1、3.4.1 基本不等式的证明,第3章 不等式,目标定位,难点：均值不等式中等号成立的条件.,学习目标,1. 理解均值定理的内容及证明方法；2. 能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小；3. 能初步运用均值定理证明简单的不等式,重、难点,重点：理解不等式的几何意义，并从不同角度探索均值不 等式的证明过程；,学习目标和重难点,知识链接,不等式的性质,1. 对于任意实数， () 2 0，即 2 2+ 2 0总是 成立的，由此得 2 + 2 2 _，当且仅当_时，等号成立.,2. 证明不等式常用什么方法？,答：比较法，综合法，分析法.,=,新知探究,（一）均值不等式的证明,问题1. 如果，那么 +
2、2 ，当且仅当 时，等号成立，称为基本不等式，也称它为均值不等式请证明该不等式.,证明：方法1）作差法,证明： + 2 = 1 2 2 2 + 2 = 1 2 ( ) 2 0，当且仅当 = ，即=时， 等号成立.,新知探究,方法2）分析法 (下面是分析法的证明过程，请将其补充完整),要证 + 2 (0，0) 只要证 +_，只要证 +_0，只要证 (_) 2 0.显然，最后一个不等式是成立的，而且当且仅当_时，等号成立,=, , ,（一）均值不等式的证明,新知探究,方法3）综合法,对于正数，有 ( ) 2 0，+2 0，+2 ， + 2 . 当且仅当 = ，等号成立，,（一）均值不等式的证明,新
3、知探究,问题2. 对于任意两个正实数，我们称 + 2 为它们的算数平均数，称 为它们的几何平均数，在此意义下如何描述基本不等式？,答: 两个正实数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数,（一）均值不等式的证明,问题1. 如图，以长为+的线段为直径作圆，在直径上取点，使=，=，过点作垂直于直径 的弦.能否借助该几何图形解释均值不等式的几何意义？,新知探究,（二）均值不等式的几何解释,解: 由题意，ABD是直角三角形，由射影定理得 2 =,即= ，连接，则= + 2 ，显然，圆O的半径OD不小于半弦CD，即 + 2 ，当且仅当点C与圆心O重合，即 = 时，不等式中的等号成立所以均值不等式的几何意义
4、为：圆的半径不小于半弦,（二）均值不等式的几何解释,例1. 已知0，求证： + 2，并推导出式中等号成立的条件.,证明： 0 0， 0， 根据均值不等式，得 + 2 =2 当且仅当 = ，即 2 = 2 时式中等号成立.,典例解析,（三）均值不等式证明不等式,变式1. 设，均为正数，证明不等式： 2 1 + 1 .,证明： ，均为正数 由基本不等式，可知 1 + 1 2 1 ，即 2 1 + 1 ， 当切且仅当=时，等号成立.,新知探究,（三）均值不等式证明不等式,例2. 已知函数 =+ 16 +2 ，(2，+)，求此函数的最小值,解: 2， +20， 由均值不等式，得 + 16 +2 = +
5、2 + 16 +2 2 2 +2 16 +2 2=6， 当且仅当+2= 16 +2 ， 即=2时取等号 当=2时，函数有最小值6.,新知探究,（四）基本不等式求最值,解题反思：应用基本不等式求最值，需要注意哪些条件？,答：一正(即两数均为正数)，二定（有定值：和为定值，积有最 大值；积为定值，和有最小值），三相等（等号能取到）.,新知探究,（四）基本不等式求最值,变式2.（1）已知函数 =+ 1 ，(，0)，求函数的最大值（2）设 00， + 1 = + 1 2 1 =2， 当且仅当= 1 ，即=1 时，取等号 当=1 时，函数有最大值2.,(2) 00， =4 32 =2 2 32 2 2+
6、 32 2 2 = 9 2 . 当且仅当2=32，即= 3 4 时，等号成立 3 4 (0， 3 2 ). 函数=4 32 (00，0， 由基本不等式得 2+5 2 25 = 10 .由于2+5=20， 10 10，即10. 当且仅当2=5 时，等号成立，,（四）基本不等式求最值,又有 2+5=20 2=5 ，解得=5，=2. 当=5，=2 时， 有最大值10. =lg +lg =lg lg 10=1. 当=5，=2 时，=lg +lg 有最大值1.,新知探究,（四）基本不等式求最值,新知探究,方法2）由2+5=20 得 =4 2 5 . = 4 2 5 = 2 5 5 2 +10 0，0，
7、当=5时，有最大值10 =lg +lg =lg lg 10=1 当=5，=2 时，=lg +lg 有最大值1.,（一）基本不等式的性质的应用,新知探究,变式3.1 设 0，0，且2+8=，求+的最小值,解：方法1)由2+8=0，得 8 =2. 0，0， 80，= 2 8 ， +=+ 2 8 =+ 216 +16 8 = 8 + 16 8 +102 8 16 8 +10=18. 当且仅当8= 16 8 ，即=12时，等号成立 + 的最小值是18.,（四）不等式求最值,新知探究,方法2）由2+8=0 及0，0，得 8 + 2 =1. += + 8 + 2 = 8 + 2 +102 8 + 2 =1
8、8.当且仅当 8 = ，即 =2=12 时等号成立 +的最小值是18.,（四）不等式求最值,新知探究,变式3.2 若0,0，且 2 + 8 =1，求 的最小值.,解：方法1）由基本不等式易得 1= 2 + 8 2 16 = 8 ，即 64，当且仅当 2 = 8 2 + 8 =1 ，即=4，=16 时取等号. 当=4，=16 时， 有最小值64.,（四）不等式求最值,新知探究,方法2） 2 + 8 =1 = 2 + 8 =2+8= 2+8 2 + 8 = 4 + 64 +322 4 64 +32=64 当且仅当 2 + 8 =1 4 = 64 ，即=4，=16时取等号. 当=4，=16 时， 有最小值64.,（四）不等式求最值,
