为 1136 的余数是
4、5，所以该题的余数也是 5。例 3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有_个桃子。（哈尔滨市小学数学竞赛试题）讲析：因为第一只猴子把桃 5 等分后，还余 1 个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的 4 等份再分成 5 等份，且每次余 1 个桃子。于是，我们可设想，如果另加进 4 个桃子，则连续五次可以分成 5等份了。加进 4
5、个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需 5 等份后，拿走一份。因为 4 与 5 互质，每次的 4 份能分成 5 等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成 5 等份。这样，这堆桃子就能连续五次被 5 整除了。所以，这堆桃子至少有 55555-4=3121（个）。例 4 在 1、2、3、30 这 30 个自然数中，最多能取出_个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是 7 的倍数。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：我们可将 1 到 30 这 30 个自然数分别除以 7，然后按余数分类。余数是 0：7、14、21、28余数是 1：1、8、15、22、29余数是 2：2、9、16、23、30余数是 3：3、10、17、24余数是 4：4、11、18、25余数是 5：5、12、19、26余数是 6：6、13、20、27要使两数之和不是 7 的倍数，必须使这两个数分别除以 7 所得的余数之和不等于 7。所以，可以取余数是 1、2、3 的数，不取余数是 4、5、6 的数。而余数为 0 的数只取一个。故最多可以取 15 个数。
