1、第 11 课时：3.4.1 基本不等式的证明（2） 【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。二、过程与方法通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式 ，并会用此定理求某些函2ab数的最大、最小值。三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。难点：等号成立
2、的条件及解题中的转化技巧。【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1 课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1重要不等式：如果 )“(2R,2 号时 取当 且 仅 当那 么 bababa2基本不等式：如果 , 是正数，那么 我.号时 取当 且 仅 当们称 的算术平均数，称 的几何平均数，ba,为,为成立的条件是不同的：前者只要求 , 都是实数，而后ab22和 ab者要求 , 都是正数。ab二、研探新知最值定理：已知 都是正数， 如果积 是定值 ，那么当 时，和yx, xypyx有最小值 ；如果和 是定值 ，那么当 时，积 有最大值
3、 yxp2ys241s证明： ， ，R,x2当 (定值)时， ，上式当 时取“ ”， xyppyx2yxp2yx当 时有 ；min当 (定值)时， ，上式当 时取“ ”当syxsxy241sxyyx时有 2max41说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：最值的含义（“ ”取最小值， “ ”取最大值） ；用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正” 、二“定” 、三“相等” 。函数式中各项必须都是正数;函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1 （1）求 的最值，并求取最值时的 的值。lgo10x)(x解： ，于是 ，xl 21
4、0lg210logxx当且仅当 ，即 时，等号成立， 的最小值是 ，lx)(此时 10（2）若上题改成 ，结果将如何？1解： ，于是 ，x0lgx0lox 2)10log()l(x从而 ， 的最大值是 ，此时 210logx(1)例 2 （1）求 的最大值，并求取时的 的值。(4)4)yxx（2）求 的最大值，并求取最大值时 的值202解： ， ， 则0x,x4()2x，当且仅当 ，即 时取等号。当 时，(4)y40,x取得最大值 4。)xx例 3 若 ，求 的最小值。21yy解： ，x2xy2213()32yxyx当且仅当 ，即 时取等号，21xy12当 时， 取最小值,xy32例 4 求下
5、列函数的值域:（1） ；（2）1xy1归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正 1已知 ，求 的最大值，并求相应的 值。101,9xyx13logxy ,xy2已知 ，求 的最大值，并求相应的 值。423x3已知 ，求函数 的最大值，并求相应的 值。0x()(8)fxx4已知 求 的最小值，并求相应的 值。,31,yy,y五、归纳整理，整体认识1用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正” 、二“定” 、三“相等” ，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；2运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。六、承上启下，留下悬念 七、板书设计（略）八、课后记：
