1、3.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式,【自主预习】主题:基本初等函数的导数1.函数y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)= 的导数分别是什么?,提示:y=f(x)=c的导数是y=0,y=f(x)=x的导数是y=1,y=f(x)=x2的导数是y=2x,y=f(x)= 的导数是y=- .,2.结合1中探究你能总结出函数f(x)=x的导数吗?提示:由于0=0x0-1,1=1x1-1,2x=2x2-1,- =-1x-1-1,由此可猜想:y=f(x)=x的导数是y=x-1.,3.怎样理解常见函数f(x)=c,f(x)=x,f(x)=x2的导数的
2、物理意义?,提示:对于f(x)=c,由于f(x)=0,其物理意义为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态;对于f(x)=x,由于f(x)=1,其物理意义为某物体的瞬时速度为1的匀速运动;对于f(x)=x2,由于f(x)=2x,其物理意义为物体的变速运动.,4.对于有些基本初等函数,由于不方便用定义法求导数,可直接使用下面的求导数公式:f(x)=cf(x)=_,f(x)=xf(x)=x-1(Q*),f(x)=sinxf(x)=_,0,cosx,f(x)=cosxf(x)=_.f(x)=axf(x)=_(a0),f(x)=exf(x)=_,f(x)=logax (a0,a1),f(x)=ln
3、xf(x)= .,-sinx,axlna,ex,【深度思考】结合教材P83例1,你认为如何利用导数的几何或物理意义解决实际问题?第一步:_.第二步:_.第三步:_.,建立函数关系(有时直接给出),对函数求导数,并求相应的导函数值,借助导数的几何或物理意义解释实际问题,【预习小测】1.函数f(x)=0的导数是()A.0 B.1C.不存在 D.不确定【解析】选A.常数函数的导数为0.,2.已知函数f(x)= ,则f(-2)=()A.4 B. C.-4 D.- 【解析】选D.因为f(x)=所以f(-2)=,3.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A.1 B.2 C.e D.【解题指南】由曲
4、线的解析式,求出导函数,然后把切点的横坐标x=0代入求出对应的导函数的函数值,即为切线的斜率.,【解析】选A.由y=ex,得到y=ex,把x=0代入得:y=e0=1,则曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为1.,4.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n等于.【解析】y=nxn-1,所以y|x=2=n2n-1=12,所以n=3.答案:3,5.若f(x)=tanx,f(x0)=1,则x0的值为.【解析】因为f(x)=(tanx)= ,f(x0)=1,所以cosx0=1,所以x0=k,kZ.答案:x0=k,kZ,6.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离scm与时间ts之间的函数关系为
5、:s=t2,试求t=2(s)时,此木块的瞬时速度.(仿照教材P83例1的解析过程),【解析】由幂函数导数公式得s(t)=2t,故s(2)=4,因此当t=2(s),木块的瞬时速度为4cm/s.,【互动探究】1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?,(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k0)增(减)的快慢与什么有关?,提示:(1)函数y=2x,y=3x,y=4x的图象如图所示,导数分别为y=2,y=3,y=4.从图象上看,函数y=2x,y=3x,y=4x的
6、导数分别表示这三条直线的斜率.,(2)在这三个函数中y=4x增加得最快,y=2x增加得最慢.(3)函数y=kx(k0)增加的快慢与k有关系,即与函数的导数有关系,k越大,函数增加得越快,k越小,函数增加得越慢.,函数y=kx(k0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝对值有关系,|k|越大,函数减少得越快,|k|越小,函数减少得越慢.,2.如何区分f(x)=sinx与f(x)=cosx的导数特征?提示:从导数公式(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx看出:一要注意函数名称的变化,二要注意符号的变化,特别注意(cosx)=-sinx,而不是(cosx)=sinx.,3.函数f(x
7、)=lnx与f(x)=logax的导数公式之间有哪些差异与联系?,提示:函数f(x)=logax的导数公式为f(x)=(logax)= ,当a=e时,上述公式就变为(lnx)= .即f(x)=lnx的导数公式是f(x)=logax的导数公式的特例.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:1.导数公式的功能:(1)幂函数导数公式有降幂功能.(2)正(余)弦函数导数公式有名称更换功能.,2.转化思想:无理函数或分式函数可转化为幂函数.注意事项:对解析式较复杂的,要先化简解析式,再选择公式进行求导,化简时注意化简的等价性.,【题型探究】类型一:常用函数的导数【典例1】(1)函数f(x)=e的导数为()A
8、.e B.0 C.不存在 D.不确定(2)函数y= 在点 处的导数值是()A.4 B.-4 C.- D.,【解题指南】(1)直接利用常用函数的导数即可.(2)可先求出函数y= 的导数,再代入求值.【解析】(1)选B.因为f(x)=e为常数函数,所以f(x)=0.(2)选B.因为y=- ,所以当x= 时,y=-4.,【延伸探究】1.(变换条件)若把本例(2)中的点“ ”改为“ ”,则结果如何?【解析】因为y=- ,所以当x=2时,y=,2.(变换条件,改变问法)若把本例(2)中的条件改为“函数y= 在点(m,n)处的导数值为-1”,则m+n的值是多少?,【解析】因为y=- ,又在点(m,n)处的
9、导数值为-1,所以 =-1,故m2=1,所以m=1.当m=1时,n=1,当m=-1时,n=-1,故m+n=2或m+n=-2.,【规律总结】定义法求导与公式法求导的对比(1)定义法求导:导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是用极限定义的,所以该方法求导最终归结为求极限,在运算上很麻烦,运算会很困难.,(2)公式法求导:用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后,就可以用公式直接求导,该方法简捷迅速.,【补偿训练】如果函数f(x)=x2,则 的值等于.【解析】因为f(x)=x2,所以f(x)=2x,=f(4)=8.答案:8,类型二:利用基本初等函数的导数公式求导数【典例2】(1
10、)已知函数f(x)=lnx,f(x)是f(x)的导数,f(x)的大致图象是(),(2)f(x)= ,则f(-1)=(),【解题指南】(1)先求出函数f(x)=lnx的导数,再观察其图象,注意定义域.(2)注意先对式子f(x)= 转化,再利用幂函数导数公式求导.,【解析】(1)选C.因为函数f(x)=lnx的定义域为(0,+),所以f(x)= 的定义域也为(0,+),所以其图象为反比例函数在第一象限的部分.(2)选D.因为原函数可转化为:f(x)= 所以f(x)= 所以f(-1)=,【规律总结】求简单函数导数的策略(1)看形式:首先观察函数的形式,看是否符合基本初等函数的形式,如对于形如 的函数
11、一般先转化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式求导.,(2)化简:对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形,将其化成基本初等函数或与之相接近的函数形式,如将根式、分式化为指数式,利用幂函数求导.(3)选公式:选择恰当的公式求解函数的导数.提醒:区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.,【巩固训练】(2016郑州高二检测)已知f(x)= 且f(1)=- ,求n.【解析】f(x)= 所以f(1)=- ,由f(1)=- 得- =- ,得n=3.,类型三:利用导数公式求切线方程【典例3】(1)函数f(x)= 的图象在x=4处的切线方程是()A.x-2y=0 B.x-y-2=0C.x-
12、4y+4=0 D.x+4y-4=0,(2)设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是(),【解题指南】(1)求出函数f(x)= 的导数,进而求出切线的斜率.(2)先利用导数求出直线l的斜率范围,再利用直线斜率的范围确定直线的倾斜角的范围.,【解析】(1)选C.f(x)= ,所以f(x)= ,所以f(4)= ,因为f(4)=2,所以切线方程为y-2= ,所以x-4y+4=0.(2)选A.因为(sinx)=cosx,所以直线l的斜率k1=cosx,所以-1k11,所以直线l的倾斜角1的范围是1,【规律总结】求切线方程的步骤(1)利用导数公式求导数.(2)求斜率.(3)写出切线方程.求解时注意导数为0和导数不存在的情形.,【巩固训练】1.(2016广州高二检测)曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率为()A.1 B.2 C.e D.0【解析】选A.因为y=ex,所以y=ex,所以曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=e0=1.,2.求函数y=6x在x=1处的切线方程.【解析】因为y=(6x)=6xln6,所以当x=1时,y=6ln6,又x=1时,y=6,所以切线方程为y-6=6ln6(x-1),即6xln6-y-6ln6+6=0.,
