1、2.3数学归纳法,1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：第一步，归纳奠基：证明当n取_时命题成立.第二步，归纳递推：假设_时命题成立，证明当_时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,第一个值n0(n0N*),n=k(kn0，kN*),n=k+1,2.数学归纳法的框图表示,n=k(kn0),n=k+1,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.(),【解析】(1
2、)错误.数学归纳法只能证明与正整数n有关的数学命题，但与n有关的数学命题不一定只用数学归纳法来证明.(2)错误.数学归纳法的第一步n0不一定为1，要视具体情况而定.(3)正确.根据数学归纳法的定义可知，两个步骤缺一不可.答案：(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取_.(2)定义一种运算“*”，对于正整数n，满足以下运算性质：1*1=2；(n+1)*1=3(n*1)，则n*1的运算结果用含n的代数式表示为_.(3)设Sk= ，则Sk+1=_.(用含Sk的代数式表示),【解析】(1)
3、当n=1时，左=右，当n=2，3，4时，左右，故初始值应取5.答案：5(2)根据题意，1*1=2=230，进而可得2*1=3(1*1)=23=231，3*1=3(2*1)=323=232.n*1=3(n-1)*1=23n-1.答案：23n-1,(3)Sk+1=答案：,【要点探究】知识点数学归纳法1.数学归纳法的实质数学归纳法是一种以数字归纳原理为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程.所以它是证明有关正整数问题的有力工具.,2.数学归纳法两个步骤的联系第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得
4、出不正确的结论.因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了.,【知识拓展】数学归纳法证题的口诀数归证题真是妙，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.,【微思考】(1)用数学归纳法证明不等式时是否通常与直接证明的方法同时使用?提示：是.尤其是证明n=k+1这一步时，会经常使用分析、综合、放缩等方法.(2)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法?提示：不能.数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种方法.,【即时练】1.(201
5、4西安高二检测)下面四个判断中，正确的是()A.式子1+k+k2+kn(nN*)中，当n=1时，式子的值为1B.式子1+k+k2+kn-1(nN*)中，当n=1时，式子的值为1+kC.式子 (nN*)中，当n=1时，式子的值为D.设f(x)= (nN*)，则f(k+1)=f(k)+,2.用数学归纳法证明1+2+22+2n+1=2n+2-1(nN*)的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为()A.1 B.1+2C.1+2+22 D.1+2+22+23,【解析】1.选C.A错，n=1时，式子的值为1+k；B错，n=1时，式子值为k0=1；C正确，D错，f(k+1)=2.选C.n=1时，左边=1
6、+2+21+1=1+2+22.,【题型示范】类型一 用数学归纳法证明等式【典例1】(1)(2014合肥高二检测)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*)，“从k到k+1”左端增乘的代数式为_.(2)用数学归纳法证明： (nN*).,【解题探究】1.题(1)中n=k+1时左端的代数式是什么?2.题(2)中由n=k到n=k+1等式左边增加了什么项?【探究提示】1.当n=k+1时，左端代数式为(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2).2.左边增加了,【自主解答】(1)令f(n)=(n+1)(n+2)(n+n)，则f(k)=(k+1)(k+2)(k+
7、k)，f(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)，所以 =2(2k+1).答案：2(2k+1),(2)证明如下：当n=1时，左边= ，右边= ，所以等式成立.假设n=k(k1，kN*)时命题成立，即= 成立，那么n=k+1时，,即n=k+1时，等式也成立.综上所述，对于任何nN*，等式都成立.,【延伸探究】题(1)中n=1时，左边的值为_.【解析】当n=1时，左边=(1+1)=2.答案：2,【方法技巧】数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础.数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n01，nN*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小正整数，这个
8、正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点.,(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时，等式的两边会增加多少项.增加怎样的项.,(3)利用假设是核心.在第二步证明n=k+1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”，在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.,【变式训练】用数学归纳法证明： (n2，nN*
9、).【证明】(1)当n=2时，左边=1- ，右边= 所以左边=右边.,(2)假设n=k(k2，kN*)时结论成立，即 那么n=k+1时，即n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知，对任意n2，nN*等式恒成立.,【补偿训练】用数学归纳法证明：【证明】(1)当n=1时，等式左边=等式右边=等式左边=等式右边，所以等式成立.,(2)假设n=k(kN*，且k1)时等式成立，即有则当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立，由(1)，(2)可知，对于一切nN*，等式都成立.,类型二 利用数学归纳法证明不等式【典例2】(1)用数学归纳法证明不等式 (n2，nN*)的过程中，由n=k推导n=k+1时
10、，不等式的左边增加的式子是_.(2)用数学归纳法证明：对一切大于1的正整数，不等式 均成立.,【解题探究】1.题(1)中n=k+1时左边的代数式是什么？2.题(2)中由n=k到n=k+1推导过程中常用的方法和技巧是什么？应该注意什么问题？【探究提示】1.当n=k+1时左边的代数式是2.利用放缩法.在利用放缩法时，注意把握放缩的“度”.,【自主解答】(1)当n=k+1时左边的代数式是 增加了两项， ，但是少了一项故不等式的左边增加的式子是故填答案：,(2)当n=2时，左边= ；右边=因为左边右边，所以不等式成立.假设n=k(k2，且kN*)时不等式成立，即则当n=k+1时，,所以当n=k+1时，
11、不等式也成立.由知，对于一切大于1的正整数n，不等式都成立.,【延伸探究】试用数学归纳法证明(1)中的不等式.【证明】当n=2时，假设当n=k(k2且kN*)时不等式成立，即那么当n=k+1时，,这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.,【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0=k+1.(2)证明不等式的第二步中，从n=k到n=k+1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.,(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具
12、体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得n=k+1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.,【变式训练】用数学归纳法证明：(nN*).【证明】当n=1时，左边=1，右边=1，左边右边，结论成立；假设n=k(kN*)时，不等式成立，即当n=k+1时，,下面证：作差得= 0，得结论成立，即当n=k+1时，不等式也成立.由和知，不等式对一切nN*都成立.,【补偿训练】
13、已知函数f(x)=ax- x2的最大值不大于 ，又当x 时，f(x)(1)求a的值.(2)设0a1 ，an+1=f(an)，nN*，证明：,【解析】(1)由题意，知f(x)=又f(x)max ，所以所以a21，又当x 时，f(x)所以 即解得a1.又因为a21，所以a=1.,(2)用数学归纳法证明：当n=1时， ，显然结论成立.因为当x(0， )时，0f(x)所以0a2=f(a1)故n=2时，原不等式也成立.假设当n=k(k2，kN*)时，不等式0ak 成立，因为f(x)=ax- x2的对称轴为直线x=所以当x（0， 时，f(x)为增函数.所以由0ak ，得0f(ak)f( ).,于是，0ak
14、+1=f(ak)a2k-1，求c的取值范围.,【解题探究】1.题(1)中怎样计算a2，a3，a4的值，猜想an的依据是什么？2.题(2)中怎样处理an+1中的c，用数学归纳法证明的关键是什么？中对恒成立问题怎样处理？【探究提示】1.利用an与Sn之间的关系将条件转化为an+1与an的关系，求a2，a3，a4，猜想的依据是归纳推理.2.中将c视为常数，利用数学归纳法的关键是用上归纳假设.中将恒成立问题转化为函数问题解决.,【自主解答】(1)选B.由Sn=n2an知Sn+1=(n+1)2an+1，所以Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an，所以an+1=(n+1)2an+1-n2an，所以
15、an+1= an(n2).当n=2时，S2=4a2，又S2=a1+a2，所以a2= a1= ，a3= a2= ，a4= a3=由a1=1= ，a2= ，a3= ，a4= ，猜想,(2)由a1=1，a2=ca1+c23=3c2+c=(22-1)c2+c，a3=ca2+c35=8c3+c2=(32-1)c3+c2，a4=ca3+c47=15c4+c3=(42-1)c4+c3，猜想an=(n2-1)cn+cn-1，nN*.下面用数学归纳法证明：(i)当n=1时，等式成立.,(ii)假设当n=k(k1，kN*)时，等式成立，即ak=(k2-1)ck+ck-1，则当n=k+1时，ak+1=cak+ck+
16、1(2k+1)=c(k2-1)ck+ck-1+ck+1(2k+1)=(k2+2k)ck+1+ck=(k+1)2-1ck+1+c(k+1)-1，即当n=k+1时，等式也成立.由(i)，(ii)可知，an=(n2-1)cn+cn-1对任意nN*都成立.,由a2ka2k-1，得(2k)2-1c2k+c2k-1(2k-1)2-1c2k-1+c2k-2.因为c2k-20，所以4(c2-c)k2+4ck-c2+c-10对kN*恒成立.记f(x)=4(c2-c)x2+4cx-c2+c-1，下面分三种情况讨论.(i)当c2-c=0，即c=0(舍去)或c=1时，代入验证可知c=1满足要求.(ii)当c2-c0时
17、，抛物线y=f(x)开口向下，因此当正整数k充分大时，f(k)0，即c1时，抛物线y=f(x)开口向上，其对称轴x= 必在直线x=1的左边，因此，f(x)在1，+)上是增函数.所以要使f(k)0对kN*恒成立，只需 f(1)0即可.由f(1)=3c2+c-10，解得 或结合c1得 或c1.综合以上三种情况，c的取值范围为（-， ）1，+).,【方法技巧】1.“归纳猜想证明”的一般环节,2.“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和.(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简单的命题(n=1，2，3，)，猜想并证明对任
18、意正整数n都成立的一般性命题.,【变式训练】(2014厦门高二检测)已知函数y=f(n)(nN*)，设f(1)=2，且任意的n1，n2N*，有f(n1+n2)=f(n1)f(n2).(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值.(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明.【解析】(1)因为f(1)=2，f(n1+n2)=f(n1)f(n2)，所以f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=22=4，f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=222=23=8.f(4)=f(3+1)=f(3)f(1)=232=24=16.,(2)猜想：f(n)=2n(nN*).用数学归纳法证明如下：当n=1时
19、，f(1)=21=2，所以猜想正确.假设当n=k(k1，kN*)时猜想正确，即f(k)=2k，那么当n=k+1时，f(k+1)=f(k)f(1)=2k2=2k+1，所以，当n=k+1时，猜想正确.由知，对任意的nN*，f(n)=2n正确.,【补偿训练】已知f(x)= ，x1=1，xn=f(xn-1)(n2，nN*)，则x2，x3，x4分别为多少？猜想xn，并用数学归纳法证明.【解题指南】利用xn=f(xn-1)结合函数解析式，准确计算出x2，x3，x4，猜想出一般性结论后用数学归纳法证明.,【解析】因为f(x)= ，x1=1，xn=f(xn-1)，所以x2=f(x1)=f(1)=猜想：用数学归
20、纳法证明如下：(1)当n=1时，左边=x1=1，右边= =1，左边=右边，等式成立.,(2)假设当n=k(kN*，k1)时，等式成立，即当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式成立.由(1)，(2)可知猜想成立.,【拓展类型】用数学归纳法证明几何问题【备选典例】(1)凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2(2)平面内有n(nN*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)=,【解析】(1)选C.增加一个顶点，就增加n+1-3条对角线，另外原来的一
21、边也变成了对角线，故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选C.(2)当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)= 2(2-1)=1，所以当n=2时，命题成立.假设当n=k(kN*，k2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)= k(k-1)，,那么，当n=k+1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)= k(k-1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k+1条直线共有f(k)+k个交点，即f(k+1)=f(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1，所以当n=k+1时，命题
22、成立.由，可知，对任意nN*(n2)命题都成立.,【方法技巧】用数学归纳法证明几何问题的三个关注点(1)用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题，常见的形式有交点的个数问题，直线的条数问题，划分区域问题，以及构成的角的个数问题.(2)证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素由k个变成k+1个，所证的几何量将增加多少，这需要用到几何知识或借助几何图形分析.(3)几何问题的证明既要注意数形结合，又要注意有必要的文字证明.,【规范解答】数学归纳法在证明不等式中的应用 【典例】(12分)用数学归纳法证明 +n(nN*).,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升失分点
23、1：若处把“1+ ”写成“1”，第一步就不能得分.失分点2：解答中，若处写成“ ”，则漏掉了中间的一些项，造成该步不得分，即使用了归纳假设也是徒劳.失分点3：在解答中，若处放缩的方向不正确，或放缩不适度，都直接导致解不出来，这一般要扣多半分数.失分点4：解答时若忽视处，则导致证明过程不完整，考试时最多得11分.,【悟题】提措施，导方向1.搞清式子结构在使用数学归纳法时，要分析透彻式子的结构，防止验证初始值或n=k+1时证明出错，如本例n=1时，中间为1+ ；n=k+1时增加的不是1项而是很多项.2.放缩要适度作为n=k+1时证明的目标，证明中要瞄准这个方向，既要有方向性，也要放缩适度，如本例中处，“度”的把握非常关键.,【类题试解】(2014石家庄高二检测)求证： (n2，nN*).【证明】(1)当n=2时，左边= ，不等式成立.(2)假设n=k(k2，kN*)时命题成立，即则当n=k+1时，所以当n=k+1时，不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立.,
