1、3.1.3空间向量基本定理,第3章空间向量与立体几何,学习目标重点难点重点:空间向量基本定理.难点:选择合适基底表示空间向量.,学习导航,1.空间向量基本定理:如果三个向量e1、e2、e3不共面,那么对空间任一向量p,存在惟一的_,使pxe1ye2ze3.2.如果三个向量e1、e2、e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1、e2、e3_表示,我们把e1,e2,e3称为空间的一个_,e1、e2、e3叫做_.,有序实数组(x,y,z),线性,基底,基向量,正交基底,单位正交基底,惟一,想一想1.空间的基底是惟一的吗？提示:由空间向量基本定理可知,任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底,
2、所以空间的基底有无数个,因此不惟一.,做一做2.判断下列说法是否正确(在题后标注“”或“”).(1)空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示()(2)若a,b,c为空间向量的一组基底,则a,b,c全不是零向量()(3)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底(),题型一基底的概念 已知向量a,b,c是空间的一个基底,那么向量ab,ab,cb能构成空间的一个基底 吗？为什么？,【解】能构成空间的一个基底.假设ab,ab,cb不能构成空间的一个基底,则ab,ab,cb共面,所以存在x,y,使cbx(ab)y(ab),c(xy)a(xy1)b,从而由共面向量定理知,c与a,b共面;这与向量a,
3、b,c是空间的一个基底矛盾,ab,ab,cb能构成空间的一个基底.,【名师点评】判断三个向量能否作为基底,关键是正确理解概念,只有空间中三个向量不共面时才能构成空间向量的一个基底.,变式训练1.若a,b,c是空间的一个基底,试判断ab,bc,ca能否作为该空间的一个基底.解:假设ab,bc,ca共面,则存在实数、使得ab(bc)(ca),abba()c.,题型二用基底表示向量,【名师点评】(1)用空间中的一组基底可以表示任意的向量,在选定的基底下,某一向量的表达形式是惟一的.(2)注意结合图形,灵活应用向量的基本运算和三角形、平行四边形法则.(3)用基底表示向量时,表达式只能包含基底中的向量,
4、不可再有其他向量.,【名师点评】判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.,方法技巧1.空间向量基本定理指明:(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底;(2)基底中的三个向量e1、e2、e3都不是0;(3)一个基底是由不共面的三个向量构成,一个基向量是指基底中的某个向量;(4)空间任一向量可用空间不共面的三个向量惟一线性表示.,2.单位正交基底是基底的特例,它是建立空间直角坐标系的理论基础.3.空间的一个基底是由不共面的三个向量构成的,具体解题时,可取空间不共面的四点,将其中之一作为起点,与其他各点相连即可得到空间的一个基底.,失误防范判断三个向量能否作为基底,一般可用反证法,假设不能作为基底,则它们共面,利用共面定理推出矛盾,则假设不成立,从而判断它们可作为基底.用反证法时,要注意书写的规范要求,如例1及其变式训练都是反证法书写的,同学们要学会规范书写.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
