1、2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法,综合法,已知条件,定义,公理,定理,推理,论证,已知,条件,定义,公理,定理,所要证明的结论,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法.()(2)综合法证明的依据是三段论.()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.(),【解析】(1)错误.综合法是一种由因导果的顺推证法.(2)正确.综合法的逻辑依据是三段论.(3)正确.综合法从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)=a
2、x2+bx+c是偶函数,则b的值为.(2)在不等式“a2+b22ab”的证明中:因为a2+b2-2ab=(a-b)20所以a2+b22ab,该证明用的方法是.(3)角A,B为ABC内角,AB是sinAsinB的条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”).,【解析】(1)由于f(x)为偶函数.所以f(-x)=f(x).所以ax2-bx+c=ax2+bx+c,所以-bx=bx,所以b=0.答案:0(2)由因导果,易知该证法为综合法.答案:综合法(3)角A,B为ABC内角且AB,所以sinAsinB,由sinAsinB(A,B均为ABC的内角)知AB.答案:充要,【要点探究】 知识点
3、综合法1.综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后导出待证结论或需求的问题.,2.综合法的两个特点(1)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.(2)因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为:,故要从A推理到D,由A推演出的中间结论未必唯一,如B,B1,B2等,可由B,B1,B2进一步推演出的中间结论则可能更多,如C,C1,C2,C3,C4等等.所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”.,【知识拓展】综合法证明不等式时常用的
4、不等式(1)a2+b22ab(当且仅当a=b时取等号).(2) (a,bR*,当且仅当a=b时取等号).(3)a20,|a|0,(a-b)20.(4) 2(a,b同号). -2(a,b异号).(5)a,bR,a2+b2 (a+b)2.,(6)不等式的性质定理1对称性:abbc.定理3加法性质: a+cb+c.推论 a+cb+d.定理4乘法性质: acbc.推论1 acbd.推论2 anbn.定理5开方性质:,【微思考】综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理?提示:综合法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑推理,得到的结论是正确的.,【即时练】1.(2014福州高二检测)下面的四个
5、不等式:a2+b2+3ab+ (a+b);a(1-a) ; 2;(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,其中恒成立的有.2.求证:a2+b2+c2ab+ac+bc.,【解析】1.因为a2+b22ab,a2+32 a,b2+32 b.相加得2(a2+b2+3)2ab+2 (a+b),所以a2+b2+3ab+ (a+b),所以正确.由于a(1-a)- =-a2+a- =- 0.所以正确.(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,所以正确.而 2,因为a,b的符号不确定,所以不一定成立.答案:,2.因为a2+b22ab
6、,a2+c22ac,b2+c22bc.将此三式相加可得2(a2+b2+c2)2ab+2ac+2bc,所以a2+b2+c2ab+ac+bc,所以原式成立.,【题型示范】 类型一 用综合法证明三角问题【典例1】(1)(2014马鞍山高二检测)在ABC中,已知cosAcosBsinAsinB,则ABC的形状一定是.(2)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.求证:A的大小为60;若sinB+sinC= .证明ABC为等边三角形.,【解题探究】1.题(1)中ABC的形状可从哪些角度判断?2.题(2)中A的大小怎样与已知条件联系起来
7、?中怎样说明ABC为等边三角形?【探究提示】1.可以从边的角度或角的角度判断ABC的形状,结合已知条件应从角的角度判断.2.中可利用正弦定理将角与边互化然后利用余弦定理求A;中由sinB+sinC= 及隐含条件A=60可求B,C,说明ABC的形状.,【自主解答】(1)因为cosAcosBsinAsinB,所以cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)0.因为0A+B,所以0A+B0,b+a-c0,b-a-c0.所以=(b-a+c)(b+a-c)(b-a-c)(b+a+c)1,公比q0,nN,且n1.求证lgan+1lgan-11).又因为a11,公比q0,nN,且n1,所以lgan-
8、1lgan+1所以lgan+1lgan-1(lgan)2.,【规范解答】综合法在几何证明中的应用【典例】(12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为菱形,OA平面ABCD,E为OA的中点,F为BC的中点,求证:(1)平面BDO平面ACO.(2)EF平面OCD.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升失分点1:证明时忽略处条件的运用导致无法证明面面垂直,考试时最多得2分.失分点2:证明时不能正确地构造出平行四边形,从而无法得到线线平行如本题中则会导致第(2)问无法证出,实际考试中最多得8分.,【悟题】提措施,导方向1.关注题中的条件证明时要注意应用题中的
9、条件,注意隐含条件的挖掘,如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明,如本例中ABCD为菱形的条件.2.注重定理的应用几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理,注意各个定理的应用格式,掌握常见的辅助线的作法,寻找好定理所需的条件,如本例中构造平行四边形说明线线平行.,【类题试解】如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB= ,CE=EF=1.(1)求证:AF平面BDE.(2)求证:CF平面BDE.,【证明】(1)设AC与BD的交点是G.因为EFAG,且EF=1,AG= AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AFEG,因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.,(2)连接FG,因为EFCG,EF=CG=1,所以四边形CEFG为平行四边形,又因为CE=EF=1,所以四边形CEFG为菱形,所以EGCF.在正方形ABCD中,ACBD.因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,所以BD平面CEFG,所以BDCF,又因为EGBD=G,所以CF平面BDE.,
