1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修2-22-3,数系的扩充与复数的引入,第三章,3.1数系的扩充与复数的概念,第三章,3.1.1数系的扩充与复数的概念,1数系扩充的脉络、原则脉络：自然数系整数系有理数系实数系_原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)_适用；(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系_；(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾,复数系,依然,保持不变,2对于方程x22x30，由于8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i
2、，使得i21，则此方程的解可写成x1_，x2_.3复数的定义：形如abi(a、bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2_.这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的_与_全体复数构成的集合叫做_4复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，那么abicdi_.,1,实部,虚部,复数集,ac且bd,a0且b0,必要不充分,b0,b0,知识点拨对数系的扩充与复数概念的两点说明(1)从解方程的角度看，像x21这个方程在实数范围内就无解，为了解决这个问题引入一个新数i，叫虚数单位，且规定i21；i可与实数进行四则运算；则原有的加、乘运算律仍成立(2)复数集中不全是实数的两数不能比较
3、大小，如i和0.若i0，则ii0i，即10，不成立若i0i，即10，不成立,复数的概念,分析(1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；是复数比较大小，必须全是实数才可比较；是在实数条件下x20求得结果，当x为复数时，x20未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充要条件判断,解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题由于两个虚数不能比较大小，是假命题当x1，yi时x2y20成立，是假命题 当a1时，aR，但(a1)i0不是纯虚数答案0,规律总结1.数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等但i与实数的运算及运算
4、律仍成立2两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等，要先确定是否为代数形式，确定实部、虚部后再应用,答案A解析因为实数也是复数，而两个实数是可以比较大小的，故(1)错；(2)中没有注意到zabi中对a，b加以限制，故(2)错；(3)中在x，yR时可推出xy1，而此题未限制x，yR，故(3)错；(4)中忽视了当a0时，ai0，即0在虚数集中没有对应，故(4)错，因此选A.,复数的分类,规律总结1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解2对于复数zabi(a、bR)，既要从整体的角度去认识
5、它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它3形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件bR 且b0时，形如bi的数才是纯虚数,复数相等的条件,错解两个复数不能比较大小，故正确；设z1mi(mR)，z2ni(nR)z1与z2的虚部相等，mn，z1z2，故正确若a、b是两个相等的实数，则ab0，所以(ab)(ab)i是纯虚数，故正确综上可知：都正确，故选D.,辨析两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(bR且b0)虚数为abi(a，bR，且b0)中
6、要保证ab0才可能是纯虚数,正解两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故是不正确的；设z1abi(a，bR，b0)，z2cdi(c，dR且d0)，bd，z2cbi.当ac时，z1z2，当ac时，z1z2，故是错误的，当ab0时，ab(ab)i是纯虚数，当ab0时，ab(ab)i0是实数，故错误，因此选A.点评复数有许多与实数不同的性质，在引用实数的一些结论时，一定要考虑在复数集中是否还成立，如两个实数可以比较大小，但不全为实数的两个复数就不能比较大小,解析对于复数abi(a，bR)，当a0，且b0时为纯虚数在中，若a1，则(a1)i不是纯虚数，故错误；在中，若x1，也不是纯虚数，故错误；ai3ai，bi2b1，复数ai与实数b1不能比较大小，故错误；正确故应选D.,
