1、第 二 章 离散型随机变量,二、离散型随机变量概念,一、随机变量的概念,三、离散型随机变量的分布律,2.1 一维随机变量及其分布,四、常见离散型随机变量的概率分布,定义2.1,随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母, , ,.等表示.,一、随机变量的概念,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量 是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (每一个试验结果 ,都由实数 对应).,2.说明,(1
2、)随机变量与普通的函数不同,实例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种情况:,若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有,即 X (e) 是一个随机变量.,2.随机变量的分类,离散型,(1)离散型 定义在样本空间 上，取值于实数R,且只取有限个或可列个值的随机变量 , 叫做一维离散型随机变量.,观察掷一个骰子出现的点数.,随机变量 X 的可能值是 :,随机变量,连续型,实例1,1, 2, 3, 4, 5, 6.,非离散型,其它,实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:,(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做
3、连续型随机变量.,实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,则 X 的取值范围为,实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误差”.,则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.,列成下表,说明,二、离散型随机变量的分布律,定义,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,对于任意的实数ab,由概率的 可列可加性,三、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,2.两点分布,1.退化分布,若随机变量 取常数值C的概率为1,即,则称 服从退化分布.,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 服从 (0-1) 分布.,则称 服从 (0-1) 分
4、布或两点分布.记为Xb(1,p),两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,两点分布随机数演示,3.二项分布,若分布律为：,称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记:,其中q1p,二项分布的图形,二项分布随机数演示,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 p ,则击中目标的次数 X 服从 b(k;5,p) 的二项分布.,二项分布随机数演示,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回
5、抽样来处理.,例2,解,图示概率分布,4. 普哇松分布(Poisson),泊松资料,普哇松分布的图形,泊松分布随机数演示,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学、医学、工业统计、保险
6、科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,普哇松定理,证明,上面我们提到,单击图形播放/暂停ESC键退出,设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例3 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例4：由该商店过去的销售记录知道，某种商品某月的销售数可以用参数 的普哇松分布来描述，为了以95以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该
7、种商品多少？,解,设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货a件,则当 时不脱销，因而由题意得：,又已知 服从 的普哇松分布，上式为,由附录的普哇松分布表知,则这家商店只要在月底进货该种商品15件即可。,6. 几何分布,若随机变量 的分布律为,则称 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量 , 求 的分布律.,几何分布随机数演示,所以 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.,解,7.超几何分布,设X的分布律为,超几何分
8、布在关于废品率的计件检验中常用到。.,说明：,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、小结,超几何分布,退化分布,离散随机变量,定义,分布列,例 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、一件地取产品.设每次抽取时, 所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下, 分别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.,备份题,解,(1) X 所取的可能值是,(2) 若每次取出的产品都不放回这批产品中时,X 所取的
9、可能值是,(3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中.,故 X 的分布律为,X 所取的可能值是,例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,例6 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.0
10、02,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取200元.问 (1)保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少?,保险公司在1月1日的收入是 250012=30000元,解 设X表示这一年内的死亡人数,则,保险公司这一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人时公司亏本.,于是,P公司亏本=P X 15=1-PX 14,由泊松定理得,P公司亏本,(2) 获利不少于一万元,即 30000 -200X 10000,即X10,P获利不少于一万元=PX10,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,普哇松资料,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,
