1、第五节 合情推理与演绎推理,1.推理(1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.(2)分类：推理一般分为_与_两类.,合情推理,演绎推理,2.合情推理,全部,一般结论,某些已知特征,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,3.演绎推理(1)定义：从_出发，推出_的结论，我们把这种推理称为演绎推理.(2)特点：演绎推理是由_到_的推理.(3)模式：演绎推理的一般模式是三段论：大前提：已知的_；小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对_做出的判断.,一般性的原理,某个特殊情况下,一般,特殊,一般原理,特殊情况,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳
2、推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ),(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ),【解析】(1)错误.归纳推理和类比推理所得到的结论都不一定正确.(2)正确.这是类比推理，属于合情推理.(3)错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体
3、作为类比对象较为合适.,(4)正确.这是三段论推理，但其大前提错误，所以结论也是错误的.(5)错误.在演绎推理中，结论是否正确，还要看大前提、小前提等是否正确.答案：(1) (2) (3) (4) (5),1在数列an中，a11， 猜想这个数的通项公式为( )(A)ann (B)an(C)an (D)an【解析】选C.根据递推公式得于是猜想,2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”.“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则 ”.,“若a，bR，则ab0ab”类
4、比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比得到的结论正确的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选C.由复数以及实数的性质可知是正确的类比，其结果是正确的，而类比得到的结论是错误的，例如：a=2+i,b=1+i，有a-b=10，但不能有2+i1+i，因为虚数不能比较大小.,3.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )(A)使用了归纳推理(B)使用了类比推理(C)使用了“三段论”，但大前提错误(D)使用了“三段论”，但小前提错误【解析】选C.该推理符合三段论的形式，但大前提是错误的，因为并不是所有的有理数都是无限循环小
5、数.,4.设 记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x),则f2 012(0)=( )(A)0 (B)1 (C)-1 (D)不存在【解析】选A. 所以f5(x)=f1(x)，f6(x)=f2(x)，f2 012(x)=f4(x)=x，故f2 012(0)=0.,5已知a00,a10,a20,a30，设方程a0x+a1=0的一个根是x1,则x1= ；方程a0x2+a1x+a2=0的两个根是x1,x2，则x1+x2= 由此类推方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的三个根是x1,x2,x3，则x1+x2+x3=( )(A) (B) (C) (D)【解析】选A.由给出的一次方程、二次
6、方程的根之和与系数的关系可得.,6.已知正三角形内切圆的半径是高的 把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是正四面体的内切球的半径是高的_.【解析】假设正四面体的每个面的面积都是S，高是h，内切球半径为R.由内切球的球心向正四面体的四个顶点连线，则可分割为四个完全相同的小的四面体，且四个小的四面体的体积之和等于大四面体的体积，即 所以答案：,考向 1 归纳推理【典例1】(1)(2012江西高考)观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12，则|x|+|y|=20的不同
7、整数解(x,y)的个数为( )(A)76 (B)80 (C)86 (D)92,(2)(2013茂名模拟) 表示不超过 的最大整数.那么Sn=_.(3)设 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,【思路点拨】(1)分析每一个方程中等号右边的数值与方程解的个数的倍数关系，发现其中的规律.(2)根据给出的三个式子中第一个数和最后一个数的变化规律推断第n个式子的第一个数和最后一个数，同理归纳第n个式子的结果.(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值可猜想f
8、(x)+f(1-x)的值.,【规范解答】(1)选B.由已知条件得，|x|+|y|=n(nN*)的整数解(x,y)个数为4n，故|x|+|y|=20的整数解(x,y)的个数为80.(2)归纳可知Sn中的第一项为 最后一项为 个数是2n+1个，此时 k=0,1,2，,2n，故其结果为n(2n+1)=2n2+n.故答案：,(3)f(0)+f(1)同理可得：由此猜想f(x)+f(1-x)=证明：,【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)的值.【解析】由本例第(3)题中的结论 得方法一：f(-2 012)+f(2
9、013)=f(-2 011)+f(2 012)=故f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)=2 013,方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+f(2 013)则S=f(2 013)+f(2 012)+f(-2 012)，2S=4 026f(-2 012)+f(2 013)=4 026,【拓展提升】归纳推理的步骤与技巧(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.(2)归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越大因此在进
10、行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论.,【变式备选】(1)观察下列等式，照此规律，第五个等式应为_1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49【解析】第五个等式中应该有9个数相加，第一个数是5，和等于81，所以第五个等式是：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81,(2)(2013长沙模拟)考察下列一组不等式： 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为_.【解析】观察所给的三个不等
11、式中不等号左右两边的各项的次数之间的关系可得.答案：am+n+bm+nambn+anbm(a,b0,ab,m,n0),考向 2 类比推理【典例2】(1)设ABC的三边长分别为a,b,c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则 类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R_.,(2)若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列 为等差数列，且通项为 类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则_,【思路点拨】(1)“三角形”与“四面体”类比，“面积”与
12、“体积”类比，“内切圆”与“内切球”类比，“面积分割法”与“体积分割法”类比，即可得到结论.(2)“除”与“开方”相类比，即 类比 ， 类比 “加”与“乘”相类比，即 类比,【规范解答】(1)设四面体ABCD的内切球球心为O，连接OA,OB,OC,OD，则VVO-ABCVO-BCDVO-CDAVO-ABD所以答案：,(2)因为Tn=b1b2b3bn= 所以 所以数列 是首项为b1，公比为 的等比数列，其通项为答案：数列 为等比数列，且通项为,【拓展提升】1.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).,2.
13、熟悉常见的类比对象(1)平面与空间的类比,(2)等差数列与等比数列的类比,【变式训练】(1)(2013广州模拟)在ABC中，若ABAC，AC=b，AB=a，则ABC的外接圆半径 将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S-ABC中，若SA,SB,SC两两垂直，SA=a，SB=b,SC=c，则四面体S-ABC的外接球半径R=_.,【解析】直角三角形外接圆的圆心在斜边上并且等于斜边的一半；在四面体S-ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA=a，SB=b,SC=c，则外接球的球心在以这三边为同一顶点的三条棱的长方体的对角线上，并且等于对角线的一半，故有答案：,(2)若an是等差数列，m,
14、n,p是互不相等的正整数，则有：(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0，类比上述性质，相应地，对等比数列bn，有_.【解析】由等差数列与等比数列的性质易得结论.答案：,考向 3 演绎推理【典例3】已知函数f(x)x22bxc(cb1)若函数f(x)的一个零点为1，且函数yf(x)1有零点(1)证明：3c1且b0.(2)若m是函数yf(x)1的一个零点，判断f(m4)的正负并加以证明,【思路点拨】(1)由函数f(x)的一个零点为1，代入可得b与c的关系式，由函数yf(x)1有零点，可用判别式建立不等式从而得到c与b的范围.(2)将f(m-4)用m与c表示，结合(1)判断符号.,【规范
15、解答】(1)因为f(x)的一个零点为1，所以f(1)0，即12bc0，即又因为cb1，于是 得 函数yf(x)1有零点，即方程x22bxc10有实根，故4b24(c1)0c3或c1.又 所以3af(b)+bf(a),(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数.(2)若x,y为正实数且 比较f(x+y)与f(6)的大小.,【解析】(1)设x1,x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1)，x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0，f(x2)-f(x1)(x2-x1)0，x10,f(x2)f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.,(2)因为x,y为正实数,且所以当且仅当 即
16、时取等号，因为f(x)在R上是增函数，且所以f(x+y)f(6).,【易错误区】归纳推理不当致误【典例】(2012陕西高考)观察下列不等式：照此规律，第五个不等式为_.,【误区警示】本题在解答中容易出现以下错误：(1)对于给定的式子，只观察其结果，而不去继续探究下面几个式子，从而找不到正确的规律而误解.(2)错误地以为：第几个式子，其左边的最后一项的分母就是几的平方，从而，错误地得到第五个不等式为,【规范解答】左边的式子的通项是 右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为答案：,【思考点评】多角度分析规律通过归纳推理，得到一般规律时，要
17、仔细观察不等式两边式子的特点，从各个不同的角度分析规律，总结不等式中指数、项数、分子、分母之间的数量关系，由此得到一般规律.,1.(2013湛江模拟)在集合a,b,c,d上定义两种运算 和 如下：那么 ( )(A)a (B)b (C)c (D)d【解析】选C.,2.(2013深圳模拟)下面给出了关于复数的三种类比推理：复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a的性质|a|2=a2类比复数z的性质|z|2=z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是( )(A) (B) (C) (D),【解析】选C.对于复数的加减法运算法则判断出对；对于向量a的性
18、质|a|2=a2，但|z|2是实数，而z2不一定是正实数，如z=i，就不成立，故错；对于复数加法的几何意义判断出对，故选C.,3.(2013广州模拟)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.(A) (B) (C) (D)【解析】选C.根据正三角形与正四面体的类比，可知均较为恰当.,4.(2013海淀模拟)将正整数1，2，3，4，5，6，按照一定的规律填入下表，则2 012将出现在第_行第_列.,
19、【解析】从1开始，每4个数作为一组占据3列，且被4整除的数位于中间一列的第3行，由于2 012=5034，所以2 012位于第5033-1=1 508列，第3行.答案：3 1 508,1.已知211=2,2213=34,23135=456,，以此类推，第5个等式为( )(A)241357=5678(B)2513579=56789(C)2413579=678910(D)2513579=678910,【解析】选D.由已给出的规律，第4个等式为：241357=5678，第5个等式为：2513579=678910，选D.,2.在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( )(A)b4+b8b5+b7 (B)b4+b8b5+b8 (D)b4+b7a3a7，所以在等比数列bn中，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8b5+b7，证明：b4+b8-b5-b7=b1q3+b1q7-b1q4-b1q6=b1q3(1+q4-q-q3)=b1q3q3(q-1)-(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1)0,b4+b8b5+b7.,
