1、路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 选修2-2,成才之路 数学,推理与证明,第二章,2.3数学归纳法,第二章,从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！,这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？,1知识与技能理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证
2、题步骤2过程与方法通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径3情感态度与价值观通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，认识数学归纳法的科学价值，体会数学的美学意义.,本节重点：数学归纳法的原理及应用本节难点：数学归纳法的应用.,一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从_开始的所有正整数n都成立,n0,nk1,n0,用数学归纳法证明等式,说明证明过程的关键是第二步由nk到nk1的过渡，要设
3、法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形,用数学归纳法证明不等式,用数学归纳法证明整除问题,(2)假设nk时命题成立，即f(k)(kN*)能被9整除，则f(k1)f(k)(3k4)7k11(3k1)7k19(2k3)7k.由于f(k)能被9整除，9(2k3)7k能被9整除，则f(k1)能被9整除由(1)、(2)可知，对所有正整数n，f(n)能被9整除说明本题的两种证法实质是一样的，证法1是把(3k4)7k11设法凑出(3k1)7k1，而证法2则是通过计算f(k1)f(k)，避免了凑的过程,求证：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除证明(1)显然，当n1时，命题成立，即x1y
4、1能被xy整除(2)假设当n2k1(kN*)时命题成立，即(xy)能整除x2k1y2k1则当n2k1时，,x2k1y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1x2(x2k1y2k1)(xy)(xy)y2k1xy能整除(x2k1y2k1)又xy能整除(xy)(xy)y2k1(xy)能整除(x2k1y2k1)由(1)、(2)可知当n为正奇数时xnyn能被xy整除,用数学归纳法证明几何问题,分析可选用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k条直线将平面分成的部分的块数与k1条直线将平面分成的部分的块数之间的关系，利用该关系可以实施从假设nk到nk1时的证明,说明用数学归纳法证明几何问题时，一定
5、要清楚从nk到nk1时，新增加的量是多少，一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设,用数学归纳法证明数列问题,分析本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性,在上式两端同乘以a1an1an2，得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1得2nan1n(an2an)即an2an1an1an，所以an是等差数列,某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列
6、的前五项；(2)写出这个数的通项公式，并加以证明,1数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题，证明时注意：(1)两个步骤缺一不可，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据(2)归纳法的关键是第二步：怎样由nk时成立推证nk1时成立，其中要特别注意由nk到nk1时等式两边的变化和如何使用假设,2证明代数恒等式的关键：第二步将式子转化成归纳假设的结构相同的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式凑结论证明三角恒等式时，需运用有关的三角知识，要掌握常用的三角变换方法,3证明有关整除命题时，为了利用归纳假设，常常会通过对通项进行拆项、添项、分解、组合的方法把nk1时的式子用n
7、k时的式子表示出来，其关键是配凑，而配凑的方法很多，一般做法是先将nk1代入原式，然后将原式作适当的恒等变形(或先将nk1代入原式，再将所得的式子加上一个适当的项，然后减去同样的项；或先将nk1代入原式，再将所得的式子中的某一项化成n项的代数和),4有些命题可能仅仅当n是偶数(或奇数)时成立(如在证明数或式子的整除性问题时可能遇到)，处理的方法往往是将其化为n取全体自然数(一般是指N*)的情形，例如：用数学归纳法证明“xnyn(n是正奇数)能被xy整除”，证明时就可把它转化为证明“x2n1y2n1(nN*)能被xy整除”或对n取2k1时成立，推证n为2k1时成立,5利用数学归纳法证明几何问题，应特别注意语言叙述正确、清楚，一定要讲清从nk到nk1时，新增加量是多少，一般地，证明第二步时常用的方法是加一法，即在原来k的基础上，再增加一个，也可以从k1个中分出一个来，剩下的k个利用假设6猜想、归纳能培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，归纳性问题，需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想、探索一般规律，关键在于正确地归纳、猜想,
