1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理,1.归纳推理和类比推理,部分对象,全部对象,个别事实,归纳,某些类似,特征,某些已知特征,这些特征,类比,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,2.合情推理,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比, 提出_,观察,分析,联想,归纳,类比,猜想,猜想,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于类比推理.()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.()(3)归纳推理是由个别到一般的推理.(),【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征,应该为归纳推理.(2)错误
2、.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知数列an中,a1=1,an+1= (nN*),则可归纳猜想an的通项公式为.(2)数列5,9,17,33,x,中的x等于.(3)等差数列an中有2an=an-1+an+1(n2且nN*),类比以上结论,在等比数列bn中类似的结论是.,【解析】2.(1)由条件可知答案: (2)5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.答案:65(3)类比等差数列,可以类比出结论 =bn-1bn+1(n2且nN*).答案
3、: =bn-1bn+1(n2且nN*),【要点探究】 知识点1 归纳推理归纳推理的四个特点(1)前提:几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围.(2)结论:具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.,(3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行.(4)作用:具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段.,【微思考】你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗?提示:其思维过程为:实验、
4、观察概括、推广猜测一般性结论.,【即时练】1.(2014太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.6n-2 B.8n-2C.6n+2 D.8n+22.根据归纳推理,数列 ,括号中应该填.,【解析】1.选C.由图形的变化规律可以看出,后一个图形比前一个图形多6根火柴棒,第一个图形为8根,可以写成a1=8=6+2.又a2=14=62+2,a3=20=63+2,所以可以猜测,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.2.因为2=31-1,5=32-1,8=33-1,14=35-1,17=36-1,由此归纳an=3n-1,故a4=34-1=
5、11,所以应填 .答案:,知识点2 类比推理类比推理的三个特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的问题及其研究方法.(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.,(2)类比推理的适用前提两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性
6、.运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.,【微思考】类比推理和归纳推理有何本质的不同?提示:类比推理是由特殊到特殊的推理,而归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.,【即时练】类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的性质,下列性质中,你认为可类比得到的是.各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角相等;各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.,【解析】由正三角形与正四面体的相似性可知都可以类比得到.答案:,【题型示范】 类型一 归纳推理【典例1】(1)(2013陕西高考)观察下列等式:(1+
7、1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为.,(2)根据下图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为.(3)已知数列an的前n项和为Sn,a1=- ,且Sn+ +2=an(n2),计算S1,S2,S3,S4并猜想Sn的表达式.,【解题探究】1.题(1)中第n个等式等号左侧共多少项相乘?等号右边的数有何特点?2.题(2)中相邻的两个图形之间有何联系?3.题(3)中n2时an与Sn及Sn-1的关系是什么?怎样求Sn的值.,【探究提示】1.题(1)左侧共有n项相乘,等号右边分为两部分:一部分为2n,另一部分为1,3,5,的乘积.
8、2.题(2)中第n+1个图形比第n个图形多2n+1条线段.3.题(3)中n2时an=Sn-Sn-1,利用an=Sn-Sn-1来化简递推关系,然后求解.,【自主解答】(1)观察规律可知,左边为n项的乘积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1).答案:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1),(2)分别求出前4个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想,图形到中线段的条数分别为1,5,13,29,因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,因此可
9、猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509.答案:509,(3)因为Sn+ +2=an(n2),所以Sn+ +2=Sn-Sn-1(n2),所以 =-2-Sn-1(n2).当n=1时,S1=a1=- ;当n=2时, =-2-a1=- ，所以S2=- ;,当n=3时, 所以S3=当n=4时, =-2-S3=所以S4=由此猜想Sn=,【方法技巧】1.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.,2.归纳推理在图
10、形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：,【变式训练】1.(2014陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是_.,2.根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律,试猜测第n个图形有多少个圆圈.,【解析】1.因为5+6-9=2，6+6-10=2，6+8-12=2，所以V+F-E=2.答案：V+F-E=2,2.方法一:图(1)中的圆圈数为12-0,图(2)中的圆圈数为22-1,图(3)中的圆圈数为32-2,图(4)中的圆圈数为42-3,图(5)
11、中的圆圈数为52-4,故猜测第n个图形中的圆圈数为n2-(n-1)=n2-n+1.方法二:第2个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向两个方向,共有2(2-1)+1个圆圈;第3个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向三个方向,每个方向有两个圆圈,共有3(3-1)+1个圆圈;,第4个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向四个方向,每个方向有三个圆圈,共有4(4-1)+1个圆圈;第5个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向五个方向,每个方向有四个圆圈,共有5(5-1)+1个圆圈;由上述的变化规律,可猜测第n个图形中间有一个圆圈,另外的圆圈指向n个方向,每个方向有(n-1)个圆圈,因此共有n(n-1)+1=
12、(n2-n+1)个圆圈.,【补偿训练】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,).(1)求a2,a3,a4,a5.(2)归纳猜想通项公式an.【解析】(1)当n=1时,知a1=1,由an+1=2an+1得a2=3,a3=7,a4=15,a5=31.(2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1,a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1.可以归纳猜想出an=2n-1(nN*).,类型二 类比推理【典例2】(1)在公比为4的等比数列bn中,若Tn是数列bn的前n项积,则有, ,也成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地,在公差为3的等差数列a
13、n中,若Sn是an的前n项和.可类比得到的结论是.,(2)在RtABC中,ABAC,ADBC于D,求证: 那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.,【解题探究】1.题(1)中等比数列的商在等差数列中类比什么?2.题(2)中 中的三条线段有什么特点?【探究提示】1.类比等差数列中的差.2.AD,AB,AC这三条线段都出自同一顶点A,且AD为三角形的高.AB,AC为共顶点的两直角边.,【自主解答】(1)因为等差数列an的公差d=3,所以(S30-S20)-(S20-S10)=(a21+a22+a30)-(a11+a12+a20)= =100d=300,同理可得:(S4
14、0-S30)-(S30-S20)=300,所以数列S20-S10,S30-S20,S40-S30是等差数列,且公差为300.即结论为:数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300.答案:数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300,(2)如图所示，由射影定理得AD2=BDDC，AB2=BDBC,AC2=CDBC，所以又BC2=AB2+AC2，所以类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则,如图，连接BE交CD于F，连接AF，因为ABAC，ABAD，ACAD=A，所以AB平面ACD，而AF平面ACD
15、，所以ABAF，在RtAEF中，AEBF，所以易知在RtACD中，AFCD，所以所以 猜想正确.,【延伸探究】题(1)条件不变,试写出一个更为一般的结论(不必证明).【解析】对于任意kN*,都有数列S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k是等差数列,且公差为k2d.,【方法技巧】运用类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么由类比得出的结论就越可靠.,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互联系,相互制约的,如果两个事物在某些性质上相同或
16、相似,那么它们在另一些性质上也可能相同或相似,因而类比的结论可能是真的,类比也可能具有必然性.类比的结论具有偶然性,即可能真,也可能假.,【变式训练】已知O是ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A，B，C，则这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”，即请运用类比推理，猜想对空间四面体VBCD存在什么类似的结论，并用“体积法”证明其正确性.,【解题指南】将边长的比扩展为面积的比，将面积的比扩展为体积的比，得到一个类似的结论并证明.,【解析】如图所示，在四面体VBCD内，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于点E，F，G，H，则,证明如下：在四面体OB
17、CD与四面体VBCD中，设点O到平面BCD的距离为h1，点V到平面BCD的距离为h，,【补偿训练】如图所示,在三棱锥S-ABC中,SASB,SBSC,SASC,且SA,SB,SC和底面ABC所成的角分别为1,2,3,三侧面SBC,SAC,SAB的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.,【解析】在一个三角形中，各边长和它所对角的正弦的比相等，即 类比三角形，我们可以猜想在三棱锥中，各侧面的面积和它所对角的正弦的比相等，即,【易错误区】对归纳推理的特征掌握不准而致误【典例】对任意正整数n,猜想2n与n2的大小关系是.,【解析】当n=1时,2112;当n=2时,
18、22=22;当n=3时,2352;当n=6时,2662,所以可以猜想:当n=3时,2nn2;当nN*且n3时,2nn2.答案:当n=3时,2nn2;当nN*且n3时,2nn2,【常见误区】,【防范措施】防止以偏概全在进行归纳推理时,为避免出现以偏概全的情形,要对所归纳的命题加以分析、归纳、综合,从而得到更加全面、科学、正确的猜想,如本例中,要注意猜想n=3,n=2和4及n2,3,4的所有情况.,【类题试解】由集合a1,a1,a2,a1,a2,a3,的子集个数归纳出集合a1,a2,a3,an的子集的个数为()A.nB.n+1 C.2nD.2n-1【解析】选C.a1的子集有 ,a1,共2个;a1,a2的子集有a1,a2, ,a1,a2共4个;a1,a2,a3的子集有a1,a2,a3,a1,a2,a1,a3,a2,a3, ,a1,a2,a3共8个,于是归纳a1,a2,a3,an的子集的个数为2n个.,
