1、15.3 空间向量与立体几何命题角度 1 空间位置关系证明与线面角求解 高考真题体验对方向1.(2018 全国 18)如图,四边形 ABCD 为正方形, E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把 DFC 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PF BF.(1)证明:平面 PEF平面 ABFD;(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 .(1)证明 由已知可得, BF PF,BF EF,所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD.(2)解 作 PH EF,垂足为 H.由(1)得, PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点, 的方向为 y
2、轴正方向, | |为单位长,建立如图所示的空间直角坐 标系 H-xyz.由(1)可得, DE PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE= .又 PF=1,EF=2,故 PE PF.3可得 PH= ,EH= .32 322则 H(0,0,0),P ,D 为平面 ABFD 的(0,0,32) (-1,-32,0),=(1,32,32),=(0,0,32)法向量 .设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 sin = .|=343=34所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .342.(2018 全国 20)如图,在三棱锥 P-ABC 中, AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O
3、 为 AC 的中点 .2(1)证明: PO平面 ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M-PA-C 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 .(1)证明 因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OP AC,且 OP=2 .3连接 OB,因为 AB=BC= AC,所以 ABC 为等腰直角三角形,且 OB AC,OB= AC=2.22 12由 OP2+OB2=PB2知 PO OB.由 OP OB,OP AC 知 PO平面 ABC.(2)解 如图,以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz.由已知得 O(0,0,0),B(2,
4、0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 ), =(0,2,2 ).取平3 3面 PAC 的法向量 =(2,0,0),设 M(a,2-a,0)(0= .23(-4)23(-4)2+32+2由已知可得 |cos|= .32所以 ,23|-4|23(-4)2+32+2=32解得 a=-4(舍去), a= .43所以 n= .(-833,433,-43)又 =(0,2,-2 ),所以 cos= . 3 34所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 .343.(2016 全国 19)如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA底面ABCD,AD BC,AB=AD=AC=3,PA=B
5、C=4,M 为线段 AD 上一点, AM=2MD,N 为 PC 的中点 .(1)证明 MN平面 PAB;(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 .(1)证明 由已知得 AM= AD=2.取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知23TN BC,TN= BC=2.12又 AD BC,故 TN AM,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN AT.因为 AT平面 PAB,MN平面 PAB,4所以 MN平面 PAB.(2)解 取 BC 的中点 E,连接 AE.由 AB=AC 得 AE BC,从而 AE AD,且 AE=.2-2=2-(2)2=5以 A 为坐标原点,
6、 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.由题意知, P(0,0,4),M(0,2,0),C( ,2,0),N =(0,2,-4),5 (52,1,2),.=(52,1,-2),=(52,1,2)设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则=0,=0,即 2-4=0,52+-2=0,可取 n=(0,2,1).于是 |cos|= .|=85254.(2015 全国 18)如图,四边形 ABCD 为菱形, ABC=120,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AE EC.(1)证明:平面 AEC平面 AFC;(
7、2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 .(1)证明 连接 BD,设 BD AC=G,连接 EG,FG,EF.在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1.由 ABC=120,可得 AG=GC= .3由 BE平面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC.又 AE EC,所以 EG= ,且 EG AC.3在 Rt EBG 中,可得 BE= ,故 DF= .2225在 Rt FDG 中,可得 FG= .62在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= ,DF= ,可得 EF= .从而 EG2+FG2=EF2,所以222 322EG FG.又 AC FG=G,可得 EG平面 AFC.因为 EG平
8、面 AEC,所以平面 AEC平面 AFC.(2)解 如图,以 G 为坐标原点,分别以 的方向为 x 轴、 y 轴正方向, | |为单位长,建立, 空间直角坐标系 G-xyz.由(1)可得 A(0,- ,0),E(1,0, ),F ,C(0, ,0),3 2 (-1,0,22) 3所以 =(1, ), . 3, 2=(-1,- 3,22)故 cos= =- .,| 33所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 .33新题演练提能刷高分1.(2018 山东潍坊二模)如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=A1D,AB=BC, ABC=120.(1)证明: AD A1B;(
9、2)若平面 ADD1A1平面 ABCD,且 A1D=AB,求直线 BA1与平面 A1B1CD 所成角的正弦值 .(1)证明 取 AD 中点 O,连接 OB,OA1,BD,AA 1=A1D,AD OA1.又 ABC=120,AD=AB, ABD 是等边三角形,AD OB,6AD 平面 A1OB.A 1B平面 A1OB,AD A1B.(2)解 平面 ADD1A1平面 ABCD,平面 ADD1A1平面 ABCD=AD,又 A1O AD,A 1O平面 ABCD,OA ,OA1,OB 两两垂直,以 O 为坐标原点,分别以 OA,OB,OA1所在射线为 x,y,z 轴建立如图空间直角坐标系 O-xyz,设
10、 AB=AD=A1D=2,则 A(1,0,0),A1(0,0, ),B(0, ,0),D(-1,0,0).3 3则 =(1,0, ), =(-1, ,0), =(0,- ),设平面 A1B1CD 的法向量1 3 = 3 1 3, 3n=(x,y,z),则 =- 3=0,1=+3=0,令 x= ,则 y=1,z=-1,可取 n=( ,1,-1),3 3设直线 BA1与平面 A1B1CD 所成角为 ,则 sin =| cos|= .1 |1|1|=|- 3- 3|56 =1052.(2018 辽宁抚顺一模)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PD平面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,AB CD,
11、 BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E 为 PC 的中点 .(1)证明: BE平面 PAD;(2)求直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值 .(1)证明 设 F 为 PD 的中点,连接 EF,FA.因为 EF 为 PDC 的中位线,所以 EF CD,且 EF= CD=2.12又 AB CD,AB=2,所以 AB EF,故四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BE AF.又 AF平面 PAD,BE平面 PAD,所以 BE平面 PAD.7(2)解 设 G 为 AB 的中点,因为 AD=AB, BAD=60,所以 ABD 为等边三角形,故 DG AB;因为 AB CD,所以 DG D
12、C.又 PD平面 ABCD,所以 PD,DG,CD 两两垂直 .以 D 为坐标原点, 为 x 轴、 为 y 轴、 为 z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则 P(0,0,2),B( ,1,0),E(0,2,1), =(0,2,1), =( ,1,0),3 3设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的一个法向量,则 =0,=0,即 2+=0,3+=0.令 y=1,则 n= .又 =( ,1,-2),(- 33,1,-2) 3所以 |cos|= ,|=64即直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值为 .643.(2018 福建福州 3 月质检)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, ABC 为正三
13、角形,点 D 在棱 BC 上,且 CD=3BD,点 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点 .(1)证明: A1C平面 DEF;(2)若 A1C EF,求直线 A1C1与平面 DEF 所成的角的正弦值 .(1)证明 如图,连接 AB1,A1B,交于点 H,A1B 交 EF 于点 K,连接 DK,因为 ABB1A1为矩形,所以 H 为线段 A1B 的中点,因为点 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点,所以点 K 为线段 BH 的中点,所以 A1K=3BK,又因为 CD=3BD,所以 A1C DK,又 A1C平面 DEF,DK平面 DEF,所以 A1C平面 DEF.(2)解 由(1)知, EH AA
14、1,因为 AA1平面 ABC,所以 EH平面 ABC,因为 ABC 为正三角形,且点 E 为棱 AB 的中点,所以 CE AB,8故以点 E 为坐标原点,分别以 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立如图所,示的空间直角坐标系 E-xyz,设 AB=4,AA1=t(t0),则 A1(2,t,0),C(0,0,2 ),E(0,0,0),F -32, ,0 ,D - ,0, ,2 32 32所以 =(-2,-t,2 ), = -2, ,0 ,1 3 2因为 A1C EF,所以 =0,1所以( -2)(-2)-t +2 0=0,2 3解得 t=2 .2所以 =(-2, ,0), = -
15、,0, , 2 32 32设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z),则 所以=0,=0, -2+2=0,-32+32=0,取 x=1,则 n=(1, ),2, 3又因为 =(-2,0,2 ),设直线 A1C1与平面 DEF 所成的角为 ,11= 3所以 sin =| cos|= ,所以直线 A1C1与平面 DEF11|11|11|=464=66所成的角的正弦值为 .664.(2018 东北三省三校二模)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形, BAD=120,AB=2,E,F为 CD,AA1的中点 .(1)求证: DF平面 B1AE;(2)若 AA1底面 ABCD,且直线
16、AD1与平面 B1AE 所成线面角的正弦值为 ,求 AA1的长 .34(1)证明 设 G 为 AB1的中点,连接 EG,GF,9因为 FG A1B1,又 DE A1B1,12 12所以 FG DE,所以四边形 DEGF 是平行四边形,所以 DF EG,又 DF平面 B1AE,EG平面 B1AE,所以 DF平面 B1AE.(2)解 因为 ABCD 是菱形,且 ABC=60,所以 ABC 是等边三角形 .取 BC 中点 M,则 AM AD,因为 AA1平面 ABCD,所以 AA1 AM,AA1 AD,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,令 AA1=t(t0),则 A(0,0,0),E ,0 ,B
17、1( ,-1,t),D1(0,2,t),32,32 3= ,0 , =( ,-1,t), =(0,2,t),设平面 B1AE 的一个法向量为 n=(x,y,z),32,32 1 3 1则 n (x+ y)=0 且 n x-y+tz=0,取 n=(- t,t,4),设直线 AD1与平=32 3 1=3 3面 B1AE 所成角为 ,则 sin = ,解得 t=2,故线段 AA1的长为|1|1|=62(2+4)=342.5.(2018 湖南长沙一模,18)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为梯形, ADE, BCF 均为等边三角形, EF AB,EF=AD= AB.12(1)过 B
18、D 作截面与线段 FC 交于点 N,使得 AF平面 BDN,试确定点 N 的位置,并予以证明;(2)在(1)的条件下,求直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值 .10解 (1)当 N 为线段 FC 的中点时,使得 AF平面 BDN.证法如下:连接 AC,BD,设 AC BD=O, 四边形 ABCD 为矩形,O 为 AC 的中点,又 N 为 FC 的中点,ON 为 ACF 的中位线,AF ON.AF 平面 BDN,ON平面 BDN,AF 平面 BDN,故 N 为 FC 的中点时,使得 AF平面 BDN.(2)过点 O 作 PQ AB 分别与 AD,BC 交于点 P,Q,因为 O 为 AC 的
19、中点,所以 P,Q 分别为AD,BC 的中点, ADE 与 BCF 均为等边三角形,且 AD=BC, ADE BCF,连接 EP,FQ,则得 EP=FQ,EF AB,AB PQ,EF= AB,12EF PQ,EF= PQ,12 四边形 EPQF 为等腰梯形 .取 EF 的中点 M,连接 MO,则 MO PQ,又 AD EP,AD PQ,EP PQ=P,AD 平面 EPQF,过点 O 作 OG AB 于点 G,则 OG AD,OG OM,OG OQ.分别以 的方向为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz,不妨设,AB=4,则由条件可得 O(0,0,0),A(1,-2,0),B(1,2,0),F(0,1, ),D(-1,-2,0),N .2 (-12,32,22)设 n=(x,y,z)是平面 ABF 的法向量,则 =0,=0,即 4=0,-+3+2=0,所以可取 n=( ,0,1),2由 ,=(-32,-12,22)可得 |cos|= ,|=23
