1、课时作业(十八) 反证法A 组 基础巩固1用反证法证明命题：“若直线 AB，CD 是异面直线，则直线 AC，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则 A，B ，C，D 四点共面，所以 AB，CD 共面，这与 AB，CD 是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线 AC， BD 也是异面直线；假设直线 AC，BD 是共面直线则正确的序号顺序为( )A BC D解析：根据反证法的三个基本步骤“反设归谬结论”可知顺序应为.答案：B2用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A方程 x3axb0 没有实根B方程 x3axb0 至多有一个实根C方
2、程 x3axb0 至多有两个实根D方程 x3axb0 恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程 x3axb0 没有实根” 答案：A3已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 的位置关系为( )A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：假设 cb，而由 ca，可得 ab，这与 a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不可能是平行直线，故应选 C.答案：C4若ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定解析：分ABC 的直线只能
3、过一个顶点且与对边相交，如直线 AD(点 D 在 BC 上) ，则ADBADC ，若ADB 为钝角，则ADC 为锐角而ADCBAD ，ADCABD，ABD 与ACD 不可能相似，与已知不符，只有当ADBADC BAC 时，才符合题意2答案：B5设 a，b(0，)，则 a ，b ( )1b 1aA都不大于 2B都不小于 2C至少有一个不大于 2D至少有一个不小于 2解析：假设 a 2，b 2，则 4. 又 a，b(0 ，)，所以1b 1a (a 1b) (b 1a)a b 224.这与式相矛盾，故假设不成立，即 a ，b 至1b 1a (a 1a) (b 1b) 1b 1a少有一个不小于 2.答
4、案：D6ABC 中，若 ABAC， P 是ABC 内的一点，APBAPC，求证：BAP CAP.用反证法证明时的假设为 _解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAPCAP 的对立面是BAPCAP或BAP CAP.答案：BAP CAP 或BAPCAP7用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：AB C9090C 180，这与三角形内角为 180相矛盾，则A B90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C 中有两个角是直角，不防设AB90.正确顺序的序号排列为_解析：由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.答
5、案：8完成反证法证题的全过程设 a1，a 2，a 7 是 1,2，7 的一个排列，求证：乘积 p( a11)( a22)(a 7 7)为偶数证明：假设 p 为奇数，则 a11，a 22，a 77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但 0奇数，这一矛盾说明 p 为偶数解析：据题目要求及解题步骤，因为 a11，a 22，a 77 均为奇数，所以(a 11) (a 22)(a 77)也为奇数即(a 1a 2a 7)(1 27) 为奇数又因为 a1，a 2，a 7 是 1,2，7 的一个排列，所以 a1a 2a 7127，故上式为 0.所以奇数(a 11)( a22)(a 77)(a 1a
6、 2a 7)(1 27) 0.答案：(a 11) ( a22)(a 77)(a1a 2a 7)(1 27)9设a n， bn是公比不相等的两个等比数列，c na nb n，证明数列 cn不是等比数列证明：假设数列c n是等比数列，则(anb n)2(a n1 b n1 )(an1 bn1 )a n， bn是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为 p，q，a a n1 an1 ，b b n1 bn1 .2n 2n代入并整理，得2anbna n1 bn1 a n1 bn1 a nbn ，(pq qp)即 2 .pq qp当 p，q 异号时， 0，与相矛盾；pq qp当 p，q 同号时，由于 pq，
7、 2，与相矛盾故数列c n不是等比数列pq qp10证明：1， ，2 不能为同一等差数列的三项3证明：假设 1， ，2 为同一等差数列的三项3则有等差数列的定义知 12( )23，3则 23 不成立，则假设不成立，即原命题成立，即 1， ，2 不能为同一等差数列的三项3B 组 能力提升11假设已知 a，b，c(0,1)求证：(1a) b，(1 b)c ，(1 c)a 不能都大于 .14证明：(1a) b，(1 b)c ，(1 c)a 都大于 .14因为 0a1,0b1，所以 1a0.由基本不等式，得 .1 a b2 1 ab 14 12同理， ，1 b c2 12 .1 c a2 12将这三个
8、不等式两边分别相加，得 ，1 a b2 1 b c2 1 c a2 12 12 12即 ，这是不成立的，32 32故(1a) b，(1 b)c ，(1 c )a 不能都大于 .1412已知函数 f(x)在 R 上是增函数， a，bR.(1)求证：如果 ab0，那么 f(a)f (b)f (a)f(b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解析：(1)证明：当 ab0 时，ab 且 ba.f(x)在 R 上是增函数，f(a)f(b) ，f(b)f(a) ，f(a)f(b) f(a)f(b) (2)解：(1)中命题的逆命题为“如果 f(a)f (b)f(a)f(b) ，那么 ab0 ”，此命题成立用反证法证明如下：假设 ab0，则 ab，f(a)f(b) 同理可得 f(b) f(a)f(a)f(b) f(a)f(b) ，这与 f(a)f(b) f (a)f( b)矛盾，故假设不成立，.ab0 成立，即(1)中命题的逆命题成立
