1、1知识与技能能根据抛物线的方程推导它的几何性质2过程与方法能应用抛物线的性质解决有关问题归纳，对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同,本节重点：抛物线的几何性质本节难点：抛物线几何性质的运用1抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线2不能把抛物线看作是双曲线的一支虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线3为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论,4在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口
2、方向、焦点位置，选准标准形式，然后运用条件求解5要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化6在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题,1抛物线四种标准形式与图象的对应关系,2焦半径抛物线上一点与焦点F连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为,3.焦点弦问题如图所示：AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.,1范围因为p0，由方程y22px(p0)可知，
3、这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式所以这条抛物线在y轴的侧；当x的值增大时，|y|也，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口2对称性以y代y，方程y22px(p0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 发 在方程y22px(p0)中，当y0时，x0，因此这条抛物线的顶点就是,右,增大,越开阔,轴,顶点,坐标原点,4离心率抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的，用e表示，按照抛物线的定义，e .,离心率,1,例1抛物线y22x上距点M(m,0)(m0)最近的点恰好是抛物线的顶点，求m的取值范
4、围分析由题目可获取以下主要信息：已知抛物线的标准方程及抛物线上的一动点由抛物线上动点与顶点距离的关系求参数m的取值范围，解答本题的关键是建立m与距离的联系,对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|a|，则a的取值范围是()A(，0)B(，2C0,2 D(0,2)答案B,例2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解析如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则y2px1，y2px2，,点评本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明
5、,求例2中正三角形外接圆的方程解析依题意可知圆心在x轴上，且过原点故可设所求的圆方程为：x2y2Dx0，,例3求过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦长的最小值,解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A，E，B作准线l的垂线，垂足为D，H，C，由抛物线定义知|AD|AF|，|BC|BF|，所以|AB|AF|BF|AD|BC|2|EH|.由图可知|HE|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|GF|，即|AB| min2|GF|2p.,点评解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x轴时，此弦为
6、抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可能过焦点,抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程,(2)在抛物线上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值,分析由题目可获取以下主要信息：已知抛物线的标准方程求抛物线上的一点到其他元素的距离的最值，解答本题时一是可找到表示最值的目标函数；二是可分析最值对应的数学元素的意义,点评有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，以几何意义解决之，二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有
7、关距离的含变量的代数关系式，以目标函数最值的求法解决之,抛物线y24x上有两个定点A、B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|2，|FB|5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求这个最大面积解析由已知得F(1,0)，不妨设点A在x轴上方且坐标为(x1，y1)，由|FA|2得x112，x11所以A(1,2)，同理B(4，4)，所以直线AB的方程为2xy40.设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0，y0)，,且0x04，4y02.则点P到直线AB的距离,例5求过点P(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程,辨析本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了
8、直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意,答案C,答案B,3顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(1,2)，则它的方程是()Ay2x2或y24xBy24x或x22yCx2 yDy24x答案A解析抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，抛物线的方程为标准形式,当抛物线的焦点在x轴上时，抛物线过点(1,2)，设抛物线的方程为y22px(p0)222p(1)p2.抛物线的方程为y24x.当抛物线的焦点在y轴上时，抛物线过点(1,2)，设抛物线的方程为x22py(p0),4过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45
9、的直线，则被抛物线截得的弦长为()A8 B16C32 D61答案B解析由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2.代入y28x，得(x2)28x，即x212x40.x1x212，弦长x1x2p12416.,二、填空题5顶点在原点，焦点在x轴上且正焦弦(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6的抛物线方程是_答案y26x解析焦点在x轴上，顶点在原点，抛物线方程为：y22px(p0)又正焦弦长为2p6，y26x.,6抛物线yx2上的点到直线y2x4的距离最短的点的坐标是_答案(1,1)解析设与直线y2x4平行且与yx2相切的直线方程为y2xb，,解析(1)设抛物线的标准方程为y22px(p0)又焦点F(3,0)，P6，抛物线方程为y212x.(2)由题意，设抛物线的标准方程为y22px(p0),
