1、选修 2-2 第二章 2.1 2.1.1一、选择题1平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列a n，则下列结论正确的是 ( )导 学 号 10510487a 515；数列a n是一个等差数列；数列a n是一个等比数列；数列a n的递推关系是 ana n1 n(nN *)A BC D答案 D解析 由于 a11，a 23，a 36，a 410，所以有 a2 a12，a 3a 23，a 4a 34.因此必有 a5a 45，即 a515，故正确同时正确，而 an显然不是等差数列也不是等比数列，故错误，故选 D.2用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示，按照上面的规律，第 n 个“金鱼
2、”图需要火柴棒的根数为 ( )导 学 号 10510488A6n2 B8n2C6n2 D8n2答案 C解析 从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n2.3平面几何中，有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 a，类比上32述命题，棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 ( )导 学 号 10510489A. a B. a 43 63C. a D. a54 64答案 B解析 将正三角形一边上的高 a 类比到正四面体一个面上的高 a，由正三
3、角形32 63“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积” ，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明4类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是 ( )导 学 号 10510490A BC D答案 B解析 根据立体几何中线面之间的位置关系知，是正确的结论5(2016湖州高二检测)设 ABC 的三边长分别为 a、b、 c，ABC 的面积为 S，内切圆半径
4、为 r，则 r ；类比这个结论可知：四面体 PABC 的四个面的面积分别为2Sa b cS1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为 r，四面体 PABC 的体积为 V，则 r ( )导 学 号 10510491A. BVS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D3VS1 S2 S3 S4 4VS1 S2 S3 S4答案 C解析 将ABC 的三条边长 a、b、c 类比到四面体 PABC 的四个面面积S1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数 ，类比到三棱锥体积公式中系数 ，从而可知选12 13C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为V，
5、V S1r S2r S3r S4r，r .13 13 13 13 3VS1 S2 S3 S46把正整数按图所示的规律排序，则从 2015 到 2017 的箭头方向依次为( )导 学 号 10510492答案 C解析 1 和 5 的位置相同，图中排序每四个一组循环，而 2013 除以 4 的余数为 1，2013 的位置和 1 的位置相同，2014 的位置和 2 的位置相同，2015 的位置和 3 的位置相同，2016 的位置和 4 的位置相同，故选 C.二、填空题7观察下列等式： 导 学 号 10510493121，122 23，122 23 26，122 23 24 210，由以上等式推测到一
6、个一般的结论：对于 nN *,122 23 24 2( 1)n1 n2_.答案 (1) n1n2 n2解析 注意到第 n 个等式的左边有 n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于 123n ，注意到nn 12 n2 n2右边的结果的符号的规律是：当 n 为奇数时，符号为正；当 n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1) n1 .n2 n28观察下列等式： 导 学 号 10510494(11)21；(21)(2 2)2 213；(31)(3 2)(33)2 3135；照此规律，第 n 个等式可为_答案 (n1)(n2)( nn) 2 n13(2n1
7、)解析 观察规律，等号左侧第 n 个等式共有 n 项相乘，从 n1 到 nn，等式右端是2n与等差数列2n1前 n 项的乘积，故第 n 个等式为(n1)(n2) (nn)2 n13(2n1)9(2016德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设 ABC 的两边 ABAC ，D 是 A点在 BC 上的射影，则 AB2 BDBC.拓展到空间，在四面体 ABCD 中，DA 平面 ABC，点 O 是 A 在平面 BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，ABC、BOC、BDC 三者面积之间关系为_. 导 学 号 10510495答案 S S OBC SDBC2 ABC解析 将直角三角形的一条直角边长类比
8、到有一侧棱 AD 与一侧面 ABC 垂直的四棱锥的侧面 ABC 的面积，将此直角边 AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC 在底面的射影OBC 及底面BCD 的面积可得 S S OBC SDBC .2ABC证明如下：如图，设直线 OD 与 BC 相交于点 E，AD平面 ABE，ADAE，ADBC，又AO平面 BCD，AODE ，AOBC.ADAO A，BC平面 AED，BCAE，BCDE .S ABC BCAE，12SBOC BCOE，12SBCD BCDE.12在 Rt ADE 中，由射影定理知 AE2OE DE，S S BOC SBCD .2ABC三、解答题10已知等式 sin210
9、cos 240sin10cos40 ，sin 26cos 236sin6cos36 .请34 34写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性.导 学 号 10510496解析 等式为 sin2cos 2(30)sincos(30 ) .证明如下：34sin2cos 2(30) sin cos(30)sin 2 sin (cos30cossin30sin ) sin 2 1 cos60 2a2 12 cos60 22sin2 sin2 sin 2 ( cos2 sin2)34 12 12 1212 32 sin2 sin2 sin 2 cos2 sin2 sin2
10、 sin2 sin2 (12sin 2)34 12 12 14 34 34 12 12 12 14 .34一、选择题1观察下列式子：1 b0)中，当离心率 e 趋近于 0 时，短半x2a2 y2b2轴 b 就趋近于长半轴 a，此时椭圆就趋近于圆类比圆的面积公式得椭圆面积 S 椭圆_.类比过圆上一点 P(x0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆 1(ab0)上一点x2a2 y2b2P(x1，y 1)的椭圆的切线方程为_. 导 学 号 10510499答案 ab x y1x1a2 y1b2解析 当椭圆的离心率 e 趋近于 0 时，椭圆趋近于圆，此时 a，b 都趋近于圆的半径r，故由圆的面积 Sr 2
11、r r，猜想椭圆面积 S 椭 a b，其严格证明可用定积分处理而由切线方程 x0xy 0yr 2 变形得 x y1，则过椭圆上一点 P(x1，y 1)的椭圆的x0r2 y0r2切线方程为 x y1，其严格证明可用导数求切线处理x1a2 y1b24(2016山东文，12)观察下列等式： 导 学 号 10510500(sin )2 (sin )2 12；3 23 43(sin )2 (sin )2 (sin )2 (sin )2 23；5 25 35 45 43(sin )2 (sin )2 (sin )2 (sin )2 34；7 27 37 67 43(sin )2 (sin )2 (sin
12、)2 (sin )2 45；9 29 39 89 43照此规律，(sin )2 (sin )2 (sin )2 (sin )2 _.2n 1 22n 1 32n 1 2n2n 1答案 n(n1)43解析 根据已知，归纳可得结果为 n(n1) 43三、解答题5我们知道： 导 学 号 10510501121，22(11) 21 2211，32(21) 22 2221，42(31) 23 2231，n2(n1) 22(n1)1，左右两边分别相加，得n22123(n1)n123n .nn 12类比上述推理方法写出求 122 23 2n 2 的表达式的过程解析 我们记 S1(n)123n，S2(n)1
13、22 23 2n 2，S k(n)1 k2 k3 k nk (kN *)已知131，23(11) 31 331 2311，33(21) 32 332 2321，43(31) 33 333 2331，n3(n1) 33(n1) 23(n1)1.将左右两边分别相加，得S3(n)S 3(n)n 33 S2(n) n23S 1(n)nn.由此知 S2(n) n3 3n2 2n 3S1n3 2n3 3n2 n6 .nn 12n 166(2016隆化县高二检测)在 RtABC 中，ABAC，ADBC 于 D，求证： 1AD2 ，那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理1AB2
14、 1AC2由. 导 学 号 10510502解析 如图(1)所示，由射影定理 AD2BD DC，AB 2BD BC，AC 2BCDC， 1AD2 1BDDC .BC2BDBCDCBC BC2AB2AC2又 BC2AB 2 AC2， .1AD2 AB2 AC2AB2AC2 1AB2 1AC2 .1AD2 1AB2 1AC2类比 ABAC， ADBC 猜想：四面体 ABCD 中，AB 、AC、AD 两两垂直，AE平面 BCD.则 .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2如图(2)，连接 BE 延长交 CD 于 F，连接 AF.ABAC，ABAD，AB平面 ACD.而 AF平面 ACD，ABAF.在 Rt ABF 中，AE BF， .1AE2 1AB2 1AF2在 Rt ACD 中， AFCD， 1AF2 1AC2 1AD2 ，故猜想正确1AE2 1AB2 1AC2 1AD2
