1、本章整合,答案:合情部分一般特殊特殊三段论一般特殊直接综合 分析 反证,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一合情推理及其应用归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能够帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.归纳推理的思维过程大致如下:实验,观察概括,推广猜测一般性结论类比推理的思维过程大致如下:观察,比较联想,类推猜测新的结论,专题一,专题二,专题三,专题四,例1根据三角恒等变换,可得如下等式:cos =cos ;c
2、os 2=2cos2-1;cos 3=4cos3-3cos ;cos 4=8cos4-8cos2+1;cos 5=16cos5-20cos3+5cos .依此规律,猜想cos 6=32cos6+acos4+bcos2-1,则有a+b=.分析:观察给出的各个等式的系数的特点,利用归纳推理求解.解析:由所给的三角恒等变换等式可知,所有各式中,各系数与常数项的和是1,因此32+a+b-1=1,于是a+b=-30.答案:-30,专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练1已知函数f(x)=sin x+ex+x2 016,令f1(x)=f(x),f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),fn+1(x
3、)=fn(x),则f2 017(x)=()A.sin x+exB.cos x+exC.-sin x+exD.-cos x+ex解析:由已知得f1(x)=cos x+ex+2 016x2 015,f2(x)=-sin x+ex+2 0162 015x2 014,f3(x)=-cos x+ex+2 0162 0152 014x2 013,f4(x)=sin x+ex+2 0162 0152 0142 013x2 012,f5(x)=cos x+ex+2 0162 0152 0142 0132 012x2 011,由此可以发现,fn(x)的前两项的和成周期性变化,周期为4,故f2 017(x)的前两
4、项的和应为cos x+ex;又f2 016(x)的第三项应为2 0162 0152 01421,所以f2 017(x)的第三项等于0,于是f2 017(x)=cos x+ex.答案:B,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,分析:类比已知图形,考查线段AB与曲线AB的位置关系,可得结论.解析:点A,B是函数y=sin x(x(0,)的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的下方,所以 .答案:A,专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练2在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图中所标边长,由勾股定
5、理有c2=a2+b2.把正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面的面积,S4表示截面面积,那么类似的结论是.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二演绎推理及其应用演绎推理是由一般到特殊的推理,又叫逻辑推理.其中三段论推理是演绎推理的主要形式.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中.(2)演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它创造性较少,但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用,有助于科
6、学的理论化和系统化.,专题一,专题二,专题三,专题四,例3已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极小值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.分析:对于(1),可利用函数取得极值的条件建立方程组求解;对于(2),可按照求函数最值的步骤求解.,专题一,专题二,专题三,专题四,(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f(x)=3x2-12.令f(x)=0,得x=-2或x=2.当x(-,-2)时,f(x)0,故f(x)在(-,-2)内为增函数;当x(-2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,+)内为增函数.综上可知,f(x)在x=
7、-2处取得极大值f(-2)=16+c,在x=2处取得极小值f(2)=-16+c.由题设条件知16+c=28,c=12.此时,f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4.因此,f(x)在-3,3上的最小值为f(2)=-4.,专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练3有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=(x+1)3在x=-1处的导数值f(-1)=0,所以x=-1是函数f(x)=(x+1)3的极值点.以上推理中()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论是正确的解析
8、:对于可导函数f(x),如果f(x0)=0,但x=x0不一定是函数f(x)的极值点,故选A.答案:A,专题一,专题二,专题三,专题四,专题三综合法与分析法及其应用综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但这两种证明方法的思路截然相反.分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法和综合法可相互转换,相互渗透,在解题中综合法和分析法的联合运用,能转换解题思路,增加解题途径.,专题一,专题二,专题三,专题四,例4已知a,b,c,dR,试分别用分析法和综合法求证: .分析:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;常用分析法找证题思路,用综
9、合法写证明过程.,专题一,专题二,专题三,专题四,证法一(分析法)当ac+bd0时,显然成立.当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcdb2c2+a2d2.即证0(bc-ad)2.a,b,c,dR,上式恒成立,故原不等式成立.综合知,命题得证.证法二(综合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2,专题一,专题
10、二,专题三,专题四,变式训练4已知sin +cos =1,求证:sin6+cos6=1.证明:要证sin6+cos6=1,只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1.即证sin4-sin2cos2+cos4=1,只需证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证1-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0,只需证sin cos =0,由已知sin +cos =1,所以sin2+cos2+2sin cos =1,所以sin cos =0成立,故sin6+cos6=1.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题四反证法及其应用反证法是一种间接证明的方法,
11、它体现了“正难则反”的证明思想.运用反证法证明问题时,应注意以下几点:(1)必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有可能的情况.(2)反证法证明过程中,必须把结论的否定作为条件进行推理,否则,仅否定结论,但不从结论的反面出发进行推理,即使证得了结论,也不符合反证法的要求.(3)反证法中,导出的矛盾可以是多种多样的,有的是与已知条件矛盾,有的是与假设矛盾,有的是与已知的事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.,专题一,专题二,专题三,专题四,分析:对于(1),可通过计算数列的前几项,观察其特点,利用归纳推理得出通项公式;(2)是否定性命题,可运用反证法证明.,专
12、题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练5有十只猴子一共分了56个香蕉,每只猴子至少分到1个香蕉,最多分到10个香蕉,试证明:至少有两只猴子分到同样多的香蕉.证明:假设十只猴子分到的香蕉数各不相同,由于每只猴子至少分到1个香蕉,最多分到10个香蕉,所以十只猴子分别分到了1,2,3,10个香蕉,此时十只猴子一共分了1+2+3+10=55个香蕉,这与十只猴子一共分了56个香蕉相矛盾,故假设错误,即至少有两只猴子分到同样多的香蕉.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一:归纳推理及其应用1.(2012江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a
13、4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案:C,考点一,考点二,考点三,考点四,2.(2016山东高考)观察下列等式:,考点一,考点二,考点三,考点四,解析:由等式可知,等式右边共3个数相乘,第1个数都是 ;而所给等式就是第n个式
14、子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n;第3个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.所以第n个式子等号右边为 n(n+1).答案: n(n+1),考点一,考点二,考点三,考点四,3.(2015陕西高考)观察下列等式,考点一,考点二,考点三,考点四,考点二:演绎推理及其应用4.(2013浙江高考)设a,bR,定义运算“”和“”如下:,若正数a,b,c,d满足ab4,c+d4,则()A.ab2,cd2B.ab2,cd2C.ab2,cd2D.ab2,cd2解析:由题意知,运算“”为两数中取小,运算“”为两数中取大,由ab4知,正数a,b中至少有一个大于等于2.由c+d4知,c,d中至
15、少有一个小于等于2,故选C.答案:C,考点一,考点二,考点三,考点四,5.(2014课标全国高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.答案:A,考点一,考点二,考点三,考点四,考点三:综合法与分析法的应用6.(2014四川高考)若ab0,cdb0,c-d0,-ac-
16、bd,即acbd.,答案:B,考点一,考点二,考点三,考点四,7.(2013福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2B.-2,0C.-2,+)D.(-,-2,答案:D,考点一,考点二,考点三,考点四,8.(2014北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.答案:B,考点一,考点二,考点三,考点四,考点四:反证法及其应用9.(2014山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 ()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:“至少有一个”的否定为“没有”.答案:A,
