1、2.2.2反证法,1.反证法一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.,做一做1用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:A+B+C=90+90+C180,这与三角形内角和为180矛盾,所以A=B=90不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设A,B,C中有两个直角,不妨设A=B=90.其中正确的顺序应该是()A.B.C.D.解析:根据反证法的步骤,容易知道选C.答案:C,2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与
2、 已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.3.反证法的一般步骤用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程,这个过程包括下面三个步骤:(1)反设假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;(2)归谬由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;(3)存真由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.,答案:D,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)反证法是间接证明的一种基本方法. ()(2)反证法与“证明逆否命题法”是同一种方法. ()(3)否定性命题、唯一性命题等
3、只能用反证法进行证明. ()(4)反证法证明的第一步是对原命题的结论进行否定. (),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,用反证法证明:否定性命题【例1】 已知数列 的通项公式为an=n2+n(nN*),求证:数列 中,任意连续的三项不可能构成等差数列.分析:该命题是否定性命题,故可用反证法证明.证明:假设数列 中,存在连续的三项,构成等差数列.设这连续的三项为ak,ak+1,ak+2(kN*),则2ak+1=ak+ak+2,即2(k+1)2+(k+1)=(k2+k)+(k+2)2+(k+2),整理得2k2+6k+4=2k2+6k+6,所以4=6,这显然是矛盾的.因此假设错误,即数列中
4、 ,任意连续的三项不可能构成等差数列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1已知m是整数,且m2+6m是偶数,求证:m不是奇数.证明:假设m是奇数,不妨设m=2k-1(kZ),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,由于kZ,所以k2+2kZ,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k)-5为奇数,即m2+6m是奇数,这与已知条件中的m2+6m是偶数相矛盾,因此假设错误,即m不是奇数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,用反证法证明:唯一性命题【例2】 求证:经过平面外一A
5、点只能有一条直线和平面垂直.分析:本题为唯一性命题,可用反证法证明,即假设经过点A有两条直线都与平面垂直,然后根据空间以及平面中的有关定理推出矛盾.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:如图,点A在平面外,假设经过点A至少有平面的两条垂线AB,AC(B,C为垂足),那么AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面,平面和平面相交于直线BC,因为AB平面,AC平面,且BC,所以ABBC,ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直,这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.因此假设错误,即经过平面外一点A只能有一条直线和平面垂直.,探究一,探究二,探究三,思维辨析
6、,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2已知函数f(x)在区间m,n上的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在m,n上单调递减,若f(m)f(n)x1,则有f(x0)f(x1),即00,矛盾;故假设错误,即方程f(x)=0在m,n上的根是唯一的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,用反证法证明:“至少、至多”型命题【例3】 已知a,b,c都是小于2的正数,求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a中至少有一个不大于1.分析:本题为“至少”、 “至多”型问题,反设其结论,容易导出矛盾,故用反证法证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探
7、究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(方法2)假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1,即(2-a)b1,(2-b)c1,(2-c)a1,以上三式相乘得(2-a)b(2-b)c(2-c)a1,即a(2-a)b(2-b)c(2-c)1.又由于a,b,c都是小于2的正数,同理b(2-b)1,c(2-c)1,所以a(2-a)b(2-b)c(2-c)1,这与a(2-a)b(2-b)c(2-c)1相矛盾,故假设错误,即(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a中至少有一个不大于1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3已知a,b,c是
8、互不相等的非零实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命
9、题得证.,探究二,探究三,探究一,思维辨析,当堂检测,反证法证明过程中漏用反设导致错误典例已知实数k满足2k2+3k+12,求证:x,y中至少有一个大于1解析:A中命题条件较少,不易正面证明;B中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D中命题是“至少”型命题,其结论包含三种情况,而反设只有一种情况,适合用反证法证明.答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角解析:“最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”,因此它的反面应是“至少有两个”.答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.如果两个实数之和为正数,则这两个数()A.至少有一个是正数B.两个都是正数C.一个是正数,一个是负数D.两个都是负数解析:假设两个数都不是正数,即都是负数或者0,其和必为负数或者0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选A.答案:A4.命题“在ABC中,AB则ab”,用反证法证明时,假设应该是.解析:命题的结论是ab,假设应是“ab”.答案:ab,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,
