1、模块复习课,考点一:正、余弦定理解斜三角形1.对于解三角形的考查,命题多利用正、余弦定理,三角形内角和定理来求边和角,其中以求边或角的取值范围为主,以解三角形与三角函数的结合为命题热点,难度中等.,2.解题时,要弄清三角形三边、三角中已知什么、求什么,分清题目条件与结论,并结合三角形的有关性质,如大边对大角,内角和定理等,注意数形结合,正确求解三角形,防止出现漏解或增根的情况.,【典例1】(2016北京高二检测)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c= asinC-ccosA.(1)求A.(2)若a=2,ABC的面积为 ,求b,c.,【解析】(1)由c= asinC-ccosA
2、及正弦定理得 sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC0,所以 又0A0,故b+c=4,所以b,c是方程x2-4x+4=0的两根,解得b=c=2.,【规律总结】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法,【巩固训练】(2015重庆高考)在ABC中,B=120,AB= ,A的角平分线AD= ,则AC=_.,【解题指南】首先根据正弦定理求出BDA的大小,从而能够结合角平分线判断出三角形为等腰三角形,再利用余弦定理求出AC的值.,【解析】在ABD中,由正弦定理可知 所以sinBDA= ,即BDA=45,所以BAD=15.又因为AD为角A的平分线,所以BAC=30,BCA=30
3、,即AB=BC= ,在ABC中,由余弦定理可知AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC 所以AC= .答案:,考点二:正、余弦定理的实际应用1.正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点,主要考查距离、高度、角度等问题,试题以解答题为主,难度一般.,2.解决这类题目,一要掌握仰角、俯角和方位角等常用术语;二要通过审题把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型;三要利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.,【典例2】已知海岛A周围8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,望见岛A在北偏东75,航行20 海里后,见此岛在北偏东30,若货轮不改变航向继续前进,有
4、无触礁危险?,【解析】如图所示,在ABC中, 依题意得BC=20 海里,ABC=90-75=15,BAC=60-ABC=45.由正弦定理,得 所以AC=,过点A作ADBC.故A到航线的距离为AD=ACsin60=因为 8,所以货轮无触礁危险.,【规律总结】利用正、余弦定理解决实际应用问题的方法技巧(1)审题作图:认真阅读题目,依据题目中给出的角(注意明确相关角的概念)及给出的相应长度,正确画出对应的图形,在图形中标出相应的角度或长度.,(2)根据图形中的数据,合理选择公式及定理.注意在利用余弦定理时.有时会出现两个解,解题时要注意根据实际情况进行取舍,避免出现增解.,【巩固训练】如图,测量人员
5、沿直线MNP的方向测量,测得塔顶A的仰角分别是AMB=30,ANB=45,APB=60,且MN=PN=500m,求塔高AB.,【解析】设AB=xm,因为AB垂直于地面,所以ABM,ABN,ABP均为直角三角形,所以BM= BP= 在MNB中,由余弦定理知BM2=MN2+BN2-2MNBNcosMNB,在PNB中,由余弦定理知BP2=NP2+BN2-2NPBNcosPNB,又因为MNB与PNB互补,MN=NP=500,所以3x2=250000+x2-2500xcosMNB, x2=250000+x2-2500xcosPNB.+,得 x2=500000+2x2,所以x=250 或x=-250 (舍
6、去).所以塔高为250 m.,考点三:等差、等比数列的基本运算1.数列的基本运算以小题出现比较多,但也可作为解答题第一步命题,主要考查利用数列的通项公式及求和公式,求数列中的项、公差、公比及前n项和等,一般试题难度较小.,2.在等差(或等比)数列中,首项a1与公差d(或公比q)是两个基本量,一般的等差(或等比)数列的计算问题,都可以设出这两个量求解.在等差数列中的五个量a1,d,n,an,Sn或等比数列中的五个量a1,q,n,an,Sn中,可通过列方程组的方法,知三求二,在利用Sn求an时,要注意验证n=1是否成立.,【典例3】(2016聊城高二检测)已知数列an为等差数列,且a1+a3=8,
7、a2+a4=12.(1)求数列an的通项公式.(2)记数列an的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.,【解析】(1)设数列an的公差为d,由题意知 解得a1=2,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)可得Sn= =n(n+1).因为a1,ak,Sk+2成等比数列,所以 =a1Sk+2.,从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0,解得k=6或k=-1(舍去),因此k=6.,【规律总结】等差、等比数列基本运算的方法技巧(1)在等差、等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,d或q,Sn,
8、其中首项a1和公差d或公比q为基本量,且“知三求二”,常常列方程组来解答.(2)对于基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方法进行消元,有时会用到整体代换.,【巩固训练】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3,b4,b5.(1)求数列bn的通项公式.(2)数列bn的前n项和为Sn,求Sn.,【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以等比数列bn中的b3,b4,b5,依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或
9、d=-13(舍去).故等比数列bn的第3项为5,公比为2,由b3=b122,即5=b122,解得b1= .所以bn是以 为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn= 2n-1=52n-3.,(2)数列bn的前n项和Sn=,考点四:数列求和问题1.数列求和一直是高考考查的热点,在命题中,多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和,主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题,题型多以解答题形式出现,难度较大.,2.数列求和的关键是瞄准通项公式,即通过对通项公式进行化简变形,改变原数列通项的结构,将一个不能直接求和的数列转化为等差、等比数列或其他能够求和的常见数列,从而达到求和的目
10、的,它是化归思想的具体应用.,【典例4】(2016长沙高二检测)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN*,数列bn满足an=4log2bn+3,nN*.(1)求an,bn.(2)求数列anbn的前n项和Tn.,【解析】(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.当n=1时也符合,所以an=4n-1,nN*.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,nN*.,(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1,nN*,所以Tn=3+72+1122+(4n-1)2n-1,2Tn=32+722+(4n-5)2n-1+(4
11、n-1)2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-5)2n+5.故Tn=(4n-5)2n+5,nN*.,【规律总结】1.错位相减法进行求和的基本步骤(1)在等式Sn=a1+a2+a3+an两边同乘以等比数列的公比q.(2)两式相减:左边为(1-q)Sn,右边为q的同次式对齐相减.,(3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列,可以采用公式求和.,2.裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是分式.常见的裂项有:(1)若an是等差数列,则,【巩固训练】已知等差数列an为递增数列,且a2,a5是方程x2-12x+
12、27=0的两根,数列bn的前n项和Tn=1- bn.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)若cn= ,求数列cn的前n项和Sn.,【解析】(1)由题意得a2=3,a5=9,数列an的公差d= =2.所以an=a2+(n-2)d=2n-1.由Tn=1- bn,得n=1时,b1= ,n2时,bn=Tn-Tn-1= bn-1- bn,得bn= bn-1,所以bn= .,考点五:简单的线性规划问题1.高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体应用,命题形式以选择题、填空题为主,命题模式是以线性规划为载体,考查区域的划分、区域的面积,涉及区域的最值问题、决策问题、整点问题、参数问题、参数的取值
13、范围问题等.,2.解答这类题目关键确定可行域,其方法是直线定界、特殊点定域,但要注意不等式是否可取等号,不可取等号时直线画成虚线,可取等号时直线画成实线.若直线不过原点,特殊点常选取原点,在求目标函数的最值时,要作出目标函数对应的直线,根据题意确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值.,【典例5】(1)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z= 的最小值为_.,(2)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件,已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少生产A类产品5
14、0件,B类产品140件,则所需租赁费最少为_元.,【解析】(1)不等式所表示的平面区域如图中的ABC,目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0,-1)连线的斜率,显然图中AP的斜率最小,由 解得点A的坐标为(2,1),故目标函数z= 的最小值为 =1.,(2)设需租赁甲种设备x台,乙种设备y台,租赁费用为z,则 目标函数z=200x+300y.作出其可行域,易知当x=4,y=5时,z=200x+300y有最小值2300元.答案:(1)1(2)2300,【规律总结】解线性规划问题的一般步骤(1)列:设未知数,列出约束条件,确定目标函数.(2)画:画出线性约束条件所表示的可行域.(3)移:在线性目
15、标函数所表示的平行直线系中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.,(4)求:通过解方程组求出最优解.(5)答:作出答案.,【巩固训练】设变量x,y满足 则2x+3y的最大值为()A.20B.35C.45D.55,【解析】选D.画出可行域如图:设z=2x+3y,最优解为A(5,15).代入得z=25+315=55.,考点六:基本不等式及应用1.考试中单纯对不等式性质的考查并不多,但是不等式作为工具几乎渗透到各个考点,所以其重要性不言而喻,而利用基本不等式求最值,解决实际问题是考试的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度为中、低档题.,2.在应用基本不等式求最值时,
16、要把握三个方面,即“一正各项都是正数,二定和或积为定值,三相等等号能取得”,这三个方面缺一不可.,【典例6】(1)正数a,b满足ab=1,则a+2b的最小值是()A. B.2 C. D.3(2)设x,yR,且xy0,则 的最小值为_.,【解析】(1)选B.因为a0,b0,所以a+2b当且仅当a=2b,即a= ,b= 时取等号.(2) =1+4+4x2y2+ 1+4+=9,当且仅当4x2y2= ,即|xy|= 时等号成立.答案:9,【规律总结】利用基本不等式求最值的方法(1)基本不等式常用来求最值:一般用a+b2 (a0,b0)解“定积求和,和最小”问题,用ab 解“定和求积,积最大”问题.,(2)在实际运用中,经常涉及函数f(x)=x+ (k0).一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等,构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.,【巩固训练】设x,y是正实数,且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_.,【解析】因为x0,y0,所以5=x+y2 ,所以xy ,当且仅当x=y= 时等号成立.故lgx+lgy=lg(xy)lg =2-4lg2.答案:2-4lg2,
