1、,第二节 二重积分的计算(二),二重积分的计算,（一）在直角坐标系下计算二重积分,（累次积分）,或,X-型,Y-型,复习,因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数,的特点,选择不同的坐标系来计算二重,积分是一个重要的问题.,第二节 二重积分的计算,解,(一)二重积分在极坐标系下的计算,(二)无界区域的的反常二重积分,第二节 二重积分的计算(二),x,y,如果选取以直角坐标系的原点O为极点，,以x轴为极轴，,原点O,x轴,二、二重积分在极坐标下的计算,用以极点O为中心的一族同心圆,设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点不多于两点，,把区域D分成n个小区域，,在极坐标系下，,以及从极点出发
2、的一族射线,在直角坐标系下,在极坐标系下,极坐标系下的面积微元,二、二重积分在极坐标下的计算,则,得,故面积微元为,这样二重积分在极坐标系下的表达式为,二、二重积分在极坐标下的计算,直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式,如何计算极坐标系下的二重积分？,化为二次积分或累次积分来计算,二重积分在极坐标系下的表达式为,二、二重积分在极坐标下的计算,要解决两个问题：,（2）确定积分的上、下限,（1）选择积分次序,化为二次积分或累次积分来计算,二、二重积分在极坐标下的计算,极坐标系下化二重积分为二次积分,(1)若极点O在区域 D 之外,则有,(2) 极点O在区域D的边界线上,则有,D,D,（只研究
3、先对r后对的积分次序）,下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论,型区域,(3) 若极点O在区域D的内部,则有,D,特殊地,D,D:,x,二、二重积分在极坐标下的计算,或被积函数为f (x2+y2)、,利用极坐标计算二重积分积分特征,利用极坐标常能简化计算.,如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等，,等形式，,要点与步骤:,用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算;,(2) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的二次积分.,二、二重积分在极坐标下的计算,极坐标下二重积分计算的基本步骤,(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分., 将 代入被积函数,将区域D 的边
4、界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.,将面积元素 dxdy 换为 .,(2)将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.,(3)计算二次积分.,则,解,二、二重积分在极坐标下的计算,例2 计算,其中,解,故,注：由于 的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算.,在极坐标系下,二、二重积分在极坐标下的计算,例3,解,二、二重积分在极坐标下的计算,例4 计算积分,积分域是圆环，,解,D：,二、二重积分在极坐标下的计算,P367 13（3）,http:/(或在学院主页快速通道中选择“网络课程”）,网络教学平台,课程指导、教学课件、课后练习、评价测验,论坛、作业等互动板块,(一)二重积分
5、在极坐标系下的计算,(二)无界区域的的反常二重积分,第二节 二重积分的计算(二),(二)二重积分在极坐标系下的计算,(一)二重积分在直角坐标系下的计算,只研究先对r后对的积分次序,第九章 二重积分习题课,二.二重积分的计算,型区域,（极点O在区域D的外部）,（极点O在区域D的边界上）,（极点O在区域D的内部）,只研究先对r后对的积分次序,D,D,D,二、二重积分在极坐标系下的计算,例5 计算二重积分 其中区域D为由x=0及 x2+y2=2y 围成的第一象限内的区域.,解,D的边界曲线为x2+y2=2y，,此时D可以表示为,其极坐标表达式,二、二重积分在极坐标下的计算,解,故,例6,二、二重积分
6、在极坐标下的计算,例7,解,二、二重积分在极坐标下的计算,利用区域的对称性和函数奇偶性计算二重积分,二、二重积分在极坐标下的计算,解,二、二重积分在极坐标下的计算,例7,解,二、二重积分在极坐标下的计算,二、二重积分在极坐标下的计算,当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，,一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，,选取适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的.,而被积函数中含有 项时,选择坐标系,选择积分次序,二重积分计算过程,通常选择在直角坐标系下计算.,下的计算方法往往比较简便.,二重积分计算方法总结：,化为累次积分,计算累次积分,二重积分可在两种坐标系下计算 .,采用极坐标
7、系,三、无界区域上的广义二重积分,先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.,基本解法：,解,因为被积函数为偶函数,例9 求广义积分,所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。,(正态分布）,又因为被积函数 的原函数不是初等函数,D,令,利用极坐标计算H，,二、二重积分在极坐标下的计算,令,利用极坐标计算H，,所以,D,正态分布,二、无界区域上的广义二重积分,基本解法： 先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.,解 先考虑圆域,二、无界区域上的广义二重积分,二.二重积分在极坐标系中的计算,一.二重积分在直角坐标系中计算,小结,选择坐标系,选择积分次序,化
8、为累次积分,计算累次积分,第二节 二重积分的计算,作业：P366 11（1），12（3），13（3）14,下次课内容第九章 二重积分习题课第十章 微分方程,三.广义二重积分基本解法,先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.,1.二重积分在极坐标下的计算,（在积分中注意使用对称性）,小结,2.广义二重积分基本解法：,先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.,第二节 二重积分的计算(二),解答,思考题,练 习 题,练习题答案,由区域的对称性和函数的奇偶性可得,解,例7,二重积分在极坐标下的计算,1,1,D,解,例8,二重积分在极坐标下的计算,二、二重积分在极坐标系下的计算,一、二重积分在直角坐标系下的计算,复习,二重积分的计算,选择坐标系,选择积分次序,化为累次积分,计算累次积分,（极点O在区域D的外部）,（极点O在区域D的边界上）,（极点O在区域D的内部）,只研究先对r后对的积分次序,D,D,D,
